2021-2022学年广西钟山县钟山中学高二上学期第三次（12月）月考数学试题（解析版）

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2021-2022学年广西钟山县钟山中学高二上学期第三次（12月）月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2．等差数列的前项和，若，则A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【详解】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.【解析】等差数列的性质.3．已知函数若，则的值是（　　）A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】根据分段函数解析式及函数值，解方程即可确定的值，舍去不合要求的解即可.【详解】函数当时，，若，即，解得或（舍）；当时，，若，即，解得（舍）；综上可知，的值为故选：B【点睛】本题考查了分段函数的求值，根据函数值求自变量的值，属于基础题.4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数，可整理为，与直线平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点时取得最大值.则.故选：5．若两个正实数满足，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．要得到函数的图象，只需要将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．7．已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据焦点坐标，可求得c的值，根据离心率，可求得a的值，根据b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案.【详解】根据右焦点为F2(5，0)，可得c＝5，又离心率为，所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，所以双曲线方程为，故选：C.8．已知p：；q：，则p是q的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出p、q对应的不等式的解，进而可选出答案.【详解】由题意，，即p：；，即q：，所以，，即p是q的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.9．已知函数，，则不等式成立的概率是A． B． C． D．【答案】C【详解】区间的长度为，满足不等式即不等式，解答，对应区间长度为，由几何概型公式可得使不等式成立的概率是；故选：10．函数的大致图像为A． B．C． D．【答案】A【分析】此题主要利用排除法，当时，可得，故可排除C，D，当时，可排除选项B，故可得答案.【详解】当时，，，∴，故可排除C，D选项；当时，，，∴，故可排除B选项，故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.11．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件可以通过补成长方体的方式得到外接球的半径.【详解】三棱锥中，为等边三角形，，，，以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球也是三棱锥外接球，长方体的对角线为，球直径为，半径为，因此，三棱锥外接球的表面积是，故选B.【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12．已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为（　　）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】D【分析】利用图象法，作出和的图象，根据交点的个数即可求解.【详解】因为，所以是周期为2 的周期函数.当时，，所以作出和的图象如图所示：结合图象，因为和的图象有10个交点，所以方程的解的个数为10个.故选：D二、填空题13．某班某次数学考试成绩好、中、差的学生人数之比为，现用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本，则应从成绩好的学生中抽取________名学生.【答案】6【分析】根据数学考试成绩好、中、差的学生人数之比为，确定成绩好的学生的比例，列式计算可得答案.【详解】因为某次数学考试成绩好、中、差的学生人数之比为，故用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本，则应从成绩好的学生中抽取名学生，故答案为：614．已知向量，满足，，则与的夹角为_______.【答案】.【分析】设与的夹角为，由，利用数量积的运算法则 可得答案.【详解】设与的夹角为，由得，即，解得，因为，所以，所以与的夹角为.故答案为：.15．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是_________________．【答案】【分析】由三视图还原出原几何体，确定几何体为正四棱锥，再求解侧面三角形的高，从而可得其表面积.【详解】由三视图可知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，所以侧面三角形底边上的高为，所以四棱锥的侧面积为．所以该四棱锥的表面积为.故答案为：.16．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是_________【答案】【分析】方法一：当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值,此时可取得最小值.【详解】方法一：（二级结论应用）椭圆,.当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值,,的最小值.故答案为：.方法二：在中，因为，，.当且仅当时取等号.故答案为：.三、解答题17． 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.【答案】(1),平均数为41.5岁, 中位数为42.1岁(2)【分析】(1) 由频率分布直方图能求出,平均数和中位数.(2)第1,2组的人数分别为 20人, 30人, 从第 1,2组中用分层抽样的方法抽取5人, 则第 1,2组抽取的人数分别为 2人, 3人, 分别记为 . 设从 5人中随机抽取3人, 利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率.【详解】（1）由频率分布直方图得:解得.平均数为岁.设中位数为, 则岁.（2）第 1,2 组的人数分别为 20 人, 30 人, 从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,则第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人, 3 人, 分别记为 , .设从 5 人中随机抽取3人,为: 共 10 个基本事件,其中第 2 组恰好抽到 2 人包含: ，, 共 6 个基本事件,从而第 2 组中抽到 2 人的概率 .18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求a的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．设数列的前项和为，，().(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用得到(，)，从而可得数列为等比数列，进而可得数列的通项公式；（2）求出，再利用裂项相消法求即可.【详解】（1），由 ①，可得 ②.①-②得，，即(，).故.当时，，所以.（2）由（1）得，，所以.所以.20．如图，在正三棱柱中，为的中点．（1）证明：平面；（2）已知，，求多面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，设，连接，可得，从而可证平面；（2）多面体的体积等于三棱柱的体积减去三棱锥的体积，取为的中点，连接，，证明，，从而求得，求出三棱柱的体积和三棱锥的体积，即可得出答案.【详解】（1）证明：连接，设，连接．由正三棱柱，得为的中点，又因为在正三棱柱中，为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）解：取为的中点，连接，，所以．因为平面，所以．又，所以平面，则．因为，，所以平面，所以，从而，所以，解得．所以三棱柱的体积为．三棱锥的体积为，则多面体的体积为．21．已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，且f(x)≤0的解集为[−1，2]．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x−m−1)(m≥0)；(3)设g(x)=2f(x)+3x−1，若对于任意的x1，x2∈[−2，1]都有|g(x1)−g(x2)|≤M求M的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】(1)不等式解集端点就是方程的解，待定系数法可求解；(2)将不等式整理得，再对m进行分类讨论；(3) 先得出，将恒成立问题在化为求解.【详解】（1）∵f(x)≤0的解集为[−1，2]，∴，∴∴（2）∵∴，∴当m=0时，不等式的解集为；当0