黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

哈师大青冈实验中学2022-2023学年度期中考试

高二学年数学试题

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟

第一卷（选择题 60分）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知向量，则（    ）

A．50        B．14       C．       D．

2．若直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ）

A．      B．     C．      D．

3．已知圆，则过点的最短弦所在直线l的方程是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ）

A．      B．     C．      D．

5．已知，，是三个不共面的向量，，且A，B，C，D四点共面，则的值为（    ）．

A．       B．1       C．         D．2

6．一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ）

A．     B．     C．      D．

7．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心．则四边形，的面积为（    ）

A．3         B．4       C．6        D．

8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ）

A．        B．        C．        D．

二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）

A．                       B．与共线的单位向量是

C．与夹角的余弦值是    D．平面ABC的一个法向量是

10．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．l的倾斜角等于                 B．l在x轴上的截距等于

C．l与直线垂直        D．l上不存在与原点距离等于的点

11．已知圆和圆的交点为A，B，则（    ）

A．圆和圆有两条公切线                 B．直线AB的方程为

C．圆上存在两点P和Q使得    D．圆上的点到直线AB的最大距离为

12．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A．              B．直线与直线的斜率之积为

C．存在点P满足   D．若的面积为，则点P的横坐标为

第二卷（非选择题 共90分）

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．如图所示，己知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则__________．

14．已知点是圆上一点，则的范围是__________．

15．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过P做圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则四边形PAMB的面积的最小值为__________．

16．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为__________．

四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本题满分10分）

己知直线与直线．

（1）若，求m的值；

（2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．

18．（本题满分12分）

一艘科考船在点O处监测到北偏东方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．

（1）若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的方程．

（2）科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？

19．（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

（I）证明：平面PBE；

（Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．

20．（本题满分12分）

如图，四棱锥，底面ABCD是正方形，，，E，F分别是PB，CD的中点．

（1）求证；

（2）求二面角的余弦值．

22．（本题满分12分）

已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，判断是否为定值？并说明理由．

参考答案：

1．C  2．D  3．D   4．A   5．B    6．D   7．A   8．C

9．AD   10．CD   11．ABD    12．BD

13．    14．    15．      16．

17．（1），（2）或

【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；

（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程

【详解】解：（1）因为，所以，且，

由，得，解得或（舍去）

所以，

（2）因为点在直线上，

所以，得，所以点的坐标为，

所以设直线的方程为（），

令，则，令，则，

因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，

所以，解得或，

所以直线的方程为或

18．(1)（x－20）2＋（y－）2＝100

(2)有触礁的风险

【分析】（1）过A作y轴垂线，垂足为B，求出圆心（20，），进而求出圆的标准方程.

（2）求出航行的直线方程：，根据直线与圆的位置关系即可求解.

(1)

如图，过A作y轴垂线，垂足为B，

且OA＝40

∴AB＝20，，圆心（20，）

设圆方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2

∴（x－20）2＋（y－）2＝100

(2)

当船向东行驶50海里进B（50，0）

则北偏西30°，直线的倾斜角

则直线方程：

圆心到直线距离

，有触礁的风险．

19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接、，由已知结合三角形中位线定理可得且，得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）利用等积法可得：，代入棱锥体积公式可得点到平面的距离．

试题解析：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接，，则，且，

∵且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，∴平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．

利用等体积法：，即，，

∵，，∴，∴．

点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.

20．(1)或

(2)

【分析】（1）由直线被圆C截得的弦长为，求得圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.

（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.

（1）

解：由题意，圆，可得圆心，半径，

因为直线被圆C截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则，解得，即，

综上可得，所求直线的方程为或.

（2）

解：设点，

因为点，线段的中点为，可得，解得，

又因为在圆上，可得，即，

即点的轨迹方程为.

21．(1)见解析;(2).

【分析】（1）由题意，可取中点，连接，则易知平面∥平面,由条件易证平面，则平面，又平面，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取中点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面和平面的法向量，结合图形，二面角为锐角，从而问题可得解.

【详解】（1）取中点，连结，，∵是正方形，∴，

又∵，，∴，∴面，∴，

又∵，，都是中点，∴，，∴面，

∴；

（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得，，，，则，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，得，

同理得平面的法向量为，

∴，所以他的余弦值是.

【点睛】此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.

22．(1)

(2)为定值，理由见详解

【分析】（1）根据题意列式求解；（2）由题意知可知直线AB的斜率存在，设其方程为，则，由已知向量等式可得，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明为定值.

【详解】（1）由题意可得，解得，

故椭圆C的方程.

（2）为定值，理由如下：

由（1）可得，

由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则，

联立方程，消去y得，

则，

，

∵，，则，可得，

（定值）.

【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.