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    2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题(解析版)

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    这是一份2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题(解析版),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题

     

    一、单选题

    1.已知,则z在复平面内对应的点位于(    

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】A

    【分析】由复数运算,化简复数,即可得到结果.

    【详解】因为,所以z在复平面内对应的点位于第一象限.

    故选:A.

    2.设等差数列的前项和为,若    

    A150 B120 C75 D60

    【答案】D

    【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.

    【详解】由等差数列的性质可知

    所以

    .

    故选:D

    3.已知集合共有8个子集,则实数的取值范围为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】先判断出集合的元素的个数,由此列不等式来求得的取值范围.

    【详解】由于集合个子集,所以集合个元素,即

    所以,即.

    所以的取值范围是.

    故选:C

    4.某铁球在0℃时,半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁球的半径会发生变化,且当温度为时铁球的半径为,其中为常数,则在时,铁球体积对温度的瞬时变化率为(    )(参考公式:

    A0 B C D

    【答案】C

    【分析】先求得铁球体积关于温度t的表达式,再对其求导,进而即可求得在时,铁球体积对温度的瞬时变化率.

    【详解】

    即在时,铁球体积对温度的瞬时变化率为

    故选:C

    5.若,则    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】根据两角差的正切公式求得,将化简为,根据齐次式的计算求得,即可求得答案.

    【详解】可得

    故选:C

    6幂函数上为增函数函数为奇函数的(    )条件

    A.充分不必要 B.必要不充分

    C.充分必要 D.既不充分也不必要

    【答案】A

    【分析】要使函数是幂函数,且在上为增函数,求出,可得函数为奇函数,即充分性成立;函数为奇函数,求出,故必要性不成立,可得答案.

    【详解】要使函数是幂函数,且在上为增函数,

    ,解得:,当时,

    ,所以函数为奇函数,即充分性成立;

    函数为奇函数

    ,即

    解得:,故必要性不成立,

    故选:A

    7.已知函数.若在区间内有零点,则的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】应用降幂、辅助角公式得,由正弦型函数的性质及有零点可得,即可求参数范围.

    【详解】

    ,可得,则

    有零点,则,即

    所以

    综上,.

    故选:D

    8.已知函数,若有且只有两个整数解,则k的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】将问题化为有且只有两个整数解,利用导数研究的性质,并画出的图象,判断它们交点横坐标的范围,列不等式组求k的范围.

    【详解】由题设,定义域为,则可得

    ,则

    所以,即递增,值域为

    ,即递减,值域为

    恒过,函数图象如下:

    要使有且只有两个整数解,则必有两个交点,

    若交点的横坐标为,则

    所以,即.

    故选:C

    【点睛】关键点点睛:首先转化为有且只有两个整数解,导数研究函数性质,再应用数形结合法判断交点横坐标范围,即可求参数范围.

     

    二、多选题

    9.已知,关于该函数有下面四个说法,正确的是(    

    A的最小正周期为

    B上单调递增

    C.当时,的取值范围为

    D的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

    【答案】ABC

    【分析】根据正弦函数的性质一一分析即可;

    【详解】解:对于,它的最小正周期,故A正确;

    ,又上单调递增,所以函数上单调递增,故B正确;

    时,,所以,则的取值范围为,故C正确;

    的图象可的图象向右平移个单位长度得到,故D错误;

    故选:ABC

    10.已知函数的图象经过原点,且无限接近直线y2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(    

    A B.若,且,则

    C.若,则 D的值域为

    【答案】ABD

    【分析】根据题意,由指数函数的性质分析的值,即可得函数的解析式,根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.

    【详解】函数的图像过原点,,即

    的图像无限接近直线,但又不与该直线相交,,故A确;

    由于为偶函数,故若,且,则,即,故B确,

    由于在上,单调递减,故若,则,故C错误,

    由于,故D确;

    故选:ABD

    11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为三角垛(下图所示的是一个4层的三角跺).“三角垛最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,,设第n层有个球,从上往下n层球的球的总数为,则(    

    A B

    C D

    【答案】BCD

    【分析】根据题意求得,进而可得,利用累加法求出即可判断选项AC;计算前7项的和即可判断B;利用裂项相消求和法即可判断D.

    【详解】由题意得,

    以上n个式子累加可得

    满足上式,所以,故A错误;

    ,故B正确;

    ,故C正确;

    D正确.

    故选:BCD.

    12.下列说法不正确的是(    

    A.若,则符合条件的有两个

    B.已知向量,若,则为钝角.

    C.若,且,则是等边三角形

    D.在中,为锐角三角形的充要条件

    【答案】ABD

    【分析】由余弦定理求得,可判定A错误;根据向量的夹角公式,可得判定B不正确;设的平分线为,根据题意得到为等腰三角形,且,可判定C正确;根据向量的夹角公式,得到,得到充分性不成立,可判定D错误.

    【详解】对于A中,因为

    由余弦定理得,可得

    所以符合条件的只有一个,所以A错误;

    对于B中,由向量,可得

    时,,所以为钝角,所以B不正确;

    对于C中,如图所示,设的平分线为,则

    又由,可得,所以为等腰三角形,

    又因为,可得

    ,所以,所以此时为等边三角形,所以C正确;

    对于D中,在中,由,可得,即

    不一定为钝角三角形,所以充分性不成立,所以D错误.

    故选:ABD.

     

    三、填空题

    13.已知函数,若,则______

    【答案】-7

    【分析】由题意函数,由,求得,进而可求得的值.

    【详解】由题意函数

    因为,则,则

    【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题,其中解答中利用函数的奇偶性性和,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

    14.设函数,若有最小值,则a的取值范围是______

    【答案】

    【分析】根据一、二次函数的性质,分析即可得答案.

    【详解】因为一次函数无最小值,二次函数在对称轴处或有最小值,

    ,解得x=2

    所以要使有最小值,则

    所以a的取值范围是

    故答案为:

    15.若数列{an}满足,则an_________

    【答案】

    【分析】将递推公式两边加1,开方构造出,求出等差数列的通项公式后,可求an

    【详解】

    两边加12

    两边开方得,

    所以数列{}为等差数列,公差为1,首项1

    数列{}的通项公式为1+n﹣1×1n

    两边平方得an+1n2,所以ann2﹣1

    故答案为:n2﹣1

    【点睛】本题考查了由递推关系进行数列通项求解的问题,考查了等差数列的判定及变形构造,转化、计算能力.

    16.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是______

    【答案】

    【分析】由题意可知在区间上恒成立,即可得在区间上恒成立,再根据正弦函数的性质即可求出的最小值,由此即可求出结果.

    【详解】因为,所以

    因为函数在区间上单调递减,

    所以在区间上恒成立,即在区间上恒成立,

    时,,所以

    所以,所以,即.

    故答案为:.

     

    四、解答题

    17.已知,函数

    (1)的最小正周期;

    (2)已知的内角ABC所对的边分别为abc,若,且,请判断的形状.

    【答案】(1)

    (2)为等边三角形

     

    【分析】1)利用向量的加法及数量积的坐标表示,结合辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解;

    2)根据(1)的结论及已知条件,利用特殊值对应特殊角及角的范围,结合余弦定理及三角形边角的特点即可求解.

    【详解】1)因为

    所以

    2)由(1)可知,,因为

    所以,所以

    因为,所以

    所以,解得

    由余弦定理可得

    又因为,所以,即

    所以

    所以为等边三角形.

    18.在等差数列{}中,

    (1){}的通项公式;

    (2)是公比为2的等比数列,,求数列{}的前n项和

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)设公差为,根据已知求出首项与公差,再根据等差数列的通项公式即可得解;

    2)根据等差数列的通项求出数列的通项,即可得出数列{}的通项,再利用分组求和法即可得解.

    【详解】1)解:设公差为

    ,解得

    ,所以

    所以

    2)解:

    因为是公比为2的等比数列,

    所以

    所以

    所以

    .

    19.在,请在这两个条件中任选一个,补充到下面问题中,并完成解答.

    中,角ABC所对的边分别为abc,设的面积,满足______________(填写序号即可)

    (1)求角C的大小;

    (2),求周长的最大值.

    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)若选,由面积公式及余弦定理得到,即可求出,从而得解;若选,利用正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;

    2)利用余弦定理及基本不等式求出的最大值,即可得解.

    【详解】1)解:若选,因为

    所以

    所以

    所以

    因为

    所以  

    若选,因为

    由正弦定理得

    所以,即

    .

    2)解:由余弦定理得

    因此

    ,当且仅当时等号成立,

     所以的周长

    因此的周长的最大值为.

    20.已知函数(为实数)

    1)若,求的最值;

    2)若恒成立,求的取值范围.

    【答案】1)最小值为,最大值为;(2.

    【分析】1)首先求出函数的导函数,即可得到函数的单调性,从而得到函数的最小值,再求出区间端点的函数值,即可求出函数在区间上的最大值;

    2)首先求出函数的定义域,参变分离,即可得到恒成立,令,利用导数研究函数的单调性,即可求出函数的最小值,从而得解;

    【详解】1)当 时,

    ,由

    所以上单调递减,在上单调递增,

    则函数在区间上的最小值为,最大值为.

    2)由题得函数的定义域为,若 恒成立,则

    恒成立,

    ,则

    时,

    时,

    所以上单调递减,在上单调递增,

    ,所以

    的取值范围为.

    21.已知数列的前n项和为,满足:

    (1)求证:数列为等差数列;

    (2),令,数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.

    【答案】(1)证明见解析;

    (2).

     

    【分析】1)利用关系可得,即有,将两式相减并整理有,即可证结论.

    2)由(1)结论及题设可得,令,应用作差法比较它们的大小,即可确定的单调性并求其最大值,结合恒成立求m的取值范围.

    【详解】1)由题设,,则

    所以,整理得,则

    所以,即

    所以,故数列为等差数列,得证.

    2)由,可得,又,结合(1)结论知:公差

    所以,故,则

    所以,且

    所以,即

    所以,在递减,则

    要使对任意恒成立,即

    所以.

    22.已知函数(其中a为参数).

    (1)求函数的单调区间;

    (2)若对恒成立,求实数a的取值集合:

    (3)证明:(其中为自然对数的底数)

    【答案】(1)答案见解析

    (2)

    (3)证明见解析

     

    【分析】1)求出原函数的导函数,然后对分类求得函数的单调区间;

    2)对任意,都有,转化为,分类求出,通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围;

    3)借助于(2)中的函数,分别取,代入即可通过变形证明.

    【详解】1

    时,单调递增,

    时,令,得

    时,单调递减,

    时,单调递增;

    综上:时,上递增,无减区间,

    时,的单调递减区间为,单调递增区间为

    2)由题意得

    时,单调递增,又,故当时,,故不符合题意,

    时,单调递减,在单调递增,

    恒成立,则需满足

    ,则

    时,,当时,

    上递减,在上递增,

    所以的解只有

    实数的取值集合为

    3)由(2)知:

    ,则,即,即

    所以

    由(2)知:

    ,则,即

    ,所以

    综上可知:.

    【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,含参数分类讨论的思想,考查了恒成立问题,利用导数求函数的最值,考查数学转化思想方法,利用已有函数的单调性证明函数不等式.

     

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