2022-2023学年山东省济南市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年山东省济南市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共56页。试卷主要包含了填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本题共48分，每小题4分）上面各题均有四个选项，其中只要一个是符合题意的．
1. 16的算术平方根是( )
A. 4 B. -4 C. D. 8
2. 中国挪动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（　　）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
3. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（    ）

A B. C. D.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（  ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
5. 上面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是(    )
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（   ）
A. 2a+3b=5ab B. （3a3）2=6a6 C. a6÷a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣a
7. 化简等于（    ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文明试题10道，理论运用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为(    )

A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时中止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动工夫t之间的函数关系图象大致是（   ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：2﹣1+=_____．
14. 因式分解a3－6a2+9a=_____．
15. 某校九年级（1）班40名同窗中，14岁有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同窗年龄的中位数是___岁．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．

17. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.

三、解 答 题（本题共9小题，共60分）
19. 计算                         
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解不等式组
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．


21. 如图，在昆明市轨道交通的建筑中，在A、B两地建筑一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）

22. 国家施行高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策施行后，客户每购买一台可获补贴500元.若异样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的严重改革，为进一步普及足球知识，传播足球文明，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖先生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的先生共50名，请图中信息，解答下列成绩：

（1）获得一等奖的先生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
25. 如图，函数y=kx+b图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.

（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相反的速度在直线DC，CB上挪动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C挪动，同时点F在边CB上自C向B挪动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和地位关系，并阐明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延伸线上挪动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上挪动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的挪动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．

27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上能否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时中止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．








2022-2023学年山东省济南市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本题共48分，每小题4分）上面各题均有四个选项，其中只要一个是符合题意的．
1. 16的算术平方根是( )
A. 4 B. -4 C. D. 8
【正确答案】A

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
本题次要考查了算术平方根的定义，熟习相关性质是解题的关键．
2. 中国挪动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（　　）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
【正确答案】D

【分析】根据科学记数法的表示方式（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值＞1时，n是负数；当原数的值＜1时，n是负数），即可求解．
【详解】解：126000＝1.26×105．
故选D．
3. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（    ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B.
考点：几何体三视图.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（  ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
【正确答案】C

【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.

考点：平行线的性质.
5. 上面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是(    )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】B、D选项是轴对称图形但不是轴对称图形，C选项不是轴对称图形；
故选A．
6. 下列计算中，正确的是（   ）
A. 2a+3b=5ab B. （3a3）2=6a6 C. a6÷a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣a
【正确答案】D

【详解】试题分析：A、不是同类项，无法计算；B、原式=9a6；C、同底数幂相除，底数不变，指数相减，原式=；D、是同类项，能够合并，正确．故答案选D．
考点：．合并同类项；同底数幂的乘除法．
7. 化简等于（    ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
【正确答案】B

【详解】试题分析：原式=====，故选B．
考点：分式的加减法．
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文明试题10道，理论运用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】直接利用概率公式计算即可.
【详解】共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题的概率是＝.
故答案选A.
考点：概率公式.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：C．
本题考查了由实践成绩笼统出二元方程组，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为(    )

A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
【正确答案】A

【详解】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC=30°，继而求得OC=CD=5，因此点C的坐标为：（0，5）．
故选A．

点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角直角三角形的性质．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法是解此题的关键，留意数形思想的运用．
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：

∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=2，
∴点E到AB的距离是2，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，
∴S△ABF：S△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=S△ABE=××6×2=，
故④错误；
∵S△ADB=×6×3=9，
∴S△DFC=S△ADB﹣S△ABF=9﹣=，
∵S△DFC=×6×FM=，
∴FM=，
∴DM===，
∴CM=DC﹣DM=6﹣=，
∴tan∠DCF==，
故③正确；
故其中一定成立的有3个．
故选C．
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时中止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动工夫t之间的函数关系图象大致是（   ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，

∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，
∴AC=AB×cos30°=8×=，BC=AB×sin30°=8×=4，
∴CH=AC×BC÷AB=×4÷8=，AH=÷AB=；
（1）当0≤t≤时，S==；
（2）当时，S==；
（3）当6＜t≤8时，S=
=；
综上，可得：
S=，
∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动工夫t之间的函数关系图象大致是A图象．
故选A．
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：2﹣1+=_____．
【正确答案】

【详解】根据负整指数幂的性质和二次根式的性质，可知=.
故答案为.
14. 因式分解a3－6a2+9a=_____．
【正确答案】a(a-3)2

【分析】根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.
【详解】解：


故答案为.
本题考查因式分解的方法与步骤，纯熟掌握方法与步骤是解答关键.
15. 某校九年级（1）班40名同窗中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同窗年龄的中位数是___岁．
【正确答案】15．

【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵该班有40名同窗，
∴这个班同窗年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，15岁的有21人，
∴这个班同窗年龄的中位数是15岁．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新陈列后，最两头的那个数（最两头两个数的平均数），纯熟掌握中位数的定义是本题的关键．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．

【正确答案】7

【详解】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．
故答案为7m.
点睛：本题考查了一元二次方程的运用．先生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是处理本题的关键．
17. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25
【正确答案】B

【详解】∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选B．
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.

【正确答案】2≤x≤4

【详解】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值k=1×2=2，再由点B、C的坐标利用待定系数法，设直线BC的解析式为y=ax+b，得到，解得：，求出直线BC的解析式y=-x+4，将其代入反比例函数中，得：-x+4=，即x2-4x+k=0，由反比例函数图象与直线BC只要一个交点，可令△=0即可求出k的值k=4，从而得出2≤k≤4．
故答案为2≤k≤4.
 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与值．本题属于中档题，难度不大，处理该题型标题时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．
三、解 答 题（本题共9小题，共60分）
19. 计算                         
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解不等式组
【正确答案】(1);（2）-1≤x≤2.

【详解】试题分析： （1）根据整式的乘法，由完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算化简，然后代入求值；
（2）分别求解两个不等式，然后取其解集的公共部分即可.
试题解析：（1）原式

当a=1，时，原式
（2）
由①得：
由②得：
∴不等式的解集是：
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．


【正确答案】（1）证明见解析；（2）25°.

【详解】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴
∴AO=OB
（2）解：∵AB是的直径，PA与相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴.
21. 如图，在昆明市轨道交通的建筑中，在A、B两地建筑一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）

【正确答案】546m.

【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，
∴CD=BC=200（m），
BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200（m），
AD=CD=200（m），
∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），
答：这段地铁AB的长度为546m．

考点：实践成绩转化为直角三角形中的数学成绩．
22. 国家施行高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策施行后，客户每购买一台可获补贴500元.若异样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【正确答案】3000元.

【详解】试题分析： 根据题意找到等量关系：补贴后可购买的台数比补贴前多20%，设出未知数，列方程求解即可.
试题解析：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：
解得：x=3000.
经检验得：x=3000是原方程的根.
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元.
点睛：此题次要考查了分式方程的运用，解题关键是确定成绩的等量关系，设出未知数，列方程求解，留意分式方程一定要检验：是方程的解且符合实践.
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的严重改革，为进一步普及足球知识，传播足球文明，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖先生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的先生共50名，请图中信息，解答下列成绩：

（1）获得一等奖的先生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【正确答案】（1）30人；（2）.

【详解】试题分析：（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的先生人数；
（2）用列表法求出概率．
试题解析：（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的先生为人；
（2）列表：

从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．

24. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）由平行的性质条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质勾股定理可求得AE．
试题解析：
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=．
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.

（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
【正确答案】（1）直线解析式为y=2x-2;反比例函数解析式为：；（2）；（3）点P坐标为（11，0）.

【详解】试题分析： （1）根据函数y=k1x+b的图像A、B可得b、k1的方程组，进而求得函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M点在双曲线上求出k2，进而得到反比例函数的解析式；
（2）根据已知构造直角三角形进而利用勾股定理求出AM的长；
（3）过点M作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角形函数的定义求出OP的值，进而可得出结论.
试题解析：（1）∵直线的图象、两点

∴，
∴解得：
∴函数的表达式为，
∴设，作MD⊥x轴于点D
∵，
∴，
∴，
∴n=4，
∴将代入得，
∴m=3
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点M作MF⊥y轴于点F，
则FM=3，AF=4+2=6，
∴；
（3）过点作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴，
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）.
点睛：此题次要考查了反比例函数与函数的交点成绩，涉及到的知识点为用待定系数法求函数的解析式与反比例函数的解析式、锐角三角形函数的定义，熟知以上知识点是解答此题的关键.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相反的速度在直线DC，CB上挪动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C挪动，同时点F在边CB上自C向B挪动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和地位关系，并阐明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延伸线上挪动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上挪动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的挪动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．

【正确答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相反的速度在直线DC，CB上挪动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，
有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，
，
则；

②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延伸交圆弧于点P，
此时CP的长度，
∵在Rt△QDC中，
∴，
即线段CP的值是.
点睛：此题次要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.
27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上能否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时中止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．









2022-2023学年山东省济南市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
　一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只要一项符合标题要求．）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是对称图形的是（　 　）
A. B. C. D.
3. 下列随机概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）
A. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率
B. 某种柑橘在某运输过程中的损坏率
C. 某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率
D. 投掷一枚均匀骰子，朝上一面为偶数的概率
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A. 60° B. 45° C. 30° D. 20°
5. 已知蓄电池的电压为定值，运用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）

A. B. C. D.
6. 如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为(　　)

A. B. C. D.
7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC类似的三角形所在的网格图形是（　　）

A. B. C. D.
8. 制造弯形管道时，经常要先按线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，线两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（　　）

A. 9280mm B. 6280mm C. 6140mm D. 457mm
9. 在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（　　）

A. x＜0 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x＜0或 x＞2
10. 如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB. 点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动工夫为x，弦BP的长度为y，那么上面图象中可能表示y与x的函数关系的是


A. ① B. ④ C. ②或④ D. ①或③
二、选一选（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
11. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的程度距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的地位上，则球拍击球的高度h为___米．

14. 如图， 圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．

15. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
三、解 答 题：（共64分）
16. x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
17. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

18. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

19. 在四张编号为A，B，C，D卡片(除编号外，其余完全相反)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．

(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的一切可能出现的结果(卡片用A，B，C，D表示)；
(2)我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．

21. 已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．

22. 若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．


2022-2023学年山东省济南市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只要一项符合标题要求．）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C

【分析】根据已知方程得出两个一元方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x-1）=0，
x-1=0，x=0，
x1=1，x2=0，
故选：C．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元方程是解此题的关键．
2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是对称图形的是（　 　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】根据轴对称图形和对称图形的概念，可知：
A既不是轴对称图形，也不是对称图形，故不正确；
B不是轴对称图形，但是对称图形，故不正确；
C是轴对称图形，但不是对称图形，故不正确；
D即是轴对称图形，也是对称图形，故正确.
故选D.
3. 下列随机的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）
A. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率
B. 某种柑橘在某运输过程中的损坏率
C. 某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率
D. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率
【正确答案】D

【详解】试题分析：A．某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；
B．某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不符合题意；
C．某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；
D．∵一枚均匀的骰子只要六个面，即：只要六个数，不是奇数，便是偶数，∴能逐一的列举出来，∴既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意．
故选D．
考点：利用频率估计概率．
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A. 60° B. 45° C. 30° D. 20°
【正确答案】C

【分析】由OB=BC，OA=OB，可得△BOC是等边三角形，则可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数．
【详解】∵OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形
∴∠BOC=60°
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=∠BOC=30°
故选C.
本题考查了圆周角定理及等边三角形判定及性质，纯熟掌握性质及定理是解题的关键.
5. 已知蓄电池的电压为定值，运用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】设解析式为：，则有k=IR ，由图可知当R=2时，I=3，所以k=6，
所以解析式为：，
故选D.
6. 如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为(　　)

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转．连接OA，OB′

∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转的知识，难度不大．
7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC类似的三角形所在的网格图形是（　　）

A.
B.
C
D.
【正确答案】B

【详解】根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选B．
8. 制造弯形管道时，经常要先按线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（　　）

A. 9280mm B. 6280mm C. 6140mm D. 457mm
【正确答案】C

【详解】由题意可得，一条弧的长度为：（mm），
∴两条弧的长度为3140mm，
∴这段变形管道展直长度约为3140+3000=6140（mm）.
故选C.
9. 在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（　　）

A. x＜0 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x＜0或 x＞2
【正确答案】B

【详解】由图可知：抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x的取值范围是0 ∴不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0 故选B.
10. 如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB. 点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动工夫为x，弦BP的长度为y，那么上面图象中可能表示y与x的函数关系的是


A. ① B. ④ C. ②或④ D. ①或③
【正确答案】D

【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可处理成绩．
【详解】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①．
故选D．
二、选一选（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
11. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
【正确答案】3

【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
考点：根与系数的关系．
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
【正确答案】

【详解】试题分析：根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6，则圆柱体的体积=Sh=6，则S=.
考点：反比例函数的运用

13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的程度距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的地位上，则球拍击球的高度h为___米．

【正确答案】1.4

【分析】根据类似三角形对应边成比例列式计算即可得解.
【详解】由题意得,，
解得h=1.4.
故答案为1.4.
本题考查了类似三角形的运用，纯熟掌握性质定理是解题的关键.
14. 如图， 圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．

【正确答案】

【分析】根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
【详解】解：∵
∴
∵的直径垂直于弦
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴．
故答案是：
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
15. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
【正确答案】 ①. ②. 2或-1

【详解】试题分析：由于，所以min{，}=.
当时，，解得(舍)，；
当时，，解得，(舍).
考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程.
三、解 答 题：（共64分）
16. x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
【正确答案】x1=5，x2=﹣3．

【分析】根据公式法的步骤即可处理成绩．
【详解】∵x2﹣2x﹣15=0，
∴a=1，b=﹣2，c=﹣15．
∴b2﹣4ac=4+60=64＞0．
∴x=．
∴x1=5，x2=﹣3．
本题考查了公式法解一元二次方程，熟习一元二次方程的求根公式是关键．
17. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

【正确答案】BD= 2.

【详解】试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用类似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．
试题解析：
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD ，
∴，
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 .
点睛：本题次要考查了类似三角形的判定以及类似三角形的性质，利用类似三角形的性质求出AB的长是解题关键．
18. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

【正确答案】作图见解析.

【详解】试题分析：首先在圆周上任取三个点A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和AB中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．

19. 在四张编号为A，B，C，D卡片(除编号外，其余完全相反)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．

(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的一切可能出现的结果(卡片用A，B，C，D表示)；
(2)我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
【正确答案】（1）图形见解析（2）

【分析】（1）本题属于不放回的情况，画出树状图时要留意；
（2）B、C、D三个卡片的上的数字是勾股数，选出选中B、C、D其中两个的即可
【详解】（1）画树状图如下：

（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，
∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
20. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）S△AOB=24．

【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；
（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，进而利用三角形面积公式求出即可．
试题解析：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，
∴mn=12．
则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．
考点: 反比例函数综合题．
21. 已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）连接OD，由 OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC为⊙O的切线，根据切线的性质可得∠ODB=90°，已知∠C=90°，所以∠ODB=∠C，即可判定OD//AC，根据平行线的性质可得∠3=∠2，所以∠1=∠3，即可判定AD是∠BAC的平分线；
（2）连接DF，已知∠B=30°，可求得∠BAC=60°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠3=30°，已知BC是⊙O的切线，根据弦切角定理可得∠FDC=∠3=30°，所以CD= CF=，同理可得AC=CD=3，所以AF=2，过O作OG⊥AF于G，由垂径定理可得GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，所以CG=2，OG=CD=，由勾股定理可得OC=．
【详解】解：（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，
∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分线；
（2）解：连接DF，
∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，
∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，
∴CD=CF=，
∴AC=CD=3，∴AF=2，
过O作OG⊥AF于G，


∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，
∴CG=2，OG=CD=，
∴OC==．
22. 若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

【正确答案】（1）“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）点P的坐标为．

【详解】试题分析：
（1）由“路线l”的表达式为：y=2x-4可得，“路线l”与y轴交于点（0，-4）；把x=-1代入y=2x-4可得y=-6，由此可得“带线L”的顶点坐标为（-1，-6），“带线L”过点（0，-4）即可求得“带线L”的解析式；
（2）由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“带线L”的顶点坐标为（1，-1），与y轴交于点（0，m-1），把这两个点的坐标代入y=nx+1即可求得m、n的值；
（3）如图，由（2）可知，若设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，连接PA并延伸交x轴于点D，由⊙P与“路线”l相切于点A可得PD⊥l于点A，由此证Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得点D的坐标，点A的坐标即可求得AD的解析式为y=x+1，由AD的解析式和“带线L”的解析式组成方程组，解方程组即可求得点P的坐标.
试题解析：
（（1）∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1，且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4
∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，
∴“带线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）．
设L的表达式为y=a（x+1）2﹣6，
∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）
∴“带线”L也点（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；
（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，
∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1，其顶点坐标为（1，﹣1）
∴直线y=nx+1点（1，﹣1），解得n=﹣2；
（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°，
又∵点A 坐标为（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l是点A、B的直线
且⊙P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，
∴PA⊥AB，
∴∠DAB=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
又∵∠DAO+∠BAC=90°，
∴∠ADO=∠BAC，
∴Rt△AOD≌Rt△BCA，
∴OD=AC=2，
∴D点坐标为（﹣2，0）
∴点D、A的直线表达式为y=x+1，
∵点P为直线y=x+1与抛物线L：y=2x2﹣4x+1的交点，
解方程组： 得 ：（即点A舍去）， ，
∴点P的坐标为．

点睛：解本题第3小题的关键是：作出如图所示的辅助线，构造全等三角形，求得点D的坐标，从而可得DA的解析式，这样由点P是直线DA和“带线L”的交点即可求得点P的坐标了.