2022-2023学年山东省东营市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年山东省东营市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共63页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省东营市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）
1. 下列各数中，小于﹣2的数是（ ）.
A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣4
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. （﹣3x3）2=9x6 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. a3•a2=a6 D. x2+x2=x4
3. 我市某中学举办了以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各没有相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（ ）
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
4. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既没有是对称图形也没有是轴对称图形的是（ ）

A. B.
C. D.
5. 从下列没有等式中选择一个与x＋1≥2组成没有等式组，如果要使该没有等式组的解集为x≥1，那么可以选择的没有等式是(　　)
A. x＞－1 B. x＞2
C. x＜－1 D. x＜2
6. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（　　）

A. 1 B. C. D.
7. 已知点E（2，1）在二次函数y＝x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（　　）
A. （4，1） B. （5，1） C. （6，1） D. （7，1）
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）

A. B. 2 C. 2 D. 3
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9. 我国南海海域的面积约为3500000，该面积用科学记数法应表示为_______．
10. 如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．

11. 若x，y满足方程组则的值为______.
12. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=_____．

13. 某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元，仍获利10％，则该商品每件的进价为_________元．
14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____

15. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，An⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1=﹣1，则a2016=_____．

16. 如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：
①当x＜0或x＞1时，y1＜y2；
②当x＜0时，M=y1；
③使得M=x的值是﹣或；
④对任意x的值，式子=1﹣M总成立．
其中正确的是_____（填上所有正确的结论）

三、解 答 题（本大题共8小题，满分72分。）
17. （8分）（1）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0
（2）先化简，再求值：，其中a=﹣2．
18. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度．
19. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成了两幅没有完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被学生共有　 　人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
20. 如图，点A，B分别在轴，轴上，点D在象限内，DC⊥轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k>0）的图象过CD的中点E．

（1）求证：△AOB≌△DCA；
（2）求的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成对称，其中点F在轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
21. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长.

22. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度没有少于2米且没有超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价，总造价为多少元？


23. 我们把两条中线互相垂直三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．


















2022-2023学年山东省东营市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）
1. 下列各数中，小于﹣2的数是（ ）.
A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣4
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据题意，有理数大小比较的法则，从符号和值两个方面分析可得答案．比﹣2小的数应该是负数，且值大于2的数，分析选项可得，只有D符合．故选D．
考点：有理数大小比较．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. （﹣3x3）2=9x6 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. a3•a2=a6 D. x2+x2=x4
【正确答案】A

【详解】A、（﹣3x3）2=9x6，故A选项正确；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故B选项错误；C、a3•a2=a5，故C选项错误；D、x2+x2=2x2，故D选项错误，
故选A．
3. 我市某中学举办了以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各没有相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（ ）
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
【正确答案】C

【详解】解：由于总共有7个人，且他们的分数互没有相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少．
故选C．
本题考查统计量的选择．
4. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既没有是对称图形也没有是轴对称图形的是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
【详解】A、没有是轴对称图形，是对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，没有是对称图形，故本选项错误；
C、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，也是对称图形，故本选项错误．
故选C．
本题考查了对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原重图合．
5. 从下列没有等式中选择一个与x＋1≥2组成没有等式组，如果要使该没有等式组的解集为x≥1，那么可以选择的没有等式是(　　)
A. x＞－1 B. x＞2
C. x＜－1 D. x＜2
【正确答案】A

【详解】试题分析：x+1≥2，
解得：x≥1，
根据取大可得另一个没有等式的解集一定是x没有大于1．
故选A．
考点：没有等式的解集．
6. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（　　）

A. 1 B. C. D.
【正确答案】C

【详解】由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2（图2中），AD=AB﹣BD=4（图3中）；
∵CE∥AB，
∴△ECF∽△ADF，
得，
即DF=2CF，所以CF：CD=1：3，
故选C．

本题考查了矩形的性质，折叠问题，相似三角形的判定与性质等，准确识图是解题的关键.
7. 已知点E（2，1）在二次函数y＝x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（　　）
A. （4，1） B. （5，1） C. （6，1） D. （7，1）
【正确答案】C

【分析】求得对称轴，即可求得对称点．
【详解】由二次函数y=x2-8x+m可知对称轴为x=- ,
∵点E（2，1）与点（6，1）关于图象对称轴对称，
∴点E关于图象对称轴的对称点坐标是（6，1），
故选C．
考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）

A. B. 2 C. 2 D. 3
【正确答案】B

【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．
【详解】解：连接PP′交BC于O，

∵若四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，
∴∠POQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PO∥AC，
∴
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP=t，QB=t，
∴QC=6-t，
∴CO=3-，
∵AC=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=6，
∴
解得：t=2，
故选B．
本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9. 我国南海海域的面积约为3500000，该面积用科学记数法应表示为_______．
【正确答案】3.5×106．

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．3500000一共7位，从而3500000=3.5×106．
【详解】解：3500000=3.5×106．
故3.5×106．
10. 如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．

【正确答案】110°

【分析】先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：如图：延长直线：
∵a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，
又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2-∠3=∠5=110°
故110°．

本题考查平移问题，解答本题的关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质求角．
11. 若x，y满足方程组则的值为______.
【正确答案】

【分析】方程组中第二个方程整理后求出x+y的值，原式利用平方差公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
由②得，
因为，
所以.
故答案为
此题考查了二元方程组的解，以及平方差公式，将原式进行适当的变形是解本题的关键．
12. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=_____．

【正确答案】1

【详解】由图可知：AC=，BC=，
∴AC=BC，
∵AC2+BC2=5+5=10，AB2=9+1=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴tanA==1，
故答案为1．
13. 某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元，仍获利10％，则该商品每件的进价为_________元．
【正确答案】100

【详解】试题分析：设该商品每件的进价为x元，则
150×80%－10－x＝x×10%，
解得 x＝100．
即该商品每件的进价为100元．
故答案为100．
点睛：此题主要考查了一元方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系．
14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____

【正确答案】3或

【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故或3．
此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
15. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，An⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1=﹣1，则a2016=_____．

【正确答案】

【详解】试题分析：首先根据a1=﹣1，求出a2=2，a3=，a4=﹣1，a5=2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2016是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
∵a1=﹣1， ∴B1的坐标是（﹣1，1）， ∴A2的坐标是（2，1）， 即a2=2， ∵a2=2，
∴B2的坐标是（2，﹣）， ∴A3的坐标是（，﹣）， 即a3=， ∵a3=，
∴B3的坐标是（，﹣2）， ∴A4的坐标是（﹣1，﹣2）， 即a4=﹣1， ∵a4=﹣1，
∴B4的坐标是（﹣1，1）， ∴A5的坐标是（2，1）， 即a5=2， …，
∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、， ∵2016÷3=672，
∴a2016是第672个循环的第3个数， ∴a2016=．
考点：函数图象上点的坐标特征．
16. 如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：
①当x＜0或x＞1时，y1＜y2；
②当x＜0时，M=y1；
③使得M=的x的值是﹣或；
④对任意x的值，式子=1﹣M总成立．
其中正确的是_____（填上所有正确的结论）

【正确答案】①②③④

【详解】①观察图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2，故①正确，
②观察图象可知：当x＜0时，M=y1，故②正确，
③M=时， =﹣x2+1，解得x=﹣或（舍去），
=﹣x+1，解得x=，
∴x的值是﹣或，故③正确，
④观察图象可知：M≤1，对任意x的值，式子=1﹣M总成立，故④正确，
故答案为①②③④．
本题考查了二次函数的性质，读懂题目信息并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分72分。）
17. （8分）（1）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0
（2）先化简，再求值：，其中a=﹣2．
【正确答案】（1）；（2） ，

【详解】试题分析：（1）先分别进行负指数幂、0指数幂的运算、角的三角函数值、二次根式的化简，然后再按顺序进行计算即可；
（2）先通分进行分式的减法运算，然后把数值代入进行计算即可得.
试题解析：（1）原式=2﹣2×+1=2﹣+1=3+2；
（2）原式=，
当a=﹣2时，原式=.
18. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度．
【正确答案】60千米/时

【分析】利用“实际用时-计划用时=小时”这一等量关系列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划的行驶速度为x千米/时，则：

解得x=60，
经检验：x=60是原方程的解，且符合题意，
所以x=60．
答：原计划的行驶速度为60千米/时．
19. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成了两幅没有完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被的学生共有　 　人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【正确答案】解：（1）200．
（2）补全图形，如图所示：

（3）列表如下：


甲

乙

丙

丁

甲

﹣﹣﹣

（乙，甲）

（丙，甲）

（丁，甲）

乙

（甲，乙）

﹣﹣﹣

（丙，乙）

（丁，乙）

丙

（甲，丙）

（乙，丙）

﹣﹣﹣

（丁，丙）

丁

（甲，丁）

（乙，丁）

（丙，丁）

﹣﹣﹣

∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

【详解】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）．
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可．
（3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
20. 如图，点A，B分别在轴，轴上，点D在象限内，DC⊥轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k>0）的图象过CD的中点E．

（1）求证：△AOB≌△DCA；
（2）求的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成对称，其中点F在轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）k=3
（3）点G在反比例函数图象上，理由见解析

【分析】（1）利用HL可证△AOB≌△DCA；
（2）由勾股定理可求出AC的长，从而得到OC的长，可得E坐标，代入即可求解；
（3）由△BFG和△DCA关于某点成对称可知BF=DC=2，FG=AC=1，从而可得点G坐标，代入判断即可
【详解】【问题1详解】
证明：∵点A，B分别在x，y轴上，DC⊥x轴于点C，
∴∠AOB=∠DCA=90°，
∵AO=CD=2，AB=DA=，
∴△AOB≌△DCA；
【问题2详解】
解：∵∠DCA=90°，DA=，CD=2，
∴AC==1，
∴OC=OA+AC=2+1=3，
∵E是CD中点，
∴E（3,1），
∵反比例函数y=的图象过点E，
∴k=3×1=3；
【问题3详解】
解：∵△BFG和△DCA关于某点成对称，
∴BF=DC=2，FG=AC=1，
∵点F在y轴上，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴G（1,3），
把x=1代入y=中得y=3，
∴点G在反比例函数图象上．
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的坐标特征，对称的性质，掌握等三角形的判定与性质、对称的性质、待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．

21. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长.

【正确答案】(1)证明见解析;(2)1.

【分析】（1）利用切线的性质和等腰三角形的性质可以得出∠DCE=∠E，进而得出答案；
（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．
【详解】解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，
∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE；
（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，
在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=，
∴ED=AD=（3+x），
由（1）知，DC=（3+x），
在Rt△OCD中，，
则，
解得：（舍去），，
故BD=1．

考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题．

22. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度没有少于2米且没有超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价，总造价为多少元？


【正确答案】（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）以通道的宽为5米；（3）当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．

【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．
【详解】（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400．
（2）当通道所占面积是整个长方形空地面积的，即花圃所占面积是整个长方形空地面积的，则4a2﹣200a+2400=60×40×，
解方程得：a1=5，a2=45（没有符合题意，舍去）
即此时通道宽为5米；
（3）当a=10时，花圃面积（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）
即此时花圃面积至少为800（平方米）．
根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，
将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有
1200m=48000，解得：m=40
∴y1=40x且有，
解得：，
∴y2=35x+20000．
∵花圃面积：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920
解得a1=2，a2=48（舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
考核知识点：函数，一元二次方程应用.
23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

【正确答案】（1）2，2；2，2；（2）+=5；（3）AF=4．

【详解】（1）【思路分析】由题可知AF、BE是的中线，因此EF即为的中位线，由此可得，且EF的长是AB的一半，题中已知的度数和边AB的长，利用相似三角形的性质和勾股定理即可得解；
解：（1），；，．
解法提示：由题可得EF即为的中位线，
，且，
，
，
①当时，
，
，
，
则在中，，
，
，即，
；
②当时，
，
，
则在和中，
，
．
（2）【思路分析】连接EF，由（1）中相似三角形可知PE与PB、PF与PA的比例关系，设，由此可得AP、PB的长，依次将线段长代入和中，即可求解；
解：猜想三者之间的关系是：．
证明如下：如解图①，连接EF，
∵AF，BE是的中线，
∴EF是的中位线．
，且．
，
．

图①
方法一：设，则，
在中，①；
在中，②；
在中，③；
由①，得．
由②+③，得．
．
方法二：在和中，
，

．
．
，即．
（3）【思路分析】求AF的长，则首先想到构造“中垂三角形”，由题可知，，设AF、BE交于点P，取AB的中点H，连接FH、AC，平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解．
解：设AF，BE交于点P．

图②
如解图②，取AB的中点H，连接FH，AC．
∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，
．
又，
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是“中垂三角形”，
，即，
．

图③
一题多解：如解图③，连接AC，CE，延长CE交BA的延长线于点H．
∵在中，E，G分别是AD、CD的中点，
．
，
．
又中，，
．
．
∴BE，CA是的中线，
是“中垂三角形”，
．
，
，即．
∵AF是的中位线，
．
难点突破：本题的难点在于第（2）问中求得PE与PB、PF与PA的比例关系后，利用勾股定理将其转换为三者之间的关系；第（3）问中在平行四边形中利用平行四边形的性质构造“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系进行求解．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．

【分析】（1）首先利用根与系数的关系得出：，条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的值；
（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
【详解】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+3，
要构成 APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取值，值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时， APC面积的值为12；
（3）如图，连接AB，则AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时， =t，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14

本题是二次函数综合题目，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，利用分类讨论的思想和方程思想求解是解决本题的关键．



2022-2023学年山东省东营市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. ﹣4的倒数的相反数是（　　）
A. ﹣4 B. 4 C. ﹣ D.
2. 下列运算正确是（　　）
A. B. C. D.
3. 如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中∠α=24°，则∠β的度数为（ ）

A. 24° B. 21° C. 30° D. 45°
4. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A. B. C. D.
5. 下列说法没有一定成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
6. 若分式方程无解，则a的值为（　　）
A. 0 B. -1 C. 0或-1 D. 1或-1
7. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（ ）．

A. B. C. D. 2
9. 如图，、分别是边、上的点，，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
10. 在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，正方形A2018B2018C2018C2017的面积为（ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题
11. 某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水59800吨，将59800用科学记数法表示应为_____．
12. 分解因式：4a2﹣16＝_____．
13. 如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是_____．
14. 已知圆锥底面半径是3，高是4，则这个圆锥的全面积是__
15. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是_____．

16. 在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的值是______．

18. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）．

三、解 答 题
19. （1）计算：|﹣|﹣+2sin60°+（）﹣1+（2﹣）0
（2）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a=﹣2．
20. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．

（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
22. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，要求每件价格没有得高于27元，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按22元的价格时，每天能卖出42件；若每件按25元的价格时，每天能卖出33件．假定每天件数y（件）与价格x（元/件）满足一个以x为自变量的函数.
（1）求y与x满足的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（2）在没有积压且没有考虑其他因素的情况下，价格定为多少元时，才能使每天获得的利润，利润是多少？
23. 如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若没有存在，请说明理由．


























2022-2023学年山东省东营市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. ﹣4的倒数的相反数是（　　）
A. ﹣4 B. 4 C. ﹣ D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：∵－4的倒数为，
∴的相反数是．
故选D．
点睛：此题主要考查了相反数，倒数的概念及性质．相反数的定义：只有符号没有同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，熟练应用定义是解决问题的关键．
2. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题分析：A、a2＋a2＝2a2，故此选项错误；
B、(－a2)3＝－a6，故此选项错误；
C、[(－a)2]3＝a6，故此选项正确；
D、(a2)3÷a2＝a6÷a2＝a4，故此选项错误．
故选C．
3. 如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中∠α=24°，则∠β的度数为（ ）

A. 24° B. 21° C. 30° D. 45°
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据平行线的性质得出∠EAC+∠ACM=180°，代入求出即可．
如图：

在△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=∠B=45°，
∵EF∥MN，
∴∠EAC+∠ACM=180°，
∴∠B=180°﹣90°﹣45°﹣∠α=21°，
故选B．
考点：等腰直角三角形、平行线的性质
4. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，
故选：C．
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
5. 下列说法没有一定成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】C

【详解】解：A．在没有等式的两边同时加上c，没有等式仍成立，即，说确，没有符合题意；
B．在没有等式的两边同时减去c，没有等式仍成立，即，说确，没有符合题意；
C．当c=0时，若，则没有等式没有成立，符合题意；
D．在没有等式的两边同时除以没有为0的，该没有等式仍成立，即，说确，没有符合题意
故选C．

6. 若分式方程无解，则a的值为（　　）
A. 0 B. -1 C. 0或-1 D. 1或-1
【正确答案】D

【详解】解：在方程两边同乘(x＋1)得：x－a＝a(x＋1)，
整理得：x(1－a)＝2a，
当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解，
当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解，
把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a，
解得：a＝－1，
故选D．
本题考查了分式方程无解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的两种情况．
7. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，函数的图象过一三四象限，
当时，函数图象过一二四象限，
故选：B．
8. 如图．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（ ）．

A. B. C. D. 2
【正确答案】B

【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=BC=，CF=CE=3，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF=，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF=．
故选：B．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

9. 如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，

故选C．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10. 在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，正方形A2018B2018C2018C2017的面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题分析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，
设正方形的面积分别为S1，S2…S2019，
在直角△ADO中，根据勾股定理，
得：AD＝＝，
∴AB＝AD＝BC＝，
∴正方形ABCD的面积为：S1＝5；
∵∠DAO＋∠ADO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
∵∠AOD＝∠ABA1＝90°，
∴△AOD∽△ABA1，
∴，
即，
∴BA1＝，
∴A1C＝BC＋ BA1＝，
∴正方形A1B1C1C的面积为：S2＝×5＝5×，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x，
∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
∴，
∴A2B1＝＝，
∴A2C1＝B1C1＋A2B1＝＋＝，
∴正方形A2B2C2C1的面积为：S3＝×5＝5×，
由此可得：Sn＝5×，
∴正方形A2018B2018C2018C2017的面积为S2019＝5×＝5×．
故选C．
点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律Sn＝5×．
二、填 空 题
11. 某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水59800吨，将59800用科学记数法表示应为_____．
【正确答案】5.98×104

【详解】试题分析：将59800用科学记数法表示为：5.98×104．
故答案为5.98×104．
点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
12. 分解因式：4a2﹣16＝_____．
【正确答案】4（a+2）（a-2）

【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：4a2-16=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）．
故4（a+2）（a-2）．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
13. 如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是_____．
【正确答案】4

【详解】试题分析：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的平均数为a＋3，
根据方差公式：S2＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(xn－a)2]＝4．
则数据x1＋3，x2＋3，… ，xn＋3的方差
S′2＝{[(x1＋3)－(a＋3)]2＋[(x2＋3)－(a＋3)]2＋…(xn＋3)－(a＋3)] 2}
＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(xn－a)2]
＝4．
故答案为4．
点睛：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
14. 已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的全面积是__
【正确答案】24π

【详解】试题分析：圆锥的母线长＝＝5，
所以圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π，
所以这个圆锥的全面积＝π•32＋15π＝24π．
故答案为24π．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是_____．

【正确答案】

【详解】解：如图，过E作EF⊥CB于F，设菱形ABCD的边长为1．
∵DE∥AO，OB=3DB，
∴DE=AO=，
∴CE==，
∵△CDB是等边三角形，
∴∠DCF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=，
∴EF=，BF==，
在Rt△EFB中，tan∠ABC==．
故答案为．

本题考查锐角三角函数的定义；含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

16. 在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
【正确答案】12或20

【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，
Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故12或20．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的值是______．

【正确答案】6

【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的距离即可解决问题．
【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=6，
∴a的值为6．
故答案为6．

圆外一点到圆上一点的距离值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．
18. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）．

【正确答案】①③④

【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而没有是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
【详解】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴HF=BD，故④说确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE没有是菱形；
故②说法没有正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说确，
故答案为①③④．


考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
三、解 答 题
19. （1）计算：|﹣|﹣+2sin60°+（）﹣1+（2﹣）0
（2）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a=﹣2．
【正确答案】（1）原式=4；（2）原式=

【详解】试题分析：（1）先化简值、二次根式，代入角的三角函数值，计算负指数幂和0指数幂，然后根据实数的运算法则计算即可；
（2）先通分计算括号内分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母分解因式后约分，化到最简后再代入a的值计算即可．
试题解析：
（1）解：原式＝＝4；
（2）解：原式＝＝，
当a＝－2时，
原式＝＝．
点睛：本题考查了实数的运算和分式的化简求值，正确的将各式进行化简是解决（1）的关键，正确的将分式进行化简是解决（2）的关键．
20. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O直径．
【正确答案】（1）见解析（2）2

【详解】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300．
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900．∴OA⊥PA．
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=300，
∴PO=2OA=OD+PD．
又∵OA=OD，∴PD=OA．
∵PD=，∴2OA=2PD=2．
∴⊙O的直径为2．．
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=300，再由AP=AC得出
∠P=300，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．
（2）利用含300的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．

（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）k=2；（2）D（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．

【详解】试题分析：（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，从而求出k的值；
（2）先将与联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
试题解析：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，又∵A是反比例函数图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=，∴，∵k＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将与联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
①当AD⊥AB时，如图1，

设直线AD的关系式为，将A（1，2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=5，∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，

设直线BD关系式为，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，

∵O为线段AB的中点，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0），
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（，0）；
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．
考点：反比例函数与函数的交点问题．

22. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，要求每件价格没有得高于27元，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按22元的价格时，每天能卖出42件；若每件按25元的价格时，每天能卖出33件．假定每天件数y（件）与价格x（元/件）满足一个以x为自变量的函数.
（1）求y与x满足的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（2）在没有积压且没有考虑其他因素的情况下，价格定为多少元时，才能使每天获得的利润，利润是多少？
【正确答案】（1）； （2）定价27元一件时，利润P为189元

【详解】试题分析：（1）设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b，把，代入可得关于k和b的二元方程组，解方程组即可得出函数的解析式；
（2）设价格为x元，根据题意：每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)，转换为P＝－3(x－28)2＋192，x的取值范围即可求出每天获得的利润P时的价格．
试题解析：
解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b，
把，代入y＝kx＋b得：，
解得：，
∴y与x满足的函数关系式为y＝－3x＋108（20≤x≤27）；
（2）设价格为x元，根据题意得：
每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)＝ －3x2＋168x－2160 ＝－3(x－28)2＋192，
∵20≤x≤27，
∴当x＝27时，
P＝－3(27－28)2＋192＝189．
答：定价27元一件时，利润P为189元．
点睛：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值的求法．
23. 如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

【正确答案】（1）2；（2）①等边三角形，理由见解析；②

【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度．
（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形．
②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=．
（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形．
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°．
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2，∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴AE=AF．
∴△AEF是等腰三角形．
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=，BE=．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，∵∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG ．
∴，
即．
解得：CG=．
24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）9 （3）存在，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）

【分析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）如答图1所示，首先求出的表达式，然后利用二次函数的性质求出其值，得到四边形BMCA面积的值．

（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．
【小问1详解】
解：如答图1所示，过点作轴于点，则，．
，
，
，
．
点、在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：，，，
连接，过点作轴垂线，交于，设，
，，
，
，
，
当时，有值等于4，
∵，
四边形面积值等于9．
【小问3详解】
解：假设存在这样的．
如答图2所示，设直线与轴交于点，与直线交于点．
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，，
直线解析式为：，
令，得，，．
在中，由勾股定理得：．
设，则在中，由勾股定理得：．
设与直线相切于点，则．
在与中，
，，
∴，
，即，
化简得：，解得或．
存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或．

本题是中考压轴题，综合考查了二次函数图象与性质、函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点坐标．