2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数运算，化简复数，即可得到结果.

【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选:A.

2．设等差数列的前项和为，若则（    ）

A．150 B．120 C．75 D．60

【答案】D

【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.

【详解】由等差数列的性质可知，

所以，

.

故选：D

3．已知集合共有8个子集，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断出集合的元素的个数，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】由于集合有个子集，所以集合有个元素，即，

所以，即.

所以的取值范围是.

故选：C

4．某铁球在0℃时，半径为1dm．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（    ）（参考公式：）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得铁球体积关于温度t的表达式，再对其求导，进而即可求得在时，铁球体积对温度的瞬时变化率.

【详解】，

则

则，

即在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为

故选：C

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两角差的正切公式求得，将化简为，根据齐次式的计算求得，即可求得答案.

【详解】由可得 ，

故，

而，

故，

即，

故选：C

6．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.

【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，

则，解得：，当时，，，

则，所以函数为奇函数，即充分性成立；

“函数为奇函数”，

则，即，

解得：，故必要性不成立，

故选：A．

7．已知函数，．若在区间内有零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】应用降幂、辅助角公式得，由正弦型函数的性质及在有零点可得，，即可求参数范围.

【详解】，

令，可得且，则，，

又，在有零点，则，，即，，

所以时；时；时；时；…

综上，.

故选：D

8．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.

【详解】由题设，定义域为，则可得，

令，则，

所以时，即递增，值域为；

时，即递减，值域为；

而恒过，函数图象如下：

要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，

若交点的横坐标为，则，

所以，即.

故选：C

【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.

二、多选题

9．已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．在上单调递增

C．当时，的取值范围为

D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

【答案】ABC

【分析】根据正弦函数的性质一一分析即可；

【详解】解：对于，它的最小正周期，故A正确；

在，，又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；

当时，，所以，则的取值范围为，故C正确；

的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故D错误；

故选：ABC．

10．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（    ）

A． B．若，且，则

C．若，则 D．的值域为

【答案】ABD

【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.

【详解】函数的图像过原点，，即，，

且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；

由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，

由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，

由于，，，，故D确；

故选：ABD

11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.

【详解】由题意得，

，

以上n个式子累加可得

，

又满足上式，所以，故A错误；

则，

得，故B正确；

有，故C正确；

由，

得，

故D正确.

故选：BCD.

12．下列说法不正确的是（    ）

A．若，则符合条件的有两个

B．已知向量，若，则为钝角．

C．若，且，则是等边三角形

D．在中，“”是“为锐角三角形的充要条件

【答案】ABD

【分析】由余弦定理求得，可判定A错误；根据向量的夹角公式，可得判定B不正确；设的平分线为，根据题意得到为等腰三角形，且，可判定C正确；根据向量的夹角公式，得到，得到充分性不成立，可判定D错误.

【详解】对于A中，因为，

由余弦定理得，可得，

所以符合条件的只有一个，所以A错误；

对于B中，由向量，可得，

当时，，所以为钝角，所以B不正确；

对于C中，如图所示，设的平分线为，则，

又由，可得，所以为等腰三角形，

又因为，可得，

由，所以，所以此时为等边三角形，所以C正确；

对于D中，在中，由，可得，即，

但不一定为钝角三角形，所以充分性不成立，所以D错误.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知函数，若，则______．

【答案】-7

【分析】由题意函数，由，求得，进而可求得的值.

【详解】由题意函数，

因为，则，则，

则．

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14．设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据一、二次函数的性质，分析即可得答案.

【详解】因为一次函数在无最小值，二次函数在对称轴处或有最小值，

令，解得或x=2，

所以要使有最小值，则，

所以a的取值范围是

故答案为：

15．若数列{an}满足，则an＝_________

【答案】

【分析】将递推公式两边加1，开方构造出，求出等差数列的通项公式后，可求an．

【详解】，

两边加1得（）2，

两边开方得，，

所以数列{}为等差数列，公差为1，首项1，

数列{}的通项公式为1+（n﹣1）×1＝n．

两边平方得an+1＝n2，所以an＝n2﹣1．

故答案为：n2﹣1．

【点睛】本题考查了由递推关系进行数列通项求解的问题，考查了等差数列的判定及变形构造，转化、计算能力．

16．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可知在区间上恒成立，即可得在区间上恒成立，再根据正弦函数的性质即可求出的最小值，由此即可求出结果.

【详解】因为，所以，

因为函数在区间上单调递减，

所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，

又时，，所以，

所以，所以，即.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，函数．

(1)求的最小正周期；

(2)已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，请判断的形状．

【答案】(1)

(2)为等边三角形

【分析】（1）利用向量的加法及数量积的坐标表示，结合辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及已知条件，利用特殊值对应特殊角及角的范围，结合余弦定理及三角形边角的特点即可求解.

【详解】（1）因为

所以

（2）由（1）可知，，因为，

所以，所以

因为，所以

所以，解得，

由余弦定理可得，

又因为，所以，即，

所以，

所以为等边三角形．

18．在等差数列{}中，

(1)求{}的通项公式；

(2)若是公比为2的等比数列，，求数列{}的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；

（2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解.

【详解】（1）解：设公差为，

则，解得，

则，所以，

所以；

（2）解：，

因为是公比为2的等比数列，

所以，

所以，

所以

.

19．在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．

(1)求角C的大小；

(2)若，求周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，由面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：若选①，因为，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以  

若选②，因为，

由正弦定理得，

所以，即，

，，，

又，.

（2）解：由余弦定理得，

因此，

，当且仅当时等号成立，

 所以的周长

因此的周长的最大值为.

20．已知函数(为实数)

（1）若，求在的最值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）最小值为，最大值为；（2） .

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；

（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；

【详解】（1）当 时，，

由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且，，

则函数在区间上的最小值为，最大值为.

（2）由题得函数的定义域为，若 恒成立，则，

即恒成立，

令 ，则，

当 时， ；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，所以 ，

故的取值范围为.

21．已知数列的前n项和为，满足：

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.

（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．

【详解】（1）由题设，，则，

所以，整理得，则，

所以，即，，

所以，故数列为等差数列，得证.

（2）由，可得，又，结合（1）结论知：公差，

所以，故，则，

所以，且，

所以，即，

所以，在且上递减，则，

要使对任意恒成立，即，

所以.

22．已知函数（其中a为参数）．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对，恒成立，求实数a的取值集合：

(3)证明：（其中，为自然对数的底数）

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间；

（2）对任意，都有，转化为，分类求出，通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围；

（3）借助于（2）中的函数，，分别取和，代入即可通过变形证明.

【详解】（1），，

当时，，在单调递增，

当时，令，得，

时，，单调递减，

时，单调递增；

综上：时，在上递增，无减区间，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）由题意得，

当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意，

当时，在单调递减，在单调递增，

故，

对，恒成立，则需满足，

记，则，

当时，，当时，，

故在上递减，在上递增，

所以的解只有，

实数的取值集合为

（3）由（2）知：

令，则，即，即，

所以，

由（2）知：

令，则，即，

即，所以，

综上可知：.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，含参数分类讨论的思想，考查了恒成立问题，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，利用已有函数的单调性证明函数不等式.