2022-2023学年山东省淄博市淄博第十一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省淄博市淄博第十一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若集合，则下列阴影部分可以表示A集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用Venn图先判断集合，再在集合中去掉的部分，即可得到答案.

【详解】，是两个集合的公共部分，，在集合 中去掉的部分，即选B.

故选：B.

2．已知命题，则的否定为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定可得答案.

【详解】的否定为，

故选：C

3．设，则“或”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式，再由集合的包含关系结合充分和必要条件的定义作出判断.

【详解】，，

记或，

，“或”是“”的必要而不充分条件

故选：B

4．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】对于A，取代入判断；对于B，代入判断；对于C、D，根据不等式的性质运算分析判断．

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，若，取，则，B错误；

对于C， ∵，则，即，C正确；

对于D ，∵，则，∴，D错误；

故选：C．

5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

6．若函数是定义上的偶函数，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，求出，的值，再计算的值.

【详解】∵是定义在上的偶函数，

∴，即

∴，

又定义域关于原点对称，∴，

∴，，

∴，

∴.

故选：D.

7．函数是定义在上的奇函数，且，若函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，则由题意可得为偶函数，在上递减，在上递增，将转化为或，从而可求得结果.

【详解】令，

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以，

所以为偶函数，

因为，所以，，

因为在区间上单调递减，

所以在上递增，

由，可得或，

所以或，

解得或，

所以不等式的解集是，

故选：C

8．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以直接完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据直角三角形中，即可解出．

【详解】在直角三角形中，，而，，，所以，当且仅当时取等号．

故选：C．

二、多选题

9．已知命题：，，命题：，，若命题与命题均为真命题，则实数的可能取值为（    ）

A． B．5 C． D．4

【答案】AD

【分析】利用条件求出命题，的等价条件，再利用命题与都是真命题，确定实数的取值范围，即可得出答案.

【详解】对于命题：，，∴，∴

对于命题：，，∴，解得

若命题与均为真命题，则，只有A、D满足.

故选：AD.

10．已知函数，则下面结论正确的有（    ）

A．的图象关于y轴对称 B．在上单调递减

C．的值域为 D．当时，有最大值

【答案】ABD

【分析】对于A，由已知可得为偶函数即可判定；对于B，当时，函数可由函数向右平移1个单位得到，由此即可得单调性；对于C，由在的单调性结合偶函数的性质即可得值域；对于D，由函数在的单调性即可判定．

【详解】由得函数定义域为，所以．

对于A，由可得，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；

对于B，当时，函数，该函数可由函数向右平移1个单位得到，所以函数在上单调递减，故B正确；

对于C，当时，函数在和上均单调递减，所以该函数在上的值域为；又因为函数为偶函数，且，所以在其定义域上的值域为，故C错误；

对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值为，故D正确．

故选：ABD．

11．下列说法正确的有（    ）

A．的最小值为2

B．任意的正数， 且，都有

C．若正数、满足，则的最小值为3

D．设、为实数，若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.

【详解】选项A： ，

当 时， ，当且仅当时有最小值.

故A不正确.

选项B：

对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，

当且仅当 时取得最大值.

所以 ，当且仅当时取得最大值.

故B正确.

选项C：对于正数， ,所以

所以

当且仅当 ，即时取得最小值.

故C正确.

选项D：因

所以 ，即

所以 ，当且仅当 时等号成立.

故D正确.

故选：BCD.

12．已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可.

【详解】不妨令

，

对任意都有在上单调递增，

对所有恒成立，

对所有恒成立，

对所有恒成立，令

故只需解之：

故选：AD

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

三、填空题

13．设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）

【答案】

【分析】利用作差法比较即可.

【详解】因为

所以

故答案为：

14．已知集合，，则＝___．

【答案】

【分析】求出集合A,B,利用并集的运算直接求解．

【详解】解不等式即，解得 ，

故，

解，即，解得 ，

故，

则，

故答案为：．

15．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.

【答案】##

【分析】根据单调性的定义可知，函数在上递减，即可利用分段函数的性质解出．

【详解】不妨设，所以由可得：，

所以函数在上递减，故，解得：．

故答案为：．

四、双空题

16．设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是________（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若在上单调递增，且，则实数的取值范围是________．

【答案】     奇函数    

【分析】根据奇函数的定义可判断为奇函数，根据的单调性结合的单调性可判断的单调性，从而可求实数的取值范围.

【详解】因为，故，

所以，

而的定义域为，故为奇函数.

因为在上单调递增，在上单调递减，

故在上为单调递增，结合其为奇函数，

故在上为单调递增

又等价于，

故，故，故，

故答案为：奇函数，.

【点睛】思路点睛：求解函数不等式，需结合函数的单调性去掉对应法则，注意可根据函数的奇偶性得到函数在整体范围上的单调性，另外注意根据已知不等式关系合理构造函数值的不等式关系.

五、解答题

17．已知集合

(1)求；；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由集合的交并补运算，计算即可得出答案；

（2）由，借助数轴可得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以或，

所以.

（2）因为，，

所以.

18．已知幂函数在上单调递增，.

(1)求实数m的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

解得或.

又因为在上单调递增，

所以即，故.

（2）又(1)知，

因为在上单调递增，

所以当时，，，

所以在上的值域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以的值域为，

因为命题q是命题p的必要不充分条件，

所以A⫋B，所以或，解得，

所以实数t的取值范围是.

19．已知函数，，.若不等式的解集为.

(1)求，的值及；

(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论；

(3)已知，，且，若，试证：.

【答案】(1)，，；

(2)在上单调递减，证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)结合已知条件可知，和2是方程的两实数根，然后将根代入方程即可得到答案；(2)利用单调性定义证明即可；(3)结合已知条件求出的值，然后利用基本不等式即可证明.

【详解】（1）由题意，不等式的解集为，即不等式的解集为，

故和2是方程的两实数根，

从而，解得，即，

故.

（2）由（1）得，判断：在上单调递减，

证明：任取，，且，

则，

因为，，，所以，，

故，即，

即在上单调递减.

（3）证明：由（1）得，

因为，

所以，即，

因为，，且，

所以由基本不等式可知，.

20．已知函数.

(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；

(2)当时，解不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；

（2）分，和三种情况解不等式.

【详解】（1）①，即时，解集不是空集，舍去，

②时，即时，，

即，∴，

解得，

∴的取值范围是；

（2）∵化简得：，

①时，即时，解集为，

②时，即时，，

，解集为或，

③时，即时，解集为，

∵，∴，

∴，

∴解集为.

综上，时，解集为或；

时，解集为；

时，解集为

21．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格求：

(1)每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润．

(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大.

【答案】(1)万元；

(2)每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元.

【分析】（1）根据给定条件，依次列式计算作答.

（2）求出售价的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解作答.

【详解】（1）每套丛书售价定为元时，销售量为万套，

于是得每套丛书的供货价格为元，

所以书商所获得的总利润为万元．

（2）每套丛书售价定为元，由得，设单套丛书的利润为元，

则，

，当且仅当，即时等号成立，

即当时，，

所以每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元．

22．定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”．

(1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由；

(2)若是的“子函数”，求的取值范围．

【答案】(1)是为的“子函数”；理由见解析

(2)

【分析】（1）先求出和的值域，根据子函数定义判断的值域是否是值域的子集即可．

（2）先求出的值域，再根据轴动区间定讨论的值域，利用子函数的定义建立关于的不等式关系，即可求出的范围．

【详解】（1）由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可，

因为开口向上，对称轴为，

所以当时，，

又，，故，

所以的值域为，

因为在上单调递增，且，，

所以的值域为，

显然，所以是的“子函数”；

（2）因为，

所以当时，，易得；

当时，，由得，即，

综上：的值域为，

因为，开口向上，对称轴为，

所以当时，在上单调递增，故，即，

根据子函数的定义及数轴法得，即，故；

当时，在上单调递减，故，即，

所以，即，故；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故，

所以，解得，故；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故，

所以，解得，故；

综上：，即.