2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（    ）

A．{1，2，3，4} B．{2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}

【答案】A

【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案．

【详解】解：∵，，∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查集合的并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解决本题的关键，属于基础题．

2．命题“，都有”的否定是（       ）

A．，使得 B．，都有

C．，使得 D．，都有

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定变量词否结论即可求解.

【详解】命题“，都有”的否定是：，使得，

故选：C.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式得，然后判断充分性和必要性即可.

【详解】解不等式得，

当时一定成立，但是当时，不一定成立，所以“”是的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知函数，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】采用配凑法得到，由此可得.

【详解】，.

故选：B.

5．函数，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次函数的单调性确定最值即可得的值域.

【详解】解：，又

所以函数在上单调递增，在上单调递减

则，又，所以

所以的值域为.

故选：B.

6．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为，所以，则，当且仅当，即，时等号成立.

故选：D.

7．如图为函数和的图像，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据图象分、、和讨论的正负即可.

【详解】当时，，，则，满足要求；

当时，，，则，满足要求；

当时，，，则，不符合要求；

当时，，，则，不符合要求；

综上所述，或.

故选：A.

8．如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数．已知函数是“函数，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得的值域为，又因为当时，的值域为，当时，的值域为，所以有，求解即可.

【详解】解：由题意可知的定义域为，

又因为是“函数，

所以的值域为，

又因为,

所以的值域为，

又因为当时，，单调递增，此时值域为，

当时，，开口向上，对称轴为，

此时函数单调递增，值域为，

所以，解得，

所以m的取值范围为.

故选：C.

二、多选题

9．下列函数中，在上单调递增又是偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】运用常见函数的奇偶性和单调性，可得结论.

【详解】解：对于A，为奇函数，不符合题意；

对于B，为偶函数，且在上单调递增，符合题意；

对于C，关于直线对称，所以该函数不是偶函数，不符合题意；

对于D，为偶函数，且在上单调递增，符合题意.

故选：BD.

10．已知函数可表示为

则下列结论正确的是（    ）A． B．的值域是

C．的定义域是 D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】根据表格求函数值、定义域、值域和单调性即可.

【详解】，故A错；

由表格可知，的值域为，故B正确；

由表格可知，的定义域为，故C正确；

根据函数的单调性可知在上不具有单调性，故D错.

故选：BC.

11．下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【答案】CD

【分析】通过举反例和不等式的基本性质即可进行判断.

【详解】令，，但是可知A错误.

当时，，则，故B错误.

若，可知，则，故C正确.

若且，所以，所以，故D正确.

故选：CD

12．若，不等式恒成立，则实数m可以取的值有（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】分和两种情况求的范围即可.

【详解】当时，，成立；

当时，，解得，

综上所述，.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知，则____________．

【答案】

【分析】将代入解析式求即可.

【详解】令，则.

故答案为：-1.

14．函数的定义域是______________．

【答案】且且

【分析】利用分母不等于0，幂函数以及根式有意义列不等式求解即可.

【详解】要使函数有意义，

则，解得且且，

故答案为：且且

15．已知幂函数是偶函数且在上单调递增，则函数的解析式为______________．

【答案】

【分析】由幂函数的定义可求出m的值，再根据偶函数和单调性的性质确定k的值，即可求出的解析式

【详解】函数为幂函数，由幂函数定义可知，解得，

又幂函数是偶函数并且在上单调递增，为正偶数，又由，

解得，代入可得，

故答案为：

16．已知函数对，都有，且，则实数m的取值范围是______________．

【答案】

【分析】先判断在定义域上的单调性，然后再根据单调性的性质，

将函数值的关系式转化为自变量的不等式关系，同时注意定义域，由此可求m的取值范围

【详解】函数对，都有，

函数在定义域上为增函数，又因为，

可得，解得，

故答案为：

四、解答题

17．已知集合．

(1)若，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据得到，然后求交集即可；

（2）根据得到，然后分和两种情况列不等式求解即可.

【详解】（1）当时，集合，

∴.

（2），，

∴当时，，解得，

当时，，解得．

∴实数m的取值范围是．

18．已知为上的偶函数，当时，

(1)求的值；

(2)当时，求的解析式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶函数的性质，得到，然后代入求函数值即可；

（2）根据偶函数的性质求解析式即可.

【详解】（1）因为为偶函数，所以.

（2）令，则，，

又为偶函数，所以，

所以当时，.

19．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案.

（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案.

【详解】（1）对，不等式恒成立，

令，则，

当时，即，解得.

因此，当p为真命题时，m的取值范围是.

（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以；

故当命题q为真时，.

又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题.

当p真q假时，由，得；

当p假q真时，由或，且，得.

综上所述，m的取值范围为.

20．已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为，求a的值；

(2)求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系，分析求解即可；

（2）利用一元二次不等式的解集，分，和三种情况，分别求解即可.

【详解】（1）由题意，方程的两根分别为和2，

所以，解得．

（2）方程的两根分别为和a．

当时，；

当时，不等式解集为；

当时，

综上：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为

21．己知函数．

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)证明：函数在上是增函数；

(3)求函数的值域．

【答案】(1)奇函数，理由见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；

（2）按照单调性的定义步骤证明即可；

（3）根据奇偶性与单调性判读函数在的单调性，即可得值域.

【详解】（1）解：函数为奇函数，理由如下：

函数定义城为，

所以，则为奇函数．

（2）证明：对任意的，且，

因为，所以．所以．所以．

所以在上单调递增．

（3）解：因为为奇函数且在上是增函数，所以在上是增函数．

所以在上是增函数，则，

所以值域为.

22．第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.

(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）

(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.

【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；

（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.

【详解】（1）由题意知，当时，，

所以，

当时，；

当时，，

所以；

（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，

所以当时，有最大值，最大值为1500；

当时，由基本不等式，得

，

当且仅当时取等号，

所以当时，有最大值，最大值为1550；

因为，

所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.