2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高一上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高一上学期期中数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
A. B.
C. D.
2.命题“∀x∈R，x2-x≥0”的否定是
( )
A. ∀x∈R，x2-x<0B. ∃x∈R，x2-x≥0
C. ∀x∈R，x2-x≤0D. ∃x∈R，x2-x<0
3.已知p：正整数x能被6整除，q:x∈xx=3k,k∈N*，则p是q的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B=x|-3( )
A. 3B. 4C. 7D. 8
5.已知函数f(x)=x2+1x≤05xx>0，若f(a)=10，则实数a的值是
( )
A. 3或3B. 3或2C. 3D. 3或3或2
6.函数y=x-2x-1的图象是( )
A. B.
C. D.
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是
( )
A. 大于10gB. 大于等于10gC. 小于10gD. 小于等于10g
8.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A. [-2,2]B. [-1,1]C. [0,4]D. [1,3]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若a>b>0，则下列结论正确的是
( )
A. a2>b2B. ac2>bc2C. 1 a<1 bD. a2>ab
10.已知函数f(x)=x2,-2≤x<1-x+2,x≥1，关于函数f(x)的结论正确的是
( )
A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(-∞,4]
C. 若f(x)=2，则x的值是- 2D. f(x)<1的解集为(-1,1)
11.下列命题中，为假命题的是( )
A. ∀x∈R，都有x2-x≥x+1
B. 函数y=x2+4 x2+3的最小值为2
C. 对任意非零实数a，b，都有a2+b2ab≥2
D. ∃x0∈-1,+∞，使得x0+4x0+1=4
12.定义在R上的函数fx若满足：①∀x1，x2∈0,+∞，都有x1-x2fx1-fx2>0﹔②对任意x，都有fa+x=fa-x，则称函数fx为“轴对称函数”，其中x=a称为函数fx的对称轴．已知函数y=fx-2是以x=2为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式f2m-1≤fm成立的m的取值可能是
( )
A. -13B. 12C. 1D. 2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数f(x)=1x+ 1-x的定义域是 ．
14.函数y=x2-4x+3的零点为 ．
15.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+6，则f(x)的解析式为_________．
16.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=xy= x2-3x-4，集合B=xx+2x<0．
(1)求∁RA∩B；
(2)设集合C=xm-118.(本小题12分)
已知函数fx=x-1,gx=-x2+2x+1．
(1)在同一坐标系中画出函数fx，gx的图象；
(2)定义：对∀x≥0，hx表示f(x)与g(x)中的较小者，记为hx=minfx,gx，分别用函数图象法和解析法表示函数hx，并写出hx的单调区间和值域(不需要证明)．
19.(本小题12分)
已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x∣x<1或x>b}．
(1)求a､b的值；
(2)m为何值时，ax2+mx+3≥0的解集为R．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1)=6，f(2)=10．
(1)求实数b,c的值；
(2)若函数g(x)=f(x)x-1(x>1)，求g(x)的最小值并指出此时x的取值．
21.(本小题12分)
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始xmin时，学生注意力集中度的值f(x)(f(x)的值越大，表示学生的注意力越集中)与x的关系如下：f(x)=-0.1x2+2.6x+43,0(1)讲课开始5min时和讲课开始20min时比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+bx2+a是定义在[-2,2]上的奇函数，且f(1)=15．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断f(x)在[-2,2]上的单调性，并用定义证明；
(3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若对任意的x1∈[-2,2]，总存在x2∈[-1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解．
依次判断每个选项：A值域不满足；B定义域不满足；C满足；D不是函数，得到答案．
解：根据图像观察知：A值域不满足；B定义域不满足；C满足；D不是函数
故选：C
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有全称量词的命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案．
【解答】
解：由于全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“∀x∈R，x2-x≥0”的否定为：“∃x∈R，x2-x<0”．
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】分析出q命题表示正整数x能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之不成立，即可得到答案．
解：由题知在q命题表示正整数x能被3整除，
而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者，
而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对新定义的理解能力，属于基础题．
根据题意可得所有的一位正整数都是自恋数，从而可解．
【解答】
解：根据题意，根据“自恋数”的定义可知，所有的一位正整数都是自恋数，
即A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
又B={x|-3则A∩B={1,2,3}，该集合中的元素有3个，
则A∩B的子集个数为23=8，故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查分段函数的求值问题，关键是要对a进行分类讨论．
根据题意，需要对a进行分类讨论，若a≤0，则f(a)=1+a2；若a>0，则f(a)=5a，进而求得结果．
解：(ⅰ)若a≤0，则f(a)=1+a2=10，
∴a2=9，a=-3(a=3舍去)；
(ⅱ)若a>0，则f(a)=5a=10
∴a=2 ．
综上，a=-3或2．
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
方法一，由函数图象过定点，代入选项验证即可；方法二，将函数化为y=-1x-1+1，利用函数图象的变换可得．
【解答】
解：方法一：代入选项验证即可，x=2时，y=0，故此函数的图像过点2,0，
结合图像可知B项符合．
方法二：y=x-2x-1=-1x-1+1，此函数图像由函数y=-1x的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
结合选项可知B项符合．
故选B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的实际应用，属于中档题．
【解答】
解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则bx=5a，ay=5b，
∴x=5ab，y=5ba，
∴x+y=5ab+5ba=5(ab+ba)≥5×2 ab⋅ba=10，
当且仅当ab=ba，即a=b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x+y>10，
因此，顾客购得的黄金大于10g．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式-1≤f(x-2)≤1化为-1≤x-2≤1，即可解得答案．
【解答】解：由函数f(x)为奇函数，
得：若f(1)=-1，则f(-1)=-f(1)=1，
则-1≤f(x-2)≤1，即f(1)≤f(x-2)≤f(-1)，
又∵函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，
∴-1≤x-2≤1，
解得：1≤x≤3，
∴x的取值范围是[1,3]．
故选D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】由不等式性质判断A、C、D，特殊值c=0判断B即可．
解：由a>b>0，则a2>b2， a> b>0即1 a<1 b，a2>ab，故 A、C、D正确；
当c=0时ac2=bc2，故 B错误．
故选：ACD
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查分段函数的定义域、值域的求法，考查不等式的解法，是中档题．
求解分段函数的定义域及值域判断A与B；由函数值求解x值判断C；求解函数不等式判断D．
【解答】解： 函数f(x)=x2,-2≤x<1-x+2,x≥1的定义域是[-2,+∞)，故A错误；
当-2≤x<1时，f(x)=x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)=-x+2，值域为(-∞,1]，故f(x)的值域为(-∞,4]，故B正确；
当x≥1时，令f(x)=-x+2=2，无解，当-2≤x<1时，令f(x)=x2=2，得到x=- 2，故C正确；
当-2≤x<1时，令f(x)=x2<1，解得x∈(-1,1)，当x≥1时，令f(x)=-x+2<1，
解得x∈(1,+∞)，故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞)，故D错误．
故选BC．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】取特值判断选项A，C；利用对勾函数性质求出最小值判断B；利用存在量词命题真假判断方法判断D作答．
解：对于A，当x=0时，不等式x2-x≥x+1不成立，A是假命题；
对于B，原函数化为y= x2+3+1 x2+3，令t= x2+3≥ 3，显然函数y=t+1t在[ 3,+∞)上单调递增，
因此当t= 3，即x=0时，ymin= 3+1 3=43 3，B是假命题；
对于C，当实数a，b异号时，a2+b2ab<0，C是假命题；
对于D，当x0=0时，x0+4x0+1=4，即∃x0∈-1,+∞，使得x0+4x0+1=4，D是真命题．
故选：ABC
12.【答案】BC
【解析】【分析】根据已知条件求得fx为偶函数，结合其单调性，求解不等式即可求得参数范围．
解：函数y=fx-2是以x=2为对称轴的“轴对称函数”，
则y=fx以x=0为对称轴的函数，即函数fx是偶函数，
又y=fx在x∈0,+∞上是增函数，
不等式f2m-1≤fm，故2m-1≤m，解得13≤m≤1，
故选：BC．
13.【答案】(-∞,0)∪(0,1]
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
结合题意求解即可．
【解答】
解：依题意x≠0,1-x≥0,解得x∈(-∞,0)∪(0,1]．
14.【答案】1和3
【解析】【分析】
本题考查二次函数零点的求解，属于基础题．
由题意，根据零点的定义，列方程，可得答案．
【解答】
解：由题意，令x2-4x+3=0，
即x-1x-3=0，
解得x=1或x=3，
故函数的零点为1和3．
故答案为1和3．
15.【答案】f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6
【解析】【分析】本题考查已知函数形式求函数解析式，属于基础题
设一次函数f(x)=ax+b(a≠0)，代入f[f(x)]=4x+6中，利用待定系数法求得a,b，即可得到解析式
解：设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6，
所以a2=4ab+b=6,
解得a=2b=2或a=-2b=-6
所以f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6
故答案为：f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6
16.【答案】-∞,9
【解析】【分析】将2x+y与2x+1y相乘，展开后利用基本不等式求出2x+y的最小值，即可得出实数m的取值范围．
解：因为x>0，y>0，且2x+1y=1，
所以，2x+y=2x+y2x+1y=5+2xy+2yx≥5+2 2xy⋅2yx=9，
当且仅当x=y=3时，等号成立，故2x+y的最小值为9．
因为2x+y>m恒成立，所以，m<2x+ymin=9．
故答案为：-∞,9．
17.【答案】解：(1)
由x2-3x-4≥0得x≤-1或x≥4，所以A={x|x≤-1或x≥4}，
由x+2x<0得x(x+2)<0，解得-2∁RA={x|-1(2)
因为A∪C=C，所以C⊆A，
所以m+1≤-1或m-1≥4，解得m≤-2或m≥5．

【解析】【分析】(1)求函数定义域得集合A，解不等式得集合B，然后由集合的运算法则计算；
(2)由A∪C=A得C⊆A，然后由集合的包含关系求解．
18.【答案】解：(1)
如图所示：
(2)函数hx=minfx,gx的图像如图所示：
解析式为hx=-x2+2x+1,x∈-∞,0∪2,+∞x-1,x∈0,2,
函数hx单调增区间为-∞,0和1,2；
单调减区间为0,1和2,+∞，值域为-∞,1．

【解析】【分析】(1)直接作图即可；
(2)根据hx的定义作出图象，结合图象求出hx的解析式，即可求出hx的单调区间和值域．
19.【答案】解：(1)
不等式ax2-3x+6>4的解集为{x∣x<1或x>b}，
所以1和b是方程ax2-3x+6=4的实数根，
方程可化为ax2-3x+2=0，
由根与系数的关系知，1+b=3a1×b=2a,
解得a=1b=2．
(2)
由(1)知：不等式ax2+mx+3≥0为x2+mx+3≥0，
令Δ=m2-12≤0，解得-2 3≤m≤2 3，
所以当-2 3≤m≤2 3时，不等式的解集为R．

【解析】【分析】(1)由一元二次不等式解集的端点就是一元二次方程的根，可以列出关于a､b的方程组，求解即可．
(2)当a=1时，若不等式x2+mx+3≥0的解集为R，则需满足Δ≤0，然后解不等式即可．
20.【答案】解：(1)
因为f(x)=x2+bx+c，且f(1)=6，f(2)=10，
所以1+b+c=64+2b+c=10，解得b=1,c=4；
(2)
由(1)可得f(x)=x2+x+4，
所以gx=fxx-1=x2+x+4x-1
因为x>1，
所以gx=x-12+3x-1+6x-1=x-1+6x-1+3≥2 6+3，当且仅当x-1=6x-1，即x= 6+1时取得等号，
所以g(x)的最小值为2 6+3，此时x= 6+1．

【解析】【分析】(1)根据条件建立方程组求解即可；
(2)g(x)的解析式可变形为g(x)=x-1+6x-1+3，然后利用基本不等式求解即可．
21.【答案】解：(1)
由题意得，f5=53.5,f20=47所以讲课开始后5min学生注意力更集中．
(2)
当0f(x)在0当1016时，函数f(x)为减函数，且f(x)<59．
因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强(为59)，能维持6分钟．
(3)
当0当x>16时，令f(x)=55，解得x=1713，
可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间=1713-6=1113<13，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

【解析】【分析】(1)由题意得，f(5)=53.5,f(20)=47(2)分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；
(3)分别求解当022.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x+bx2+a是定义在[-2,2]上的奇函数，所以f(0)=ba=0⇒b=0；
又f(1)=1a+1=15⇒a=4
所以f(x)=xx2+4，经检验，该函数为奇函数；
(2)f(x)在[-2,2]上单调递增，
证明如下：任取-2≤x1f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4=x1(x22+4)-x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2-4)(x2-x1)(x12+4)(x22+4)，其中x1x2-4<0，x2-x1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)(3)由于对任意的x1∈[-2,2]，总存在x2∈[-1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，
所以f(x)的值域为g(x)的值域的子集
而由(2)知：f(x)∈[-14,14]，
当k>0时，g(x)在[-1,2]上递增，g(x)∈[1-k,8k+1]，
所以1-k≤-1414≤8k+1，即k≥54，
当k<0时，g(x)在[-1,2]上递减，g(x)∈[8k+1,1-k]，
所以8k+1≤-1414≤1-k，即k≤-532．
综上所述，k∈(-∞,-532]∪[54,+∞)．
【解析】本题考查函数恒成立问题，着重考查函数基本性质的综合应用，涉及分类讨论思想与转化与化归思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于较难题．
(1)f(x)=x+bx2+a是定义在[-2,2]上的奇函数⇒f(0)=ba=0⇒b=0，由f(1)=1a+1=15可求得a，注意检验；
(2)f(x)在[-2,2]上单调递增，用定义证明，任取-2≤x1(3)依题意知，f(x)的值域为g(x)的值域的子集，由(2)知：f(x)∈[-14,14]，分k>0与k<0讨论，分析可求得实数k的取值范围．