2022-2023学年江苏省扬州市江都中学高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年江苏省扬州市江都中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等差数列中，，则（    ）A．5 B．6C．8 D．9【答案】A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为是和的等差中项，所以，即，.故选： A2．函数的单调递减区间是(　　)A． B．C． D．【答案】B【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】，则，由得，故的单调递减区间是，故选：B3．已知是函数的极小值点，则的极小值为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】对求导，根据是的极小值点，得到，求出的值，进一步得到的极小值．【详解】解：由，得，是的极小值点，，，，经检验时，符合题意，，，所以，则当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时函数取得极大值，时函数取得极小值，．故选：A．4．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（    ）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，∴，∴，∴，故选：C．5．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将转为点到抛物线准线的距离，由抛物线的定义，可得，转化为求的最小值，结合图形，即可求解.【详解】解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.过点作于点，由抛物线的定义可得，所以，由图形可得，当，，三点共线时，最小，最小值为点A到准线的距离.故选：A.6．已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.由椭圆的定义有：由余弦定理有：即所以当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以故选：A【点睛】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题.7．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合导函数研究函数的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因为，所以， 因为，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，由此可排除选项，故选：A.8．已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有．原不等式可等价于，即，解得的取值范围是．故选：A．二、多选题9．下列是递增数列的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据递增数列的定义判断．【详解】A．令，则，是递增数列，正确；B．令，则，，不合题意，错；C．令，则，符合题意．正确；D．令，则，，不合题意．错．故选：AC．10．已知集合，集合，且，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】AD【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果．【详解】解：因为集合，集合，且，所以直线与直线平行或交于点，当两线平行时，；当两线交于点时，，解得．综上得a等于或2．故选：AD．11．（多选）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于A，，，当时，，，故不是凸函数；对于B，，，故是凸函数；对于C，，对任意的，，故是凸函数；对于D，，对任意的，，故不是凸函数．故选：AD．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的是否对于任意的，对于新定义的问题，在求解时一定要抓住新定义的本质，利用相关的数学知识求解.12．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（    ）A．的最小值为3 B．面积的最大值为C．直线的斜率为 D．为锐角【答案】BC【分析】先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换、利用基本不等式可判断A；由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值可判断B；由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系可判断C；先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，可判断D.【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，，，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，由得，，的面积，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，设，则，，故直线的斜率，故C正确；对于D，设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，①，②，①②得，易知，则，得，，，故D错误.故选：BC. 三、填空题13．在数列中，，则的值为__________.【答案】【分析】判断出数列的周期性，由此求得.【详解】依题意，，所以，，，所以数列是周期为的数列，所以.故答案为：14．双曲线的顶点为___________.【答案】【分析】根据双曲线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由得，，所以，该双曲线的顶点为.故答案为：15．设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．【答案】①②【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.【详解】①当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；②当时，；当时，，符合，所以，数列为等差数列；③当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列；④当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列.故答案为：①②.16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.【答案】【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.四、解答题17．已知，当为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在轴上的双曲线；(3)表示焦点在轴上的双曲线．【答案】(1)或(2)(3)【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可．【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线，所以，解得或；所以或；（2）因为，即，焦点在轴上的双曲线，则，解得，所以；（3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以.18．设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极值点和极值．【答案】(1)(2)极大值点，极小值点，极大值是，极小值是【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）令，求得，，然后通过判断函数的单调性可求出的极值点和极值【详解】（1）函数，函数的导数为．，，在处的切线方程：，即．（2）令，，解得，．当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，∴函数单调递增区间，．∴的极大值点，极小值点，∵， ∴极大值是，极小值是．19．若数列满足，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比中项法判断出为等比数列，设其公比为q（），由，求出，得到的通项公式；（2）先得到，利用错位相减法求和.【详解】（1）因为数列满足，，，所以.所以数列为等比数列，设其公比为q（）.所以，解得：.所以.即的通项公式为.（2）由（1）可知：，所以，所以      ①得：        ②①-②得：所以20．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆C的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程．【详解】（1）线段AB的中点为，直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线为，即，由解得，所以圆心为，半径为，所以圆C的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，由，得，或，即直线与圆C相交所得弦长为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于圆C到的距离为，所以，解得，所以．即，综上所述，直线l2的方程为或21．已知，，，动点满足. （1）求动点的轨迹方程；（2）设直线不经过点且与动点的轨迹相交于，两点.若直线与直线的斜率和为.证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，可得，从而可求出，进而可得动点的轨迹方程；（2）设直线与直线的斜率为，经分析直线的斜率存在，设直线，设，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再结合可得，从而可求得与的关系，进而可证得结论【详解】（1）解：由题意得，则动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，可设为．，，故动点的轨迹方程为．（2）证明：设直线与直线的斜率为．如果直线与轴垂直，设，由题设可得，且，可得的坐标分别为，．则，得，不符合题设．从而可设直线，将代入，得，由题意可得，设，则，而，由题意得，故，即，解得．当且仅当时，，，即，所以过定点．22．已知函数，其中.(1)当时，讨论在上的单调性；(2)若对任意都有，求实数的取值范围.【答案】(1)f（x）在上单调递减，在上单调递增.(2)【分析】（1）根据题意将代入中，求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围.【详解】（1）当时，，则，令，当时，解得，故当时，；当时，.所以，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，则.当时，，所以.当时，，故在上单调递增.又，故.当时，令，则，故在上单调递增.故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，，故不符合 .综上所述，的取值范围为.