2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A．上课迟到的学生

B．2022年高考数学难题

C．所有有理数

D．小于x的正整数

【答案】B

【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.

【详解】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.

其它选项的对象都可以构成集合.

故选：B

2．下列关系中，正确的个数为（    ）

①②③④⑤

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用数集符号的意义及元素与集合的关系判断作答

【详解】是实数集，是整数，有，故①正确，

是有理数集，是分数，而是无理数，有，，故②正确，④不正确，

表示自然数集，有，故③不正确；

表示整数集，-3是整数，有，故⑤正确；

所以正确的个数是3，

故选：C

3．命题“”的否定是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】利用含一个量词的命题的否定进行判定.

【详解】的否定为：

.

故选：A.

4．设集合，若，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据两集合相等，列出方程组，求出的值，即可求出答案.

【详解】解：因为，，

所以，解得，

所以1.

故选：B.

5．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解.

【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集，

当时，则且，解得，

当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ，

综上，或，

故选：D

6．满足条件的集合A的个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】利用集合子集和真子集的定义求解.

【详解】因为集合，

所以集合 A 可以是, ,

共 7 个.

故选:C.

7．已知全集，集合，，则a的所有可能值形成的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，可得，即，当时，不符合元素的互异性，时，符合题意.

【详解】由，即，则，解得，

若，则，而，不符合集合中元素的互异性，舍去；

若，则，，，符合题意.

所以a的所有可能值形成的集合为.

故选：A.

【点睛】本题考查补集的性质，注意，属于基础题.

8．下列“若则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】解各选项中的不等式，然后结合必要条件的定义可得出结论

【详解】对于A选项，由可得，

由于“”不能推出“”，所以“”不是“”的必要条件；

对于B选项，由可得或，

由于“”能推出“或”，所以“”是“”的必要条件；

对于C选项，由可得或，

由于“或”不能推出“”，所以“”不是“”的必要条件；

对于D选项，由可得或，

由于“”不能推出“或”，所以“”不是“”的必要条件.

故选：B

二、多选题

9．下列存在量词命题中，是真命题的是（    ）

A． B．至少有一个，使x能同时被2和3整除

C． D．有些自然数是偶数

【答案】BD

【分析】A选项，计算出，BD选项，可以找到例子，C选项，根据进行判断.

【详解】A中，，即，解得：，所以A是假命题；

B选项，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；

C选项，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题；

D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题．

故选：BD．

10．已知a<b<0，则下列不等式成立的是（    ）

A．|a|>|b| B．

C．ab<b2 D．

【答案】AD

【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.

【详解】因，则，即，A正确；

因，即有，则，即，B不正确；

因，则，C不正确；

由选项A知，，则，又，于是得，即，D正确.

故选：AD

11．下列选项中是的必要不充分条件的有（    ）

A．：，：

B．：，：

C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等

D．：，：

【答案】AD

【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解．

【详解】对于A：，而当时，不一定有，是的必要不充分条件，故A正确；

对于B：，，是的充要条件，故B错误；

对于C：两个三角形全等两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，是的充分不必要条件，故C错误；

对于D：当时，则，反之，当时，不一定成立，是的必要不充分条件，故D正确．

故选：AD．

12．设，且，那么（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】AD

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】由，得，得，

则有，解得或（舍），

即（当且仅当时取等号），A正确，B错误.

由，得，

即或（舍去），（当且仅当时取等号），有最小值，D正确，C错误.

故选：AD

三、填空题

13．若，则M与N的大小关系为__________    .

【答案】

【分析】作差法比较大小即可.

【详解】因为 ，

所以.

故答案为: .

14．已知，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.

【详解】当时，，

当且仅当时，即时，等号成立，

因此，当时，函数的最小值为3.

故答案为：3

15．若命题“”为假命题,则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】将为假命题转化为为真命题,分离参数求解即可.

【详解】 “”为假命题即为 “”为真命题,

则在区间上恒成立,

设,

函数的对称轴为,且,

当时函数取得最小值为.

．

故答案为:.

16．疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________.

【答案】29

【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可.

【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，

设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，

根据题意可作维恩图如图：

依题意必有均为自然数，

所以，，

故这三天参加的志愿者总人数为：

当时，总人数最少，最少人数为.

故答案为：29.

四、解答题

17．若，求实数a的值．

【答案】实数a的值为5，，或．

【分析】由，可得，或，或，从而可求出a的值，最后要检验集合中元素的互异性

【详解】解：∵①时，，；

②时，，；

③时，，，

或．

∴实数a的值为5，，或．

18．设.

(1)若，求同时满足条件的实数构成的集合;

(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)求集合的交集即可;(2)利用集合的包含关系可求解.

【详解】（1）由解得，所以,

当 =2 时，即 ，所以,    

所以同时满足条件的实数构成的集合即为公共部分的实数构成的集合，

即为 ；

（2）因为p是q的充分条件，且，,,

所以 ，所以，解得0，

故实数的取值范围是.

19．设集合， ．

(1)当m=4时，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式可得到集合A,B,根据集合的交集运算即可求得答案；

（2）由题意可推得，分类讨论，确定集合B，列出不等式，可求得实数m的取值范围．

【详解】（1）由解得．∴．

当m＝4时，,

∴．

（2）∵，∴．

即．

当时，m＝－1,符合题意；

当时，若，，则 ,

显然，不符合题意；

若，即，则,

∵，∴，解得,∴．

综上，实数m的取值范围为 ．

20．求证下列问题：

(1)已知均为正数，求证:.

(2)已知，求证: 的充要条件是.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立.

（2）结合不等式的性质、差比较法以及充要条件的知识证得结论成立.

【详解】（1）

，

当且仅当，即时等号成立.

（2）依题意，则或，

所以：，

所以：的充要条件是.

21．如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开.

(1)若苗圃面积为1250，求栅栏总长的最小值；

(2)若栅栏总长为200，如何设计可使苗圃面积最大？

【答案】(1)100米

(2)长为50米宽为100米时苗圃面积最大，最大值为5000平方米．

【分析】（1）设苗圃的长，宽分别为a，b，利用基本不等式结合条件即得；

（2）由题可得，利用基本不等式求的最大值.

【详解】（1）设苗圃的长，宽分别为a，b，则，

所以，

当且仅当，即时取等号，

故栅栏总长的最小值为100米；

（2）由题可得，

所以，

当且仅当，即时取等号，

故当长为50米宽为100米时苗圃面积最大，最大值为5000平方米．

22．定义一种新的集合运算：,且．

若集合 ， ，．

(1)求集合M；

(2)设不等式的解集为P，若是的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）解不等式求得集合A,B，根据集合新定义即可求得答案;

（2）由是的必要条件可得，分类讨论，列出不等式组，求得实数a的取值范围.

【详解】（1）由题意解不等式得： ，

解,即，得 ，

故， ，

故 且

或 ，

（2）若是的必要条件，则．

①当即时，，则 ，即；

②当即时，，则 ，即；

③当2a=2-a即时，，此时不满足条件，

综上，所求实数a的取值范围为或．