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初中数学中考复习 湖南省2019年中考数学押题卷（含解析）
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这是一份初中数学中考复习 湖南省2019年中考数学押题卷（含解析），共28页。
2019年湖南省中考数学押题卷
一．选择题（每小题3分，满分36分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．5 B． C． D．﹣5
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a2）2＝﹣4a4
C．a5÷a3＝a2 D．a4+a7＝a11
4．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．（3分）某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是．以下叙述正确的是（ ）
A．从现在起经过13至14年F市将会发生一次地震
B．可以确定F市在未来20年内将会发生一次地震
C．未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大
D．我们不能判断未来会发生什么事，因此没有人可以确定何时会有地震发生
8．（3分）某商店库存清仓，将最后两件羽绒服特价出售，甲款羽绒服卖出1200元，盈利20%，乙款羽绒服同样卖1200元，但亏损20%，该商店在这两笔交易中（ ）
A．盈利100元 B．亏损125元 C．不赔不赚 D．亏损100元
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1
10．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）﹣的系数是 ，次数是 ．
14．（3分）如图钢架中，焊上等长的7根钢条来加固钢架，若AA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝A8A，则∠A的度数是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为 ．
16．（3分）已知一组数据3，4，1，a，2，a的平均数为2，则这组数据的中位数是 ．
17．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是 cm．
三．解答题
19．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
20．（6分）在计算的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式＝
＝2……①
＝2……②
＝（2﹣1）……③
＝……④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
21．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）图2中α是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF．
23．（9分）某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：
购买学校
购买型号及数量（个）
购买支出款项（元）
A
B
甲
3
8
622
乙
5
4
402
（1）求A、B两种型号的篮球的销售单价；
（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？
24．（9分）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝PE；
（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
26．（10分）如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
2019年湖南省中考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，满分36分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．5 B． C． D．﹣5
【分析】根据倒数的概念可得出结果．
【解答】解：的倒数是﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的概念．
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
【解答】解：0.000000039＝3.9×10﹣8．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a2）2＝﹣4a4
C．a5÷a3＝a2 D．a4+a7＝a11
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项错误；
B、（﹣2a2）2＝4a4，此选项计算错误；
C、a5÷a3＝a2，此选项计算正确；
D、a4，a7不是同类项，此选项计算错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则及同类项概念等知识点．
4．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．（3分）某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是．以下叙述正确的是（ ）
A．从现在起经过13至14年F市将会发生一次地震
B．可以确定F市在未来20年内将会发生一次地震
C．未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大
D．我们不能判断未来会发生什么事，因此没有人可以确定何时会有地震发生
【分析】根据概率的意义，可知发生地震的概率是，说明发生地震的可能性大于不发生地政的可能性，从而可以解答本题．
【解答】解：∵某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是，
∴未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大，
故选：C．
【点评】本题考查概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，理论联系实际．
8．（3分）某商店库存清仓，将最后两件羽绒服特价出售，甲款羽绒服卖出1200元，盈利20%，乙款羽绒服同样卖1200元，但亏损20%，该商店在这两笔交易中（ ）
A．盈利100元 B．亏损125元 C．不赔不赚 D．亏损100元
【分析】根据两件羽绒服买进的价格，利用买价+利润＝卖价，列方程求解即可．
【解答】解：设款羽绒服的买价是x元，根据题意得：
（1+20%）x＝1200，
解得x＝1000．
设乙款羽绒服的买价是y元，根据题意得：
（1﹣20%）y＝1200，
解得y＝1500．
1000+1500＞1200+1200，
即这两笔交易亏损了100元．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【解答】解：由x≥0且x﹣1≠0得出x≥0且x≠1，
x的取值范围是x≥0且x≠1，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3
【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，
故BD＝BC＝3m，
设AC＝x，
则tan60°＝＝，
解得：x＝3﹣3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象得出a，b，c的符号，进而得出答案．
【解答】解：由二次函数图形可得：开口向上，则a＞0，对称轴在x轴的右侧，则﹣＞0，
故b＜0，图象与y轴交在正半轴上，故c＞0；
则反比例函数y＝图象分布在第一、三象限，
一次函数y＝ax+b图象经过第一、三象限，且图象与y轴交在负半轴上，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数以及反比例函数、一次函数的图象，正确把握图象分布是解题关键．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c，可以结合图象得出x＝﹣2时，y＜0；
②由y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），a﹣b+c＝2，与y轴交于（0，1）点，c＝1，从而得出a﹣b＝1，二次函数的开口向下，a＜0，∴2a﹣b＜0；
③根据抛物线的开口方向判定a＜0；
④利用③的解析式得出，b2+8a＞4ac．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论
①4a﹣2b+c＜0；当x＝﹣2时，y＝ax2+bx+c，y＝4a﹣2b+c，
∵﹣2＜x1＜﹣1，
∴y＜0，故①正确；
②2a﹣b＜0；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，与y轴交于（0，1）点，c＝1，
∴a﹣b＝1，二次函数的开口向下，a＜0，
又﹣1＜﹣＜0，
∴2a﹣b＜0，故②正确；
③因为抛物线的开口方向向下，所以a＜0，故③正确；
④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标性质，以及利用函数图象得出函数与坐标轴的近似值，进而得出函数解析式，这种题型是中考中新题型．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）﹣的系数是 ﹣ ，次数是 3 ．
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案．
【解答】解：﹣的系数是：﹣，次数是：3．
故答案为：﹣；3．
【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式相关定义．
14．（3分）如图钢架中，焊上等长的7根钢条来加固钢架，若AA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝A8A，则∠A的度数是 20° ．
【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AA4A5，∠AA5A4，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝A8A，
∴∠A＝∠AA2A1＝∠AA7A8＝x，
∴∠A2A1A3＝∠A2A3PA1＝2x，
∴∠A3A2A4＝∠A2A4A3＝3x，
…，
∠A4PA3A5＝∠A4A5A3＝4x，
∴∠AA4A5＝4x，∠AA5A4＝4x，
在△AA4A5中，∠A+∠AA4A5+∠AA5A4＝180°，
即x+4x+4x＝20°，
解得x＝20°，
即∠A＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝CD，再根据等边对等角可得∠A＝∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A＝∠ACD是解题的关键．
16．（3分）已知一组数据3，4，1，a，2，a的平均数为2，则这组数据的中位数是 1.5 ．
【分析】根据平均数的定义先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【解答】解：由题意知3+4+1+a+2+a＝2×6，
解得：a＝1，
则这组数据为1，1，1，2，3，4，
所以这组数据的中位数是＝1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
17．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是 m≥﹣ ．
【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【解答】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．
解得m≥﹣．
故答案是：m≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
18．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是 cm．
【分析】根据垂径定理求出BE，根据相交弦定理求出EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BD⊥AO，
∴BE＝ED＝BD＝4，
由相交弦定理得，EA•EC＝EB•ED，即2×EC＝4×4，
解得，EC＝8，
∴AC＝10，
由勾股定理得，BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝2，
∴OF＝＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
三．解答题
19．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1+4﹣（2﹣2）+4×，
＝1+4﹣2+2+2，
＝7．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（6分）在计算的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式＝
＝2……①
＝2……②
＝（2﹣1）……③
＝……④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第 ③ 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）③
（2）原式＝2﹣
＝6﹣2
＝4
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 40 人；
（2）图2中α是 54 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 330 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
【分析】（1）由自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，即可求得本次调查的学生人数；
（2）由×360°＝54°，40×35%＝14；即可求得答案；
（3）首先求得这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%＝40，
故答案为：40； …（2分）
（2）×360°＝54°，
故答案为：54；
40×35%＝14；
补充图形如图：
故答案为：54；
（3）600×＝330； …（2分）
故答案为：330；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P（A）＝．…（2分）
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF．
【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，（2分）
∴∠EAF＝∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，（4分）
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）
∴AB＝EF．（6分）
【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
23．（9分）某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：
购买学校
购买型号及数量（个）
购买支出款项（元）
A
B
甲
3
8
622
乙
5
4
402
（1）求A、B两种型号的篮球的销售单价；
（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？
【分析】（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，根据总价＝单价×数量结合甲、乙两校购买篮球所花费用及购买数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20﹣m）个B种型号的篮球，根据A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球及购买总费用不多于1000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个．
（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20﹣m）个B种型号的篮球，
根据题意得：，
解得：≤m＜10．
又∵m为整数，
∴m＝9．
答：A种型号的篮球采购9个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（9分）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝PE；
（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．
【分析】（1）根据垂径定理证明CD⊥AB，由PC∥AB，可得PC⊥CD，可得结论；
（2）证明△FEP∽△PED，得，则PE2＝EF•ED，同理得：△ECF∽△EDC，则EC2＝EF•ED，可得CE＝PE；
（3）根据平行线分线段成比例定理得：，，则，可得GH＝BG，证明△DHG≌△FBG（ASA），得DH＝BF＝2，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：，分别由勾股定理计算各线段的长，最后由三角函数定义可得结论．
【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
又∵PC∥AB，
∴PC⊥CD，
∴PC为⊙O的切线； ……（3分）
（2）∵PC∥AB，
∴∠EPF＝∠PAB，
∠FDB＝∠PAB，
∴∠EPF＝∠FDB，
∵∠PEF＝∠DEP，
∴△FEP∽△PED，
∴，
∴PE2＝EF•ED，
连接CF，
同理得：△ECF∽△EDC，
∴，即EC2＝EF•ED，
∴CE2＝PE2，
∴CE＝PE； ……（7分）
（3）∵PC∥AB，
∴，，
∴，
由（2）知：CE＝PE，
∴GH＝BG，
∴∠HGD＝∠BGF，∠DHG＝∠FBG＝90°，
∴△DHG≌△FBG（ASA），
∴DH＝BF＝2，
又AO＝OF，AH＝HB，
∴OH＝BF＝1，
∴OD＝3，CD＝6，
连接OB，过点O作OM⊥DB，则OB＝OD＝3，
∴，
∴，，
∴，
又PC∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴MP＝5，
在Rt△POM中，tan∠APD＝＝＝……（10分）
【点评】本题考查了切线的判断和性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等，第三问有难度，作出辅助线构建直角三角形，根据平行线分线段成比例定理和勾股定理求各边的长是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据相似三角形的判定，可得答案，②根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，根据解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，
∴OB＝3OA＝3
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．
∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，
解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴对称轴为l＝﹣＝﹣1，
∴E点坐标为（﹣1，0），如图，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，
此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，
∴＝＝＝
∴MP＝3ME，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵P在第二象限，
∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得t1＝﹣2，t2＝3，（与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去），
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3
∴P（﹣2，3），
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．
26．（10分）如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC＝∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y＝﹣x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
【解答】解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），
∴P（，）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴＝，即＝，∴DQ1＝，
∴OQ1＝，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴＝，即＝，
∴OQ2＝，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴＝，即＝，
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．
2019年湖南省中考数学押题卷
一．选择题（每小题3分，满分36分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．5 B． C． D．﹣5
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a2）2＝﹣4a4
C．a5÷a3＝a2 D．a4+a7＝a11
4．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．（3分）某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是．以下叙述正确的是（ ）
A．从现在起经过13至14年F市将会发生一次地震
B．可以确定F市在未来20年内将会发生一次地震
C．未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大
D．我们不能判断未来会发生什么事，因此没有人可以确定何时会有地震发生
8．（3分）某商店库存清仓，将最后两件羽绒服特价出售，甲款羽绒服卖出1200元，盈利20%，乙款羽绒服同样卖1200元，但亏损20%，该商店在这两笔交易中（ ）
A．盈利100元 B．亏损125元 C．不赔不赚 D．亏损100元
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1
10．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）﹣的系数是 ，次数是 ．
14．（3分）如图钢架中，焊上等长的7根钢条来加固钢架，若AA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝A8A，则∠A的度数是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为 ．
16．（3分）已知一组数据3，4，1，a，2，a的平均数为2，则这组数据的中位数是 ．
17．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是 cm．
三．解答题
19．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
20．（6分）在计算的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式＝
＝2……①
＝2……②
＝（2﹣1）……③
＝……④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
21．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）图2中α是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF．
23．（9分）某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：
购买学校
购买型号及数量（个）
购买支出款项（元）
A
B
甲
3
8
622
乙
5
4
402
（1）求A、B两种型号的篮球的销售单价；
（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？
24．（9分）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝PE；
（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
26．（10分）如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
2019年湖南省中考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，满分36分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．5 B． C． D．﹣5
【分析】根据倒数的概念可得出结果．
【解答】解：的倒数是﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的概念．
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
【解答】解：0.000000039＝3.9×10﹣8．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a2）2＝﹣4a4
C．a5÷a3＝a2 D．a4+a7＝a11
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项错误；
B、（﹣2a2）2＝4a4，此选项计算错误；
C、a5÷a3＝a2，此选项计算正确；
D、a4，a7不是同类项，此选项计算错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则及同类项概念等知识点．
4．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．（3分）某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是．以下叙述正确的是（ ）
A．从现在起经过13至14年F市将会发生一次地震
B．可以确定F市在未来20年内将会发生一次地震
C．未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大
D．我们不能判断未来会发生什么事，因此没有人可以确定何时会有地震发生
【分析】根据概率的意义，可知发生地震的概率是，说明发生地震的可能性大于不发生地政的可能性，从而可以解答本题．
【解答】解：∵某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是，
∴未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大，
故选：C．
【点评】本题考查概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，理论联系实际．
8．（3分）某商店库存清仓，将最后两件羽绒服特价出售，甲款羽绒服卖出1200元，盈利20%，乙款羽绒服同样卖1200元，但亏损20%，该商店在这两笔交易中（ ）
A．盈利100元 B．亏损125元 C．不赔不赚 D．亏损100元
【分析】根据两件羽绒服买进的价格，利用买价+利润＝卖价，列方程求解即可．
【解答】解：设款羽绒服的买价是x元，根据题意得：
（1+20%）x＝1200，
解得x＝1000．
设乙款羽绒服的买价是y元，根据题意得：
（1﹣20%）y＝1200，
解得y＝1500．
1000+1500＞1200+1200，
即这两笔交易亏损了100元．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【解答】解：由x≥0且x﹣1≠0得出x≥0且x≠1，
x的取值范围是x≥0且x≠1，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3
【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，
故BD＝BC＝3m，
设AC＝x，
则tan60°＝＝，
解得：x＝3﹣3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象得出a，b，c的符号，进而得出答案．
【解答】解：由二次函数图形可得：开口向上，则a＞0，对称轴在x轴的右侧，则﹣＞0，
故b＜0，图象与y轴交在正半轴上，故c＞0；
则反比例函数y＝图象分布在第一、三象限，
一次函数y＝ax+b图象经过第一、三象限，且图象与y轴交在负半轴上，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数以及反比例函数、一次函数的图象，正确把握图象分布是解题关键．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c，可以结合图象得出x＝﹣2时，y＜0；
②由y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），a﹣b+c＝2，与y轴交于（0，1）点，c＝1，从而得出a﹣b＝1，二次函数的开口向下，a＜0，∴2a﹣b＜0；
③根据抛物线的开口方向判定a＜0；
④利用③的解析式得出，b2+8a＞4ac．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论
①4a﹣2b+c＜0；当x＝﹣2时，y＝ax2+bx+c，y＝4a﹣2b+c，
∵﹣2＜x1＜﹣1，
∴y＜0，故①正确；
②2a﹣b＜0；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，与y轴交于（0，1）点，c＝1，
∴a﹣b＝1，二次函数的开口向下，a＜0，
又﹣1＜﹣＜0，
∴2a﹣b＜0，故②正确；
③因为抛物线的开口方向向下，所以a＜0，故③正确；
④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标性质，以及利用函数图象得出函数与坐标轴的近似值，进而得出函数解析式，这种题型是中考中新题型．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）﹣的系数是 ﹣ ，次数是 3 ．
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案．
【解答】解：﹣的系数是：﹣，次数是：3．
故答案为：﹣；3．
【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式相关定义．
14．（3分）如图钢架中，焊上等长的7根钢条来加固钢架，若AA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝A8A，则∠A的度数是 20° ．
【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AA4A5，∠AA5A4，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝A8A，
∴∠A＝∠AA2A1＝∠AA7A8＝x，
∴∠A2A1A3＝∠A2A3PA1＝2x，
∴∠A3A2A4＝∠A2A4A3＝3x，
…，
∠A4PA3A5＝∠A4A5A3＝4x，
∴∠AA4A5＝4x，∠AA5A4＝4x，
在△AA4A5中，∠A+∠AA4A5+∠AA5A4＝180°，
即x+4x+4x＝20°，
解得x＝20°，
即∠A＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝CD，再根据等边对等角可得∠A＝∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A＝∠ACD是解题的关键．
16．（3分）已知一组数据3，4，1，a，2，a的平均数为2，则这组数据的中位数是 1.5 ．
【分析】根据平均数的定义先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【解答】解：由题意知3+4+1+a+2+a＝2×6，
解得：a＝1，
则这组数据为1，1，1，2，3，4，
所以这组数据的中位数是＝1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
17．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是 m≥﹣ ．
【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【解答】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．
解得m≥﹣．
故答案是：m≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
18．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是 cm．
【分析】根据垂径定理求出BE，根据相交弦定理求出EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BD⊥AO，
∴BE＝ED＝BD＝4，
由相交弦定理得，EA•EC＝EB•ED，即2×EC＝4×4，
解得，EC＝8，
∴AC＝10，
由勾股定理得，BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝2，
∴OF＝＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
三．解答题
19．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1+4﹣（2﹣2）+4×，
＝1+4﹣2+2+2，
＝7．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（6分）在计算的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式＝
＝2……①
＝2……②
＝（2﹣1）……③
＝……④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第 ③ 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）③
（2）原式＝2﹣
＝6﹣2
＝4
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 40 人；
（2）图2中α是 54 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 330 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
【分析】（1）由自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，即可求得本次调查的学生人数；
（2）由×360°＝54°，40×35%＝14；即可求得答案；
（3）首先求得这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%＝40，
故答案为：40； …（2分）
（2）×360°＝54°，
故答案为：54；
40×35%＝14；
补充图形如图：
故答案为：54；
（3）600×＝330； …（2分）
故答案为：330；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P（A）＝．…（2分）
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF．
【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，（2分）
∴∠EAF＝∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，（4分）
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）
∴AB＝EF．（6分）
【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
23．（9分）某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：
购买学校
购买型号及数量（个）
购买支出款项（元）
A
B
甲
3
8
622
乙
5
4
402
（1）求A、B两种型号的篮球的销售单价；
（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？
【分析】（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，根据总价＝单价×数量结合甲、乙两校购买篮球所花费用及购买数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20﹣m）个B种型号的篮球，根据A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球及购买总费用不多于1000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个．
（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20﹣m）个B种型号的篮球，
根据题意得：，
解得：≤m＜10．
又∵m为整数，
∴m＝9．
答：A种型号的篮球采购9个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（9分）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝PE；
（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．
【分析】（1）根据垂径定理证明CD⊥AB，由PC∥AB，可得PC⊥CD，可得结论；
（2）证明△FEP∽△PED，得，则PE2＝EF•ED，同理得：△ECF∽△EDC，则EC2＝EF•ED，可得CE＝PE；
（3）根据平行线分线段成比例定理得：，，则，可得GH＝BG，证明△DHG≌△FBG（ASA），得DH＝BF＝2，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：，分别由勾股定理计算各线段的长，最后由三角函数定义可得结论．
【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
又∵PC∥AB，
∴PC⊥CD，
∴PC为⊙O的切线； ……（3分）
（2）∵PC∥AB，
∴∠EPF＝∠PAB，
∠FDB＝∠PAB，
∴∠EPF＝∠FDB，
∵∠PEF＝∠DEP，
∴△FEP∽△PED，
∴，
∴PE2＝EF•ED，
连接CF，
同理得：△ECF∽△EDC，
∴，即EC2＝EF•ED，
∴CE2＝PE2，
∴CE＝PE； ……（7分）
（3）∵PC∥AB，
∴，，
∴，
由（2）知：CE＝PE，
∴GH＝BG，
∴∠HGD＝∠BGF，∠DHG＝∠FBG＝90°，
∴△DHG≌△FBG（ASA），
∴DH＝BF＝2，
又AO＝OF，AH＝HB，
∴OH＝BF＝1，
∴OD＝3，CD＝6，
连接OB，过点O作OM⊥DB，则OB＝OD＝3，
∴，
∴，，
∴，
又PC∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴MP＝5，
在Rt△POM中，tan∠APD＝＝＝……（10分）
【点评】本题考查了切线的判断和性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等，第三问有难度，作出辅助线构建直角三角形，根据平行线分线段成比例定理和勾股定理求各边的长是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据相似三角形的判定，可得答案，②根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，根据解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，
∴OB＝3OA＝3
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．
∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，
解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴对称轴为l＝﹣＝﹣1，
∴E点坐标为（﹣1，0），如图，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，
此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，
∴＝＝＝
∴MP＝3ME，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵P在第二象限，
∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得t1＝﹣2，t2＝3，（与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去），
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3
∴P（﹣2，3），
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．
26．（10分）如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC＝∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y＝﹣x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
【解答】解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），
∴P（，）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴＝，即＝，∴DQ1＝，
∴OQ1＝，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴＝，即＝，
∴OQ2＝，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴＝，即＝，
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．
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