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2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题(解析版)
展开2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题
一、单选题
1.已知,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【分析】由复数运算,化简复数,即可得到结果.
【详解】因为,所以z在复平面内对应的点位于第一象限.
故选:A.
2.设等差数列的前项和为,若则( )
A.150 B.120 C.75 D.60
【答案】D
【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.
【详解】由等差数列的性质可知,
所以,
.
故选:D
3.已知集合共有8个子集,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先判断出集合的元素的个数,由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】由于集合有个子集,所以集合有个元素,即,
所以,即.
所以的取值范围是.
故选:C
4.某铁球在0℃时,半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁球的半径会发生变化,且当温度为时铁球的半径为,其中为常数,则在时,铁球体积对温度的瞬时变化率为( )(参考公式:)
A.0 B. C. D.
【答案】C
【分析】先求得铁球体积关于温度t的表达式,再对其求导,进而即可求得在时,铁球体积对温度的瞬时变化率.
【详解】,
则
则,
即在时,铁球体积对温度的瞬时变化率为
故选:C
5.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据两角差的正切公式求得,将化简为,根据齐次式的计算求得,即可求得答案.
【详解】由可得 ,
故,
而,
故,
即,
故选:C
6.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数是幂函数,且在上为增函数,求出,可得函数为奇函数,即充分性成立;函数为奇函数,求出,故必要性不成立,可得答案.
【详解】要使函数是幂函数,且在上为增函数,
则,解得:,当时,,,
则,所以函数为奇函数,即充分性成立;
“函数为奇函数”,
则,即,
解得:,故必要性不成立,
故选:A.
7.已知函数,.若在区间内有零点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】应用降幂、辅助角公式得,由正弦型函数的性质及在有零点可得,,即可求参数范围.
【详解】,
令,可得且,则,,
又,在有零点,则,,即,,
所以时;时;时;时;…
综上,.
故选:D
8.已知函数,若有且只有两个整数解,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】将问题化为有且只有两个整数解,利用导数研究的性质,并画出与的图象,判断它们交点横坐标的范围,列不等式组求k的范围.
【详解】由题设,定义域为,则可得,
令,则,
所以时,即递增,值域为;
时,即递减,值域为;
而恒过,函数图象如下:
要使有且只有两个整数解,则与必有两个交点,
若交点的横坐标为,则,
所以,即.
故选:C
【点睛】关键点点睛:首先转化为有且只有两个整数解,导数研究函数性质,再应用数形结合法判断、交点横坐标范围,即可求参数范围.
二、多选题
9.已知,关于该函数有下面四个说法,正确的是( )
A.的最小正周期为
B.在上单调递增
C.当时,的取值范围为
D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的性质一一分析即可;
【详解】解:对于,它的最小正周期,故A正确;
在,,又在上单调递增,所以函数在上单调递增,故B正确;
当时,,所以,则的取值范围为,故C正确;
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,故D错误;
故选:ABC.
10.已知函数的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是( )
A. B.若,且,则
C.若,则 D.的值域为
【答案】ABD
【分析】根据题意,由指数函数的性质分析、的值,即可得函数的解析式,根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.
【详解】函数的图像过原点,,即,,
且的图像无限接近直线,但又不与该直线相交,,,,故A确;
由于为偶函数,故若,且,则,即,故B确,
由于在上,单调递减,故若,则,故C错误,
由于,,,,故D确;
故选:ABD
11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”(下图所示的是一个4层的三角跺).“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第n层有个球,从上往下n层球的球的总数为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】根据题意求得,进而可得,利用累加法求出即可判断选项A、C;计算前7项的和即可判断B;利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】由题意得,
,
以上n个式子累加可得
,
又满足上式,所以,故A错误;
则,
得,故B正确;
有,故C正确;
由,
得,
故D正确.
故选:BCD.
12.下列说法不正确的是( )
A.若,则符合条件的有两个
B.已知向量,若,则为钝角.
C.若,且,则是等边三角形
D.在中,“”是“为锐角三角形的充要条件
【答案】ABD
【分析】由余弦定理求得,可判定A错误;根据向量的夹角公式,可得判定B不正确;设的平分线为,根据题意得到为等腰三角形,且,可判定C正确;根据向量的夹角公式,得到,得到充分性不成立,可判定D错误.
【详解】对于A中,因为,
由余弦定理得,可得,
所以符合条件的只有一个,所以A错误;
对于B中,由向量,可得,
当时,,所以为钝角,所以B不正确;
对于C中,如图所示,设的平分线为,则,
又由,可得,所以为等腰三角形,
又因为,可得,
由,所以,所以此时为等边三角形,所以C正确;
对于D中,在中,由,可得,即,
但不一定为钝角三角形,所以充分性不成立,所以D错误.
故选:ABD.
三、填空题
13.已知函数,若,则______.
【答案】-7
【分析】由题意函数,由,求得,进而可求得的值.
【详解】由题意函数,
因为,则,则,
则.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题,其中解答中利用函数的奇偶性性和,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14.设函数,若有最小值,则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据一、二次函数的性质,分析即可得答案.
【详解】因为一次函数在无最小值,二次函数在对称轴处或有最小值,
令,解得或x=2,
所以要使有最小值,则,
所以a的取值范围是
故答案为:
15.若数列{an}满足,则an=_________
【答案】
【分析】将递推公式两边加1,开方构造出,求出等差数列的通项公式后,可求an.
【详解】,
两边加1得()2,
两边开方得,,
所以数列{}为等差数列,公差为1,首项1,
数列{}的通项公式为1+(n﹣1)×1=n.
两边平方得an+1=n2,所以an=n2﹣1.
故答案为:n2﹣1.
【点睛】本题考查了由递推关系进行数列通项求解的问题,考查了等差数列的判定及变形构造,转化、计算能力.
16.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意可知在区间上恒成立,即可得在区间上恒成立,再根据正弦函数的性质即可求出的最小值,由此即可求出结果.
【详解】因为,所以,
因为函数在区间上单调递减,
所以在区间上恒成立,即在区间上恒成立,
又时,,所以,
所以,所以,即.
故答案为:.
四、解答题
17.已知,函数.
(1)求的最小正周期;
(2)已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,且,请判断的形状.
【答案】(1)
(2)为等边三角形
【分析】(1)利用向量的加法及数量积的坐标表示,结合辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解;
(2)根据(1)的结论及已知条件,利用特殊值对应特殊角及角的范围,结合余弦定理及三角形边角的特点即可求解.
【详解】(1)因为
所以
(2)由(1)可知,,因为,
所以,所以
因为,所以
所以,解得,
由余弦定理可得,
又因为,所以,即,
所以,
所以为等边三角形.
18.在等差数列{}中,
(1)求{}的通项公式;
(2)若是公比为2的等比数列,,求数列{}的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设公差为,根据已知求出首项与公差,再根据等差数列的通项公式即可得解;
(2)根据等差数列的通项求出数列的通项,即可得出数列{}的通项,再利用分组求和法即可得解.
【详解】(1)解:设公差为,
则,解得,
则,所以,
所以;
(2)解:,
因为是公比为2的等比数列,
所以,
所以,
所以
.
19.在①,②,请在这两个条件中任选一个,补充到下面问题中,并完成解答.
在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设为的面积,满足______________(填写序号即可).
(1)求角C的大小;
(2)若,求周长的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)若选①,由面积公式及余弦定理得到,即可求出,从而得解;若选②,利用正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;
(2)利用余弦定理及基本不等式求出的最大值,即可得解.
【详解】(1)解:若选①,因为,
所以,
所以,
所以,
因为,
所以
若选②,因为,
由正弦定理得,
所以,即,
,,,
又,.
(2)解:由余弦定理得,
因此,
,当且仅当时等号成立,
所以的周长
因此的周长的最大值为.
20.已知函数(为实数)
(1)若,求在的最值;
(2)若恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)最小值为,最大值为;(2) .
【分析】(1)首先求出函数的导函数,即可得到函数的单调性,从而得到函数的最小值,再求出区间端点的函数值,即可求出函数在区间上的最大值;
(2)首先求出函数的定义域,参变分离,即可得到恒成立,令,利用导数研究函数的单调性,即可求出函数的最小值,从而得解;
【详解】(1)当 时,,
由得,由得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
且,,
则函数在区间上的最小值为,最大值为.
(2)由题得函数的定义域为,若 恒成立,则,
即恒成立,
令 ,则,
当 时, ;
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,所以 ,
故的取值范围为.
21.已知数列的前n项和为,满足:
(1)求证:数列为等差数列;
(2)若,令,数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)利用关系可得,即有,将两式相减并整理有,即可证结论.
(2)由(1)结论及题设可得,令、,应用作差法比较它们的大小,即可确定的单调性并求其最大值,结合恒成立求m的取值范围.
【详解】(1)由题设,,则,
所以,整理得,则,
所以,即,,
所以,故数列为等差数列,得证.
(2)由,可得,又,结合(1)结论知:公差,
所以,故,则,
所以,且,
所以,即,
所以,在且上递减,则,
要使对任意恒成立,即,
所以.
22.已知函数(其中a为参数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若对,恒成立,求实数a的取值集合:
(3)证明:(其中,为自然对数的底数)
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)求出原函数的导函数,然后对分类求得函数的单调区间;
(2)对任意,都有,转化为,分类求出,通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围;
(3)借助于(2)中的函数,,分别取和,代入即可通过变形证明.
【详解】(1),,
当时,,在单调递增,
当时,令,得,
时,,单调递减,
时,单调递增;
综上:时,在上递增,无减区间,
当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)由题意得,
当时,在单调递增,又,故当时,,故不符合题意,
当时,在单调递减,在单调递增,
故,
对,恒成立,则需满足,
记,则,
当时,,当时,,
故在上递减,在上递增,
所以的解只有,
实数的取值集合为
(3)由(2)知:
令,则,即,即,
所以,
由(2)知:
令,则,即,
即,所以,
综上可知:.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,含参数分类讨论的思想,考查了恒成立问题,利用导数求函数的最值,考查数学转化思想方法,利用已有函数的单调性证明函数不等式.
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