2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.

【详解】因为直线的斜率为

所以其倾斜角为

故选：D

2．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化为标准形式求解即可.

【详解】解：可化为，

所以抛物线的准线方程为．

故选：C

3．平行直线与之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用点到直线的距离公式即可求得平行直线与之间的距离

【详解】在直线上取点

则点到直线的距离

则平行直线与之间的距离为

故选：D

4．圆和圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．外切 C．内切 D．外离

【答案】A

【分析】根据两圆的圆心距离以及半径之和和半径之差的关系，即可判断.

【详解】的圆心记为，半径，

将化成标准式为：，故得圆心，半径，

则两圆的圆心的距离,

由于 ，故两圆相交，

故选：A

5．图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出双曲线的方程，根据题意可知：双曲线过点，将其代入曲线方程，求出的关系，再根据的关系即可求出离心率.

【详解】设双曲线的方程为，

如图：由题意可知：，，

又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点，

将点代入曲线方程，解得：，

所以该双曲线的离心率，

故选：B.

6．设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据直线与圆的位置关系，求得满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.

【详解】根据题意，即，故点在圆外.

故选：B.

7．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】表示出各点坐标，由可得，得出的等式，变形后可求离心率．

【详解】由题意，则，

，

∴，即，

可得，

∴或（舍去）．

故选：B．

8．已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．

【详解】由，消去参数得，

所以在以为圆心，为半径的圆上，

又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，

，

∴的最大值为．

故选：C.

【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．若直线过，且的横截距是纵截距的2倍，则直线的方程为

C．直线关于轴对称直线方程为

D．经过点，且与，两点距离相等的直线的方程为

【答案】AC

【分析】根据直线的截距、直线对称、点线距离等知识确定正确答案.

【详解】A选项，直线的横截距为，纵截距为，

所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，A选项正确.

B选项，直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，所以B选项错误.

C选项，直线关于轴对称直线方程为（横坐标相同，纵坐标相反），C选项正确.

D选项，直线经过点，且与，两点距离相等（都为），所以D选项错误.

故选：AC

10．已知圆，则下列说法正确的有（    ）

A．直线与圆C的相交弦长为

B．圆C关于直线对称的圆的方程为

C．若点是圆C上的动点，则的最大值为

D．若圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或

【答案】ABD

【分析】对于A，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案.

对于B，相当于求以点C关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程.

对于C，注意到，结合范围可得答案.

对于D，题目等价于直线到圆心距离为，进而可得答案.

【详解】圆

对于选项A，设到圆心距离为.又圆C半径为.

所以直线与圆C的相交弦长.故A正确.

对于选项B，点C关于对称点为，又关于直线对称的圆半径不变.

则圆C关于直线对称的圆的方程为.故B正确.

对于选项C，由圆C：，可得.

又，得，故C错误.

对于选项D，圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于等价于

直线到圆心距离.

则，得或.故D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：本题A，B，C选项所涉知识较为基础，选项D涉及的结论为：

设直线l与圆O相交，l到O距离为d，圆O半径为r，圆上一点P到l距离为.

（1）若，满足条件的点P有2个.

（2）若，满足条件的点P有4个

（3）若，满足条件的点P有3个

（4）若，满足条件的点P有2个

（5）若，满足条件的点P有1个

11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（    ）

A． B．E的离心率等于

C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是

【答案】AC

【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径的表达式与有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D项错误.

【详解】如图所示，

因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，

A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；

B选项中，中，，，，

所以，得：，故B不正确；

C选项中，由，即，即，即，

所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；

D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.

故选：AC.

12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．的周长为

C．线段AB长度的取值范围是

D．面积的最大值是

【答案】BC

【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆定义可判断B；由椭圆性质可判断C；设所在直线方程为，分别联立椭圆、圆的方程，求出A，B两点的横坐标，得出根据单调性可得最大值判断D.

【详解】对于A，由题知，椭圆中，得，则，故A错误；

对于B，由椭圆定义知，，所以的周长，故B正确；

对于C，，由椭圆性质可知，所以，故C正确；

对于D,设所在直线方程为，联立可得，

联立可得，

则，

显然当时，函数是减函数，

所以当时，有最大值4，故D错误.

故选：BC

三、填空题

13．若椭圆的离心率是，则m的值为__________．

【答案】2

【分析】根据椭圆方程确定，即可由离心率求解m的值.

【详解】解：因为，椭圆的焦点在x轴上，所以，则

所以离心率，解得.

故答案为：2.

14．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.

【详解】由，得，

所以圆的圆心为，半径为，

因为圆，所以圆的圆心为，半径为，

因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，

即，解得，

所以的值为.

故答案为：.

15．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．

【答案】##

【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．

【详解】解：由圆，即，

可得圆心坐标为，半径为，

因为钝角的面积为，可得，

解得，因为，所以，

可得，

设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，

根据点到直线的距离公式，解得．

故答案为：．

16．已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于四点，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，

如下图，，

因为，

设，所以，

所以，

设，所以，，所以，

所以，取等号时，

所以的最小值为，

故答案为：.

【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

四、解答题

17．已知直线l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0．

(1)若l1⊥l2，求m的值．

(2)若l1//l2 ， 且它们的距离为，求m，n 的值

【答案】(1)

(2)，或

【分析】（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得.

（2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得.

【详解】（1）由于，所以.

（2）依题意，则，

此时，即，故.

由于两条直线的距离为，

所以或.

18．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；

（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.

【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；

双曲线过点，；

由得：，双曲线的方程为：；

（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为；

若直线过双曲线的左焦点，则，

由得：；

设，，则，

；

由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；

综上所述：.

19．已知圆的方程为：.

（1）试求的值，使圆的周长最小；

（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；

（2）由，则圆的方程为：，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.

【详解】（1），

配方得：，

当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.

（2）由（1）得，，圆的方程为：.

当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；

当直线与轴不垂直时，设为，

由直线与圆相切得：，解得，

所以切线方程为，即.

综上，直线方程为或.

20．已知圆C：．

(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且，求的最小值．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；

（2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程，再求的最小值即可.

【详解】（1）根据题意，圆C的方程为：，变形可得，

其圆心为，半径为，当直线l的斜率不存在时，其方程为，

易求直线l与圆C的交点为，，，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，

则圆心C到直线l的距离，

解可得，所以直线l的方程为，

综上，直线l的方程为或.

（2）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则，

所以为直角三角形，即

设，由（1）知，，因为，

所以化简得点P的轨迹方程为

求的最小值，即求的最小值，也即求原点O到直线的距离，

由距离公式可求得的最小值为.

21．如图，椭圆经过点，且离心率为.

(I)求椭圆的方程；

(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），

问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．

【答案】(1) (2)2

【详解】（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得

，

由已知，设，

则，

从而直线与的斜率之和

.

【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.

22．已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．

【答案】(1)；

(2)16.

【分析】（1）由题设有直线l为，联立抛物线求相交弦长有，即可写出抛物线方程.

（2）由题意，可设直线AB为且，联立抛物线应用韦达定理求、坐标，再由两点距离公式求、，进而得到关于k的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.

【详解】（1）由题意，双曲线实轴长，直线l方程为，

由，得，则过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2的弦长为2p，

所以，故抛物线的方程为.

（2）因为，若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；

所以，直线AB，CD的斜率均存在且不为0，

设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为

联立，得，则，

设，则．

设，则，则即，同理得，

故，，又，

所以

当且仅当，即时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16．