山东省淄博市美达菲双语高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

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一．选择题（共8小题）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合B，结合集合交集的定义运算即可.
【详解】，则.
故选：B
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定，即可求解.
【详解】命题“，”的否定为：
，；
故选：C.
3. 与函数为同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数定义域是否相同，再判断解析式是否相同即可.
【详解】函数的定义域为，
对于A：函数的定义域为且，所以A正确；
对于B：函数的定义域为，，所以B错误；更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 对于C：函数的定义域为，C错误；
对于D：函数的定义域为，D错误，
故选：A
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，由二次函数的单调性结合复合函数的单调性可得．
【详解】由，即，解得，
即函数的定义域为，
函数在上单调递减，在定义域上单调递增；
由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为
故选：B．
5. 已知，下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】对于选项A，则，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B错误；
对于选项C，则，所以，故C正确；
对于选项D，当时，，故D错误.
故选：C
6. 已知函数，且，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，然后代入求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
故选：A
7. 已知函数为奇函数，且对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据判断的单调性，然后由定义域得到，最后解不等式即可.
【详解】当时，因为，
所以此时，所以在上单调递减，
又因为为奇函数且定义域为，
所以，所以不等式为，
所以，解得或者，
故选：B
8. 某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（ ）
A. B.
C D. ，不能比较大小
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件分别计算出，作差比较大小即可.
【详解】假设每次购买这种物品的数量为m，
则平均价格；
假设每次购买这种物品所花钱为，
则第一次购得该物品的数量为，第二次购得该物品的数量为，
则平均价格，
则
，
所以，
故选：B.
二．多选题（共4小题）
9. 下列函数值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，可直接判断；根据，可判断；对于，函数解析式分离常数后即可求出值域，进而可判断；根据基本初等函数的单调性可判断.
【详解】因为函数的值域为,故错误；
因为，
故函数的值域为，故正确；
因为，
故函数的值域为，则错误；
因为函数在上均单调递增，
所以当时，有最小值，
故函数的值域为，故正确，
故选：
10. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A. B.
C. D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式解的结构形式，可得，且方程的两个根为，根据韦达定理，继而可判断A,B；对于C，代入即可判断，故C正确；对于D，直接利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】根据题意可知，，且方程的两个根为，
由韦达定理知，所以，
由，得，即，
故A错误，B正确；
因为，故C正确；
不等式可化为，
即，且，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD.
11. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式即可判断AB，根据绝对值三角不等式即可判断C，根据二次函数的性质即可求解D.
【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故A正确，
，当且仅当，即时取等号，故B正确，
，当且仅当时等号成立，故C错误，
，当时取到等号，故D正确，
故选：ABD
12. 对于任意实数，函数满足：当时，，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点对称
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，当时，可得，即可求得；对于B，把，变形，即可求得的值域；对于C，分别令，，可求得，函数在上不具有单调性，即可判断；对于D，根据条件求得和，函数不关于对称，故D错误.
【详解】对于A，当时，
则，
所以，故A正确；
对于B，当时，
则，即，
故的值域为，故B正确；
对于C，当时，，时，，
则在上单调递增；
当时，，时，，
则在上单调递增，
则，
故在区间上不具有单调性，故C错误；
对于D，当时，，
则，
当当时，，
所以，
则，所以不关于对称，故D错误，
故选：AB.
三．填空题（共4小题）
13. 已知集合，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可．
【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此，
若，则，此时，满足题意，
故答案为：．
14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】应用求解抽象函数定义域的方法即可.
【详解】函数的定义域为，
则，则或
则函数的定义域为.
故答案为：
15. 已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】按题意求函数表达式即可
【详解】
和已知条件相加得
故
故
故答案：
16. 已知函数，则函数的零点个数为___________.
【答案】7
【解析】
【分析】先设，然后分别作出和的图像，对图像进行分析即可.
【详解】函数的零点个数即为方程的根的个数，
令，则，
如图所示，
，
则，
作出的图像，如图所示，
，
则一共有7个交点，所以方程有7个根，
即函数零点个数为7，
故答案为：7
【点睛】方法点睛：嵌套函数的常用解决方法为设，然后对函数图像二次利用（或者画两个），将分别作为横坐标和纵坐标通过图像来解决根的相关问题.
四．解答题（共6小题）
17. 设全集，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义进行求解；
（2）根据题意得到，列不等式组求解即可.
【小问1详解】
时，，或，
所以，
【小问2详解】
因为“”是“”的必要条件，所以.
因为，所以，故，解得.
所以的取值范围为.
18. 已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出的图象，并写出的单调增区间.
【答案】（1）
（2）图象见解析，的单调增区间为
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而得到答案；
（2）画出图象，数形结合得到递增区间.
【小问1详解】
当时，，，
又是定义在上的偶函数，所以，
故，
故函数解析式为；
【小问2详解】
从图象可以得到的单调增区间为
19. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可；
（2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集是实数集，
即在上恒成立，
当时解得，不是恒成立，矛盾；
当时要使得恒成立，则需满足，
解得，
综上可得；
【小问2详解】
，
当时的两个根为
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为，
综上所述，当时解集为，当时解集为，当时解集为.
20. 为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理.已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为.
（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低?（平均成本）
（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；
方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理百吨获得金额为元.
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴?并说明原因.
【答案】（1）百吨；
（2）选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润.
【解析】
【分析】（1）根据条件写出日污水处理量的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值；
（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.
【小问1详解】
由题意可知，每百吨污水平均处理成本为，.
又.
当且仅当，即百吨时，每百吨污水的平均处理成本最低.
【小问2详解】
若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得
，
因为,所以当百吨时，企业最大获利为元.
若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当百吨时, 企业最大获利为元.
结论：选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润.
21. 已知函数对于任意实数，都有，且.
（1）求的值；
（2）令，求证：函数为奇函数；
（3）求的值.
【答案】（1）3； （2）证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）应用赋值法即可；
（2）应用奇函数的定义即可判断；
（3）结合（2）转化为求，即可求解.
【小问1详解】
当时，，则；
小问2详解】
当当时，，则；
设，则，则，
则，即，
即函数为奇函数.
【小问3详解】
由（2）知，为奇函数，则
.
22. 已知函数，满足.
（1）设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
（2）设.
①当时，求的最小值；
②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】22. 见解析
23. ①；②或
【解析】
【分析】（1）按单调性的定义证明即可；
（2）①单调性结合基本不等式即可求解；②恒成立转化为最值关系，并分类讨论即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，
令，则
，
时，且，
故，故在区间上为减函数；
时，且，
故，故在区间上为增函数.
【小问2详解】
①令，解得，
由中可知的定义域为，
且，
因为，则，可得，故，
令，则，
故，当且仅当时取等号，
故，
②因为恒成立，
故，即，
由①：时，
令，令，
由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
时，在上为减函数，
故，，
故，得，和矛盾，
时，在上为减函数，在上为增函数，
，即，
得，
时，在上为增函数，故，得，
即或，由得，
综上得：或.