2021-2022学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题1．的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由诱导公式一即可值【详解】故选：D2．命题“，使.”的否定形式是（    ）A．“，使” B．“，使”C．“，使” D．“，使”【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使．故选：D．3．设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，则，解得，则，所以，因此.故选C【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.4．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.【详解】解：因为幂函数的图像过点，所以，所以，所以，由于函数在上单调递增，所以，解得：．故的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.5．已知，且，则的最小值为（    ）A． B． C．6 D．8【答案】A【解析】由于，且，则利用基本不等式可得，从而可得答案【详解】因为，且，则，当且仅当即，时取等号，所以的最小值为故选：A．6．已知函数的零点为，设，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据零点定义将零点转化成函数，的交点，数形结合得，根据指数函数和对数函数的单调性判断出，值，之后比较大小即可得出答案.【详解】解：由已知得，数形结合得，则，，所以．故选：B．【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.7．根据《道路交通安全法》规定：驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL/小于80mg/100mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶．某人喝了酒后，血液中的酒精含量升到60mg/100mL．在停止喝酒后，若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为了保障交通安全，这人至少经过几小时才能开车（    ）（精确到1小时，参考数据，）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】设这人至少经过小时才能开车，根据血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，由求解.【详解】设这人至少经过小时才能开车，由题意得：，即，所以 ，所以这人至少经过5小时才能开车，故选：C8．已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由，设，得到，令，然后将不等式，转化为，利用的单调性求解.【详解】因为，不妨设，则，令，在R上递增，又，所以不等式，即为，即，所以，则，解得 ，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由，构造函数，利用其单调性得解. 二、多选题9．下列命题中，正确的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若且，则【答案】BC【分析】举反例说明A错误；利用不等式性质可判断;利用作差法比较大小，判断C.【详解】若，当时，则不成立，A错误；若，则，故B正确；若且，则，则，C正确；若且，则，故，故D错误，故选:10．下列计算正确的有（  ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用指数的运算性质可判断A；利用对数的运算性质可判断B、C；由根式的性质可判断D.【详解】，正确；，B正确；，C不正确；，D不正确.故选：AB.11．下列命题正确的有（    ）A．函数有1个零点 B．的最大值为1C．与是同一函数 D．是奇函数【答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性单调性逐项分析即可.【详解】对于A， ，显然是增函数， ，根据零点存在定理，在 上存在唯一零点，正确；对于B， 是偶函数，当 时， 是减函数，当 时是增函数，所以在x=0处取得最大值 ，正确；对于C， 的定义域是 ，  的定义域是 ，错误；对于D， ，是奇函数，正确；故选：ABD.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是【答案】BC【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，.∵，，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，∴是奇函数，B正确；在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；，，， ，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断. 三、填空题13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.【答案】【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的面积，解得：，此扇形所含的弧长.故答案为：.14．已知函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则的值为______.【答案】【分析】根据对数函数过定点的求法可求得点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.【详解】当时，，，.故答案为：.15．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_____________.【答案】【分析】根据题意，设，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，根据二次函数的图象和性质得出，解不等式即可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，在区间上单调递减，设，而外层函数在定义域内单调递减，则可知内层函数在区间上单调递增，由于二次函数的对称轴为，由已知，应有，且满足当时，，即，解得：，所以实数的取值范围是.故答案为：.16．已知函数，若存在（），使，则的取值范围是______.【答案】【分析】先画函数的图象，结合图象判断，再利用函数的单调性即得.【详解】作出的大致图象，由图可知，关于轴对称，即，由，可得，所以，则，因为，所以，又当，单调递减，所以，即的取值范围是.故答案为：. 四、解答题17．已知集合.(1)求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，利用补集和交集的运算求解.（2）根据“”是“”的必要条件，由,分，求解.【详解】（1）因为，所以，则（2）因为“”是“”的必要条件，所以,①，所以；②，则则.综上，.18．已知函数，其中且.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的x的集合.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.【分析】（1）先求得函数的定义域为关于原点对称，结合对数的运算，化简得到，即可得到结论；（2）由，列出方程求得，得到，根据，得到不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，即的定义域为关于原点对称，因为，所以是定义域上的奇函数.（2）由，可得，解得，所以函数，又由，则，可得，解得，故不等式的解集为.19．（1）已知求的值；（2）已知，且β为第四象限角，求的值.【答案】（1）-1；（2）【分析】（1）先求出，进而由，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含的式子，从而得解（2）由，结合角的范围可得解.【详解】（1）由，得，所以，.（2），所以，又为第四象限角，所以，所以.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？【答案】(1)，；(2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元. 【分析】（1）设投资债券等稳健型产品收益为，投资股票等风险型产品收益为，结合已知，应用待定系数法求参数，即可写出函数关系式；（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，可得收益函数为，应用换元法(注意定义域)及二次函数的性质求最大值即可.【详解】（1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益为万元，由题意知：，即；，即，∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，；（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，由题意，投资获得的收益，令，则，∴原问题为求的最大值. ，∴当，即万元时收益最大，最大为3万元.故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.21．已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）题设不等式可化为，讨论、、分别求得它们的解集；（2）由题意知：在上的值域为，要使只需，进而可求的最小值.【详解】（1），化简有，即整理得，∴当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）∵时，，∴根据二次函数的图像性质，有，∴，∵对于都有，即求，转化为，而，，∴，即的最小值为.22．已知函数，.（1）若关于x的方程恰有两个解，求m的取值范围；（2）设，若对任意的实数，函数在区间上的最大值与最小值之和不大于，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）方程等价于有两个根，令，，进而可得在上有且仅有两个解，根据二次函数的性质即可求解.（2）判断函数在区间单调递减，根据单调性求出函数的最值，从而可得不等式，令，将不等式转化为，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由已知，，即，所以，整理，得，令，，依题设，在上有且仅有两个解.令，由图可知，m的取值范围为.（2）因为在上单调递减，所以，，依题设，，即，令，因为，所以，从而，即.令，，因为，所以单调递增，依题意，只需，即，又，所以.所以m的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与方程，函数的最值，解题的关键是将最值问题转化为不等式恒成立问题，考查了转化与划归的思想.