2022-2023学年山东省济南市莱钢高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济南市莱钢高级中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交集，补集运算即可求解.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以，

故选：A.

2．若命题，则命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据命题p的否定是￢p，结合全称命题与特称命题的关系，可以直接写出答案来．

【详解】根据命题p的否定是￢p，

∴命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2<0，

命题p的否定是：．

故选C．

【点睛】本题考查了特称命题的否定是全称命题的问题，注意“改量词，否结论”，是基础题．

3．设，，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．

【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，

若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，

故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．

【详解】A中，y为奇函数，故排除A；

B中， y＝|x|+1是偶函数，当x>0时，y＝|x|+1＝x+1为增函数，不满足条件，故排除B；

C中，y＝e﹣x为非奇非偶函数， 故排除C；

D中， y＝x﹣2是偶函数，开口向上，图象关于y轴对称，（0，+∞）上单调递减，故D对．

故选D．

【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．

5．已知函数，则

A．32 B． C．16 D．

【答案】B

【解析】根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.

6．已知，，，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，，，

因为幂函数在R上单调递增，所以，

因为指数函数在R上单调递增，所以，

即b<a<c.

故选：A.

7．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.

【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误；

对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴上方，矛盾.故B错误；

对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴下方，符合题意.故C正确；

对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故D错误.

故选：C

8．若定义在的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别求出和的的范围，由不等式，得或，从而可得出答案.

【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递增，

所以函数在上递增，且，

又，，

则当时，，

当时，，

则由不等式，

得或，

即或，

解得或，

所以的的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（    ）

A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d

C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则

【答案】AB

【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.

【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，

由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，

当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，

令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.

故选：AB.

10．若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】ABC

【分析】根据在和时，函数值为，当时函数值为得，进而得答案.

【详解】解：因为，开口向上，对称轴为

所以，当和时，函数值为，当时函数值为，

因为函数的定义域为，值域为，

所以，

所以的值可能的选项是：ABC

故选：ABC

11．下列函数中，最小值为2的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】A中x无法确定正负，不能求出最值；B是二次函数，配方求解最值；C看成关于的二次函数，配方求最值；D变换构造，用基本不等式求最小值﹒

【详解】A中的正负无法确定，其函数值可以为负数；

B中，最小值为2；

C中，当时，其最小值为2；

D中，当且仅当，即时取等号﹒

故选：BCD﹒

12．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．当时，

B．函数的最小值为

C．函数在上单调递减

D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或

【答案】ABD

【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.

【详解】由题意得：，其图象如图所示：

由图象知：当时，，故A正确；

函数的最小值为，故正确；

函数在上单调递增，故错误；

方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为_______.

【答案】

【分析】直接根据二次根式不小于零，分母不为零列不等式求解.

【详解】由已知得，解得

即函数的定义域为

故答案为：

14．若是一次函数，且，则 ________.

【答案】或

【分析】可设，代入可得，可得关于与的方程，解方程可得到结论.

【详解】由题意可设，

，

又，

，解得或，

或，故答案为或.

【点睛】本题主要考查函数的解析式，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.

15．若正实数、满足，则的最小值是______.

【答案】

【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为正实数、满足，则，

所以，，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围，

【详解】时，设，所以，是增函数，

所以由题意得，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．计算

(1)

(2)已知：，求

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）结合指数的运算公式即可求出结果；

（2）结合指数的运算公式以及完全平方公式即可求出结果.

【详解】（1）原式

（2）因为，两边同时平方得，即，因此，

将两边同时平方得，即，因此，

所以

18．已知全集为，集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将代入集合中,然后与集合取交集即可;

（2）由题意得,进而可得,求解即可.

【详解】（1）当时,,

因为,所以.

（2）由,得,

则,解得.

【点睛】本题考查了集合的交集,考查了并集的性质,考查了不等式的解法,属于基础题.

19．已知二次函数，若，且方程有两个相等的实根．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在区间上的最值．

【答案】（1）；（2）最小值为0,最大值为16

【分析】（1）由及方程有两个相等的实根,可得到关于的等式,求解即可得到的解析式;

（2）由（1）可得到函数的单调性,即可求出在区间上的最值.

【详解】（1）根据题意,二次函数，

若,则,即,

又方程有两个相等的实根,即方程有两个相等的实根,

则,解得,.

故.

（2）由（1）知,则对称轴为,

在单调递减,在单调递增,

所以的最小值为,最大值为.

【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法,考查了二次函数的单调性及最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.

20．已知函数.

(1)用定义证明：在区间上是减函数；

(2)证明为奇函数

(3)解不等式.

【答案】(1)证明见解析，

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）由单调性的定义证明；

（2）由奇函数的定义证明；

（3）由函数的奇偶性与单调性转化后求解.

【详解】（1）设，且，

，

而，，，

则，

故在区间上是减函数，

（2）由，则为奇函数，

（3）为奇函数，可化为，

而在区间上单调递减，则，解得，

故原不等式的解集为

21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；

(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；

(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.

【详解】（1）由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

（2）该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

22．已知二次函数.

（1）若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；

（2）若，当时，求的最大值；

（3）若在上恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）解出即可

（2）令，，

（3）分离变量可得，然后求出右边的最小值

【详解】（1）若在单调递增，则，所以

（2）当时，

令，因为，所以

所以

所以，在上单调递减，上单调递增，

又因为

所以

（3）因为在上恒成立，

所以在恒成立，

即在恒成立

令，则，当且仅当时等号成立

所以

【点睛】1.求复合函数的值域一般是通过换元转化为常见函数，

2.恒成立问题首选的方法是分离变量法，然后转化为最值问题.