2022-2023学年山东省淄博市桓台县第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省淄博市桓台县第二中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义求解即可

【详解】由题，

故选：C

2．命题“ ”的否定是（　　）

A．  B．

C．   D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定形式为全称命题，可得答案.

【详解】命题“ ”为特称命题，

它的否定是全称命题形式：即，

故选：A

3．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：B

4．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】由等价于，进而可求出不等式的解集.

【详解】由题意，等价于，解得，

所以不等式的解集为.

故选：C.

【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.

5．若命题“，时，”是假命题，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可．

【详解】解：若命题“，时，”是假命题，

则命题“，时，”是真命题

则，

设，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，，故当时，，

则，

故选：.

6．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的特点，直接列式求函数的定义域.

【详解】函数的定义域需满足，解得：且，

所以函数的定义域是.

故选：C

7．已知实数，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，，解得，则，结合的范围即可求得．

【详解】解：令，，

则 ，

则，

∵ ，

∴ ．

又，

∴ ．

∴ ．

故选：B．

8．已知函数f(x)＝，在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A．[6，8] B．[6，7] C．(5，8] D．(5，7]

【答案】D

【解析】画出函数的大致图象，根据在上单调递减，得到的范围，从而求出的取值范围.

【详解】函数，画出函数的大致图象，如图所示：

函数在上单调递减，

由图象可知：，解得：，

故实数的取值范围是：,.

故选：.

二、多选题

9．已知集合，若，则的取值可以是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；

【详解】解：因为，所以，所以或；

故选：AB

10．下列存在量词命题中，是真命题的是（    ）

A． B．至少有一个，使x能同时被2和3整除

C． D．有些自然数是偶数

【答案】BD

【分析】A选项，计算出，BD选项，可以找到例子，C选项，根据进行判断.

【详解】A中，，即，解得：，所以A是假命题；

B选项，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；

C选项，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题；

D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题．

故选：BD．

11．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：其中正确信息的序号是（    ）

A．骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到

B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C．骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者

D．骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样

【答案】AB

【分析】根据路程与时间的关系图象分析，骑自行车者、骑摩托车者的运动方式，位置关系，速度大小，即可确定答案.

【详解】由时间轴知：骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到，A正确；

骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，B正确；

摩托车速度为，骑摩托车者出发后距离骑自行车者，自行车后两小时速度为，故骑摩托车者还需要追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者，故C、D错误．

故选：AB

12．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ）

A． B．且

C． D．不等式的解集是

【答案】AB

【解析】结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得且，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，不等式的解集是，

可得是方程的两个根，所以，且，所以A正确；

又由，所以，所以B正确；

当时，此时，所以C不正确；

把代入不等式，可得，

因为，所以，即，此时不等式的解集为，

所以D不正确.

故选：AB.

三、填空题

13．设函数，则的值为________.

【答案】2

【解析】先求出，再由求出结果.

【详解】首先，，所以.

故答案为：2

【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.

14．若，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】由，结合基本不等式即可.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号成立.

故的最小值为，

故答案为：

15．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.

【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，

故集合为集合的真子集，故只需.

故答案为：.

16．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【详解】试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.

【解析】1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.

【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式的解集是空集的问题，转化为不等式恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数的取值范围.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求，，，的值；

（2）由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现.

【答案】（1），，，；（2），证明见解析；

【解析】（1）将自变量直接代入函数式中求值即可；（2）由（1）有，应用换元法写出的解析式，再与相加即可证明结论.

【详解】（1），，，；

（2）由（1）知：，

由，则，

∴，得证.

【点睛】本题考查了函数，应用将自变量直接代入函数式求函数值，应用换元法写出解析式，结合所得结论，将两个函数式相加即可证明它们的和为定值.

18．已知集合，，．

(1)若是“”的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意先判断，进而得到的不等式组，解之可求得实数的取值范围；

（2）根据得到的不等式组，解之可求得实数范围．

【详解】（1）解：集合，，

∵是“”的充分条件，

∴，

解得，

∴实数的取值范围是．

（2）解：∵ 集合，，，

∴ ，，

∴ ，

解得，

∴ 实数的取值范围是．

19．正数x，y满足.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．

【答案】(1)36；(2)

【分析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；

(2)由，再求解即可.

【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，

故xy的最小值为36.

(2)由题意可得，

当且仅当，即时取等号，

故x＋2y的最小值为.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.

20．已知,.

（Ⅰ）求证：函数在上是增函数；

（Ⅱ）若,求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）答案见详解;（Ⅱ）.

【解析】(Ⅰ)利用定义法证明函数单调性;

(Ⅱ)判断函数奇偶性,并结合的单调性将不等式转化为不等式组,求出实数的取值范围.

【详解】(Ⅰ)任取,

则

,

,即,

所以函数在上是增函数;

(Ⅱ)因为函数定义域为,关于原点对称,

又,

所以函数为奇函数,

又,

即,即,

由(Ⅰ)知函数在上是增函数,

所以,即,

故实数的取值范围为.

【点睛】(1)大题中一般采用定义法证明函数单调性;(2)利用单调性解不等式问题,一般需要注意三个方面:①注意函数定义域范围限制;②确定函数的单调性;③部分需要结合奇偶性转化.

21．设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立．

(1)若为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可构造不等式求得结果；

（2）由可求得为真时的取值范围；分别在真假和假真的情况下讨论得到的范围.

【详解】（1）当时，，，解得：，

则当为真命题时，实数的取值范围为.

（2）当时，，

，解得：，即当为真命题时，实数的取值范围为；

当真假时，；当假真时，；

综上所述：当有且仅有一个是真命题时，实数的取值范围为.

22．已知二次函数.

(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式（其中）.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；

(2)将原不等式化为，求出参数a分别取值、、时的解集.

【详解】（1）不等式即为：，

当时，不等式可变形为：，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

所以实数a的取值范围是；

（2）不等式，即，

等价于，转化为；

当时，因为，

所以不等式的解集为；

当时，因为，

所以不等式的解集为；

当时，因为，

所以不等式的解集为；

综上所述，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.