2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】由解得，

所以，所以，

故选：A.

2．已知，则“”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据条件的充分性和必要性判断即可.

【详解】充分性：当时，，函数是偶函数，充分性成立；

必要性：若函数是偶函数，则，

得，必要性成立

故“”是“函数为偶函数”的充要条件

故选：C

3．已知，若，则的值是（    ）

A．1 B．1或 C．1或或 D．

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程取满足范围的值即可.

【详解】若，则，解得（舍去）；

若，则，解得或（舍去）；

若，则，解得（舍去），

综上，.

故选：D.

【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求自变量，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

4．设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内

A． B．

C． D．不能确定

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可.

【详解】因为，，且的图象在上连续，

所以在上至少存在一个零点，

因为，所以在上存在零点，

因为，所以在上存在零点，

所以方程的根落在区间内，

故选：B

5．已知，，.则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由对数函数、指数函数性质结合中间值0和1比较可得．

【详解】，，，所以．

故选：A．

6．函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项.

【详解】函数定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，排除BC，

又当时，，当时，，故A正确，D错误.

故选：A.

7．函数的零点所在的区间是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在性定理即可判断．

【详解】由题意得，，

，

，

，

，

，

则，∴零点在区间上．

故选：B．

8．已知函数，若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则实数k的取值范围为（    ）

A．(0，＋∞) B．(0，1) C．[1，＋∞) D．[1，2)

【答案】B

【分析】由题意可知函数f(x)与直线y＝k有3个交点，作出函数f(x)的大致图象，由图象观察即可得出答案．

【详解】作出函数f(x)的大致图象，如图所示，

要使g(x)＝f(x)－k有3个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有3个交点，

由图象可知，0＜k＜1．

故选：B．

二、多选题

9．设函数，则（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】AC

【分析】利用函数奇偶性与单调性的定义判断函数的性质.

【详解】定义域为，

，则.

，

所以，是奇函数.

，且，

则=

=.

∵ ，∴，

∴，

∴，

∴在上单调递增.

故选：AC.

10．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】结合函数的单调性、特殊值确定正确选项.

【详解】若，但，A错误.

若，但，D错误.

由于和在上递增，所以，

所以BC选项正确.

故选：BC

11．下列计算正确的有（    ）

A． B．

C． D．已知，则

【答案】CD

【分析】利用指数幂运算、根式与有理数指数幂互化，对各选项化简求值.

【详解】A：，错误；

B：，错误；

C：，正确；

D：，正确.

故选：CD

12．下列不等式中正确的是（    ）

A．当时， B．当时，的最小值为

C．当时， D．

【答案】AC

【分析】对于A，用换元法和基本不等式判断即可；对于B，利用对勾函数的性质判断即可；对于C，利用基本不等式判断即可；对于D，用作差法，通过判断差的符号即可.

【详解】解：对于A，因为，所以，令，

则有，当时，即，也即时，等号成立，故正确；

对于B，因为，由对勾函数的性质可知在上单调递增，

所以，即的最小值为，故错误；

对于C，因为，所以，所以，当，

即时，等号成立，故正确；

对于D，因为，因为不能确定差的符号，所以不能确定与的大小关系，故错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知命题：“，使”为真命题，则实数的取值范围是_______

【答案】或

【分析】根据一元二次方程有解的条件求解即可．

【详解】解：∵ ，使，

，

解得：或．

故答案为：或．

14．若幂函数为奇函数，则_____________

【答案】-1

【分析】先根据函数为幂函数，求得m，再由奇偶性验证即可.

【详解】因为函数是幂函数，

所以，

解得或，

当时，为偶函数，不符合题意；

当时，为奇函数，符合题意，

所以-1，

故答案为：-1

15．设，，则=___________.

【答案】

【分析】根据对数的运算，结合求解即可.

【详解】解：

故答案为：

16．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 _________

【答案】

【分析】根据分段函数单调性的性质建立条件关系即可得到结论.

【详解】当时，为增函数，此时最小值，

要使在R上单调递增，

，即 ，即.

 故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式的值.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由对数运算性质计算即可得出结果.

（2）由根式及指数的运算性质计算即可得出结果.

【详解】（1）原式

（2）原式=

18．已知（且）的图象过点.

(1)求的值；

(2)若，求的解析式及判断奇偶性.

【答案】(1)

(2)；是偶函数

【分析】（1）根据点求得.

（2）结合对数运算求得的表达式并求得其定义域，根据奇偶性的定义对的奇偶性进行判断.

【详解】（1）∵（且）的图象过点，

∴，∴，

又且，所以.

（2）由（1）得，

其中且

所以的定义域为.

所以.

，所以是偶函数.

19．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用并集的定义求解即可；

（2）利用交集的定义求解即可.

【详解】（1）当时，，

所以.

（2）由得或，

解得或.

20．已知函数.

(1)画出函数的图象；并写出函数的单调递增区间；

(2)若函数，求证：.

【答案】(1)图象详见解析；单调递增区间是和

(2)证明详见解析

【分析】（1）根据的图象以及绝对值的几何意义画出的图象，结合图象求得的单调递增区间.

（2）利用分析法，结合基本不等式证得不等式成立.

【详解】（1）函数的图象如下图所示，

由图可知的单调递增区间是和.

（2）

要证，

即证，

即证，

即证，

根据基本不等式可知恒成立，

所以.

21．已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；

（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

22．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≤0时，f（x） = x2 + x.

(1)当x > 0，求f（x）的解析式；

(2)若g（x） = f（x） + ax在x∈（0，1]上的最大值为2，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)设，则，根据题意求出，再利用函数的奇偶性即可求出；

(2)根据题意，将问题等价转化为在上的最大值为2，根据二次函数的对称轴所在的区间进行分类讨论即可求解.

【详解】（1）设，则，因为当时，，

所以，又因为函数为上的奇函数，

所以，

所以当时，函数的解析式为.

（2）因为在上的最大值为2，

由（1）可知：也即在上的最大值为2，

因为函数开口向下，且对称轴为，又因为，

要使在上的最大值为2，则对称轴大于零，

当，也即时，，解得：不存在；

当，也即时，，解得：，

综上可知：当在上的最大值为2时，实数的值为。