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初中数学中考复习 广东省2019年中考数学押题卷一含解析
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这是一份初中数学中考复习 广东省2019年中考数学押题卷一含解析，共31页。试卷主要包含了2sin30°﹣﹣1等内容，欢迎下载使用。
2019年中考数学押题卷一
一．选择题（本大题共10小题，满分30分）
1．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．
2．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3.港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
4.下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．a3×a3＝2a3 D．a3÷a＝a2
5.为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）
A．5，5， B．5，5，10 C．6，5.5， D．5，5，
6.下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．四边都相等的矩形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．12 C．8 D．12
8.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若∠AFG＝60°，GE＝2BG，EF＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9.如图，已知Rt△ABC的直角顶点A落在x轴上，点B、C在第一象限，点B的坐标为（，4），点D、E分别为边BC、AB的中点，且tanB＝，反比例函数y＝的图象恰好经过D、E，则k的值为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
10.如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
（1）∠AEB＝∠AEH （2）DH＝2EH
（3）OH＝AE （4）BC﹣BF＝EH
其中正确命题的序号（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
二．填空题（本大题共6小题，满分24分）
11．分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ ．
12.一个布袋内只装有一个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 ．
13.如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝ ，S1：S2：S3＝ ．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF2为 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝ °．
16.如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为 ，点An ．
三．解答题（本大题共3小题，满分18分）
17．2sin30°﹣（π﹣）0﹣|﹣1|+（）﹣1
18．如图，已知点E、C在线段BF上，且BE＝CF，CM∥DF，
（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN＝∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝DF．
19.化简求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
四. 解答题（本大题共3小题，满分21分）
20.现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；
步数
频数
频率
0≤x＜4000
a
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
B
0.24
12000≤x＜16000
10
c
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜25000
2
d
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的频率．
21.联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
（1）这两次各购进电风扇多少台？
（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？
22.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）证明：△AFC∽△AGD；
（2）若＝，请求出的值．
五．解答题（本大题共3小题，满分27分）
23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
24．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．
25.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）
2019年中考数学押题卷一
一．选择题（本大题共10小题，满分30分）
1．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值越大，这个数越小，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较即可．
【解答】解：实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
2．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1269亿＝126 900 000 000＝1.269×1011，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．a3×a3＝2a3 D．a3÷a＝a2
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2a，故A错误；
（B）原式＝8a3，故B错误；
（C）原式＝a6，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5.为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）
A．5，5， B．5，5，10 C．6，5.5， D．5，5，
【分析】根据平均数，可得x的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义，可得答案．
【解答】解：由5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，得
x＝5．
众数是5，中位数是5，
方差＝，
故选：D．
【点评】本题考查了方差，利用方差的公式计算是解题关键．
6.下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．四边都相等的矩形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、四边都相等的矩形是正方形，所以C选项正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．12 C．8 D．12
【分析】连接OA，OC，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠AOC＝120°，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝30°，由直角三角形的性质可求AO的长．
【解答】解：连接OA，OC
∵∠B＝60°，∠AOC＝2∠B
∴∠AOC＝120°
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，且∠OAC＝30°
∴AO＝2OP＝2×4＝8
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，熟练运用圆的有关知识是本题的关键．
8.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若∠AFG＝60°，GE＝2BG，EF＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】首先证明△EFG为等边三角形，然后求得求得EH、BG的长度，然后依据翻折的性质得到EC、DC的长，从而可求得BC的长，最后，再依据矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠FGE＝60°．
由翻折的性质可知：∠GFE＝∠DFE＝（180°﹣60°）＝60°，∠D＝∠FGH＝90°，∠C＝∠H，EC＝EH，GH＝DC．
∴△EFG为等边三角形，∠EGH＝30°．
∴EG＝EF＝4．
∴EC＝EH＝EG＝2，GH＝DC＝2
∵GE＝2BG，
∴BG＝2．
∴BC＝BG+EG+EC＝8．
∴矩形ABCD的面积＝DC•BC＝2×8＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的性质和判定、含30°直角三角形的性质，证得△EFG为等边三角形是解题的关键．
9.如图，已知Rt△ABC的直角顶点A落在x轴上，点B、C在第一象限，点B的坐标为（，4），点D、E分别为边BC、AB的中点，且tanB＝，反比例函数y＝的图象恰好经过D、E，则k的值为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【分析】由题意可得△ACM∽△BAN，可得，设点C（a，b），由中点坐标公式可得点D（，），点E（，2），代入解析式可求k的值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点B作BN⊥OA于点N，
∵点B的坐标为（，4），
∴BN＝4，ON＝，
∵tanB＝
∴AB＝2AC
∵∠BAC＝90°
∴∠CAM+∠BAN＝90°，且∠CAM+∠MCA＝90°
∴∠MCA＝∠BAN，且∠CMA＝∠BNA＝90°，
∴△ACM∽△BAN
∴
∴AM＝2，AN＝2CM，
设点C（a，b）
∴CM＝b，OM＝a，AN＝2b
∴点A（a+2，0），a+2+2b＝
∴b＝a
∵点D、E分别为边BC、AB的中点，
∴点D（，），点E（，2）
∵反比例函数y＝的图象恰好经过D、E
∴k＝（）（﹣）＝（a）×2
∴a＝，k＝12
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，用字母a表示出点D，点E的坐标是本题的关键．
10.如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
（1）∠AEB＝∠AEH （2）DH＝2EH
（3）OH＝AE （4）BC﹣BF＝EH
其中正确命题的序号（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD＝BC＝AB＝CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE＝CD，得到等腰三角形求出∠AED＝67.5°，∠AEB＝67.5°，得到（1）正确；
（2）设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，求出HE＝﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；
（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；
（4）由△AFH≌△CHE，得到AF＝EH，由△ABE≌△AHE，得到BE＝EH，于是得到BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，从而得到（4）不正确．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD＝BC＝AB＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝AH，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AEH＝∠AEB，
所以（1）结论正确；
（2）设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，
∴HE＝DE﹣DH＝﹣1，
∴2HE＝2（﹣1）＝4﹣2≠1，
所以（2）结论不正确；
（3）∵∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA＝22.5°，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE＝OA，
∴OH＝AE，
所以（3）正确；
（4）∵AH＝DH＝CD＝CE，
在△AFH与△CHE中，
，
∴△AFH≌△CHE（ASA），
∴AF＝EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
所以（4）不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二．填空题（本大题共6小题，满分24分）
11．分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.一个布袋内只装有一个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，
∴两次摸出的球都是黄球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13.如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝ ，S1：S2：S3＝ ．
【分析】由AE：ED＝5：4，得到DE：AD＝4：9，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE：ED＝5：4，
∴DE：AD＝4：9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∴S1：S2：S3＝16：81：36，
故答案为：4：9，16：81：36．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF2为 ．
【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF＝S△ABC，即：＝×AC×BC，
又∵AC＝BC＝1，
∴AF2＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得到△ABC和扇形ADF的面积相等，是解决此题的关键，难度一般．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝ °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝105°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16.如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为 ，点An ．
【分析】由直线解析式求出B1点的坐标，解直角三角形得出∠B1OA1＝30°，由此可发现，OA2＝OB1＝OA1÷cos30°＝OA1，同理OA3＝OA2＝（）2OA1，OA4＝OA3＝（）3OA1，…，由此得出一般规律．
【解答】解：由A1坐标为（1，0），可知OA1＝1，
把x＝1代入直线y＝x中，得y＝，即A1B1＝，
tan∠B1OA1＝＝，所以，∠B1OA1＝30°，
则OA2＝OB1＝OA1÷cos30°＝OA1＝，
OA3＝OA2＝（）2，OA4＝OA3＝（）3，
故点A4的坐标为（，0），点An（（）n﹣1，0）．
故答案为：（，0），（（）n﹣1，0）．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是由直线解析式求出直线与x轴正方向的夹角为30°，再依次求OA2，OA3，OA4，…的长，得出一般规律．
三．解答题（本大题共3小题，满分18分）
17．2sin30°﹣（π﹣）0﹣|﹣1|+（）﹣1
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣1+﹣1+2
＝+1；
（2）原式＝×
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝
＝2﹣1；
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练实数的运算法则以及分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．如图，已知点E、C在线段BF上，且BE＝CF，CM∥DF，
（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN＝∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝DF．
【分析】（1）①以E为圆心，以EM为半径画弧，交EF于H，
②以B为圆心，以EM为半径画弧，交EF于P，
③以P为圆心，以HM为半径画弧，交前弧于G，
④作射线BG，则∠CBN就是所求作的角．
（2）证明△ABC≌△DEF可得结论．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵CM∥DF，
∴∠MCE＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF．
【点评】本题考查了基本作图﹣作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．
19.化简求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集的整数解得到x的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】原式＝•＝4x﹣4；
解不等式①得：x＜3；解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜3，
∴整数x＝2，
∴原式＝8﹣4＝4．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五. 解答题（本大题共3小题，满分21分）
20.现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；
步数
频数
频率
0≤x＜4000
a
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
B
0.24
12000≤x＜16000
10
c
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜25000
2
d
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的频率．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数58000可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a＝50×0.16＝8，b＝50×0.24＝12，c＝10÷50＝0.2，d＝2÷50＝0.04，
补全直方图如下：
（2）估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有58000×（0.2+0.06+0.04）＝17400（人）；
（3）设步数为16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，步数为20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为＝．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
21.联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
（1）这两次各购进电风扇多少台？
（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？
【分析】（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，根据题意可得，第一次比第二次单价低30元，据此列方程求解；
（2）分别求出两次的盈利，然后求和．
【解答】解：（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，
由题意得，＝150+30，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
则x﹣10＝60﹣10＝50，
答：第一次购买了60台电风扇，则第二次购买了50台电风扇；
（2）两次获利：（250﹣150）×60+（250﹣150﹣30）×50
＝6000+3500＝9500（元）．
答：商场获利9500元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
22.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）证明：△AFC∽△AGD；
（2）若＝，请求出的值．
【分析】（1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
（2）设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF，AC由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论．
【解答】（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（2）∵＝，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．
五．解答题（本大题共3小题，满分27分）
23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
【分析】（1）由y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的长，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣）2﹣，然后根据n的取值得到最小值．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，
∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB
＝PD•a+PD•（3﹣a）
＝PD•3
＝（﹣a2+3a）
＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
设N（1，n），则0≤n≤4，
取CM的中点Q（，），
∵∠MNC＝90°，
∴NQ＝CM，
∴4NQ2＝CM2，
∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，
∴4[＝（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，
整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，
∵0≤n≤4，
当n＝上，M最小值＝﹣，n＝4时，M最小值＝5，
综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
24．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角和圆心角的2倍数量关系，可以得到∠DOC＝90°，再利用平行推出∠ODE＝90°．
（2）连接CD，证明△CDE∽△BDE，即可得到DE2＝CE•BE．
（3）根据（2）的结论可以求出DE的长度，过E作CD的垂线，可得到一个等腰直角三角形，可解边长，再根据勾股定理可得到CD的长度，从而得到半径的长度．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AC为圆O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）如图所示，连接CD，
∵∠CDE＝∠DCA＝∠DBA＝45°，∠E＝∠DBE，
∴△DCE∽△BDE，
∴，
∴DE2＝CE•BE．
（3）如图所示，连接OD、CD，过点E作CD的垂线，垂足为H，
∵DE2＝CE•BE，BC＝，CE＝，
解得DE＝4，
∵∠HDE＝45°，
∴DH＝HE＝4•sin∠HDE＝2，
在Rt△CHE中，CH＝＝，
∴CD＝3，
∴OD＝OC＝3•sin∠ODC＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】此题考查了圆的性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，还考查了相似三角形的性质及其判定．找到相似三角形为解题关键．
25.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）
【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB＝10，再由BP＝t，AQ＝2t，得出AP＝10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出＝，列出比例式＝，求解即可；
（2）根据S四边形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝AC•BC﹣AP•AQ•sinA，即可得出y关于t的函数关系式；
（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程t2﹣8t+24＝×24，解方程即可；
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE＝AQ；②EA＝EQ；③QA＝QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝10cm．
∵BP＝t，AQ＝2t，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t．
∵PQ∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
（2）∵S四边形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝AC•BC﹣AP•AQ•sinA
∴y＝×6×8﹣×（10﹣t）•2t•
＝24﹣t（10﹣t）
＝t2﹣8t+24，
即y关于t的函数关系式为y＝t2﹣8t+24；
（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：
由题意，得t2﹣8t+24＝×24，
整理，得t2﹣10t+12＝0，
解得t1＝5﹣，t2＝5+（不合题意舍去）．
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE＝AQ，那么10﹣2t＝2t，解得t＝；
②如果EA＝EQ，那么（10﹣2t）×＝t，解得t＝；
③如果QA＝QE，那么2t×＝5﹣t，解得t＝．
故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．
2019年中考数学押题卷一
一．选择题（本大题共10小题，满分30分）
1．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．
2．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3.港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
4.下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．a3×a3＝2a3 D．a3÷a＝a2
5.为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）
A．5，5， B．5，5，10 C．6，5.5， D．5，5，
6.下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．四边都相等的矩形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．12 C．8 D．12
8.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若∠AFG＝60°，GE＝2BG，EF＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9.如图，已知Rt△ABC的直角顶点A落在x轴上，点B、C在第一象限，点B的坐标为（，4），点D、E分别为边BC、AB的中点，且tanB＝，反比例函数y＝的图象恰好经过D、E，则k的值为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
10.如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
（1）∠AEB＝∠AEH （2）DH＝2EH
（3）OH＝AE （4）BC﹣BF＝EH
其中正确命题的序号（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
二．填空题（本大题共6小题，满分24分）
11．分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ ．
12.一个布袋内只装有一个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 ．
13.如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝ ，S1：S2：S3＝ ．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF2为 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝ °．
16.如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为 ，点An ．
三．解答题（本大题共3小题，满分18分）
17．2sin30°﹣（π﹣）0﹣|﹣1|+（）﹣1
18．如图，已知点E、C在线段BF上，且BE＝CF，CM∥DF，
（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN＝∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝DF．
19.化简求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
四. 解答题（本大题共3小题，满分21分）
20.现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；
步数
频数
频率
0≤x＜4000
a
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
B
0.24
12000≤x＜16000
10
c
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜25000
2
d
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的频率．
21.联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
（1）这两次各购进电风扇多少台？
（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？
22.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）证明：△AFC∽△AGD；
（2）若＝，请求出的值．
五．解答题（本大题共3小题，满分27分）
23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
24．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．
25.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）
2019年中考数学押题卷一
一．选择题（本大题共10小题，满分30分）
1．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值越大，这个数越小，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较即可．
【解答】解：实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
2．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1269亿＝126 900 000 000＝1.269×1011，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．a3×a3＝2a3 D．a3÷a＝a2
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2a，故A错误；
（B）原式＝8a3，故B错误；
（C）原式＝a6，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5.为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）
A．5，5， B．5，5，10 C．6，5.5， D．5，5，
【分析】根据平均数，可得x的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义，可得答案．
【解答】解：由5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，得
x＝5．
众数是5，中位数是5，
方差＝，
故选：D．
【点评】本题考查了方差，利用方差的公式计算是解题关键．
6.下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．四边都相等的矩形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、四边都相等的矩形是正方形，所以C选项正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．12 C．8 D．12
【分析】连接OA，OC，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠AOC＝120°，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝30°，由直角三角形的性质可求AO的长．
【解答】解：连接OA，OC
∵∠B＝60°，∠AOC＝2∠B
∴∠AOC＝120°
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，且∠OAC＝30°
∴AO＝2OP＝2×4＝8
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，熟练运用圆的有关知识是本题的关键．
8.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若∠AFG＝60°，GE＝2BG，EF＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】首先证明△EFG为等边三角形，然后求得求得EH、BG的长度，然后依据翻折的性质得到EC、DC的长，从而可求得BC的长，最后，再依据矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠FGE＝60°．
由翻折的性质可知：∠GFE＝∠DFE＝（180°﹣60°）＝60°，∠D＝∠FGH＝90°，∠C＝∠H，EC＝EH，GH＝DC．
∴△EFG为等边三角形，∠EGH＝30°．
∴EG＝EF＝4．
∴EC＝EH＝EG＝2，GH＝DC＝2
∵GE＝2BG，
∴BG＝2．
∴BC＝BG+EG+EC＝8．
∴矩形ABCD的面积＝DC•BC＝2×8＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的性质和判定、含30°直角三角形的性质，证得△EFG为等边三角形是解题的关键．
9.如图，已知Rt△ABC的直角顶点A落在x轴上，点B、C在第一象限，点B的坐标为（，4），点D、E分别为边BC、AB的中点，且tanB＝，反比例函数y＝的图象恰好经过D、E，则k的值为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【分析】由题意可得△ACM∽△BAN，可得，设点C（a，b），由中点坐标公式可得点D（，），点E（，2），代入解析式可求k的值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点B作BN⊥OA于点N，
∵点B的坐标为（，4），
∴BN＝4，ON＝，
∵tanB＝
∴AB＝2AC
∵∠BAC＝90°
∴∠CAM+∠BAN＝90°，且∠CAM+∠MCA＝90°
∴∠MCA＝∠BAN，且∠CMA＝∠BNA＝90°，
∴△ACM∽△BAN
∴
∴AM＝2，AN＝2CM，
设点C（a，b）
∴CM＝b，OM＝a，AN＝2b
∴点A（a+2，0），a+2+2b＝
∴b＝a
∵点D、E分别为边BC、AB的中点，
∴点D（，），点E（，2）
∵反比例函数y＝的图象恰好经过D、E
∴k＝（）（﹣）＝（a）×2
∴a＝，k＝12
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，用字母a表示出点D，点E的坐标是本题的关键．
10.如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
（1）∠AEB＝∠AEH （2）DH＝2EH
（3）OH＝AE （4）BC﹣BF＝EH
其中正确命题的序号（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD＝BC＝AB＝CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE＝CD，得到等腰三角形求出∠AED＝67.5°，∠AEB＝67.5°，得到（1）正确；
（2）设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，求出HE＝﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；
（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；
（4）由△AFH≌△CHE，得到AF＝EH，由△ABE≌△AHE，得到BE＝EH，于是得到BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，从而得到（4）不正确．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD＝BC＝AB＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝AH，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AEH＝∠AEB，
所以（1）结论正确；
（2）设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，
∴HE＝DE﹣DH＝﹣1，
∴2HE＝2（﹣1）＝4﹣2≠1，
所以（2）结论不正确；
（3）∵∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA＝22.5°，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE＝OA，
∴OH＝AE，
所以（3）正确；
（4）∵AH＝DH＝CD＝CE，
在△AFH与△CHE中，
，
∴△AFH≌△CHE（ASA），
∴AF＝EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
所以（4）不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二．填空题（本大题共6小题，满分24分）
11．分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.一个布袋内只装有一个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，
∴两次摸出的球都是黄球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13.如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝ ，S1：S2：S3＝ ．
【分析】由AE：ED＝5：4，得到DE：AD＝4：9，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE：ED＝5：4，
∴DE：AD＝4：9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∴S1：S2：S3＝16：81：36，
故答案为：4：9，16：81：36．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF2为 ．
【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF＝S△ABC，即：＝×AC×BC，
又∵AC＝BC＝1，
∴AF2＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得到△ABC和扇形ADF的面积相等，是解决此题的关键，难度一般．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝ °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝105°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16.如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为 ，点An ．
【分析】由直线解析式求出B1点的坐标，解直角三角形得出∠B1OA1＝30°，由此可发现，OA2＝OB1＝OA1÷cos30°＝OA1，同理OA3＝OA2＝（）2OA1，OA4＝OA3＝（）3OA1，…，由此得出一般规律．
【解答】解：由A1坐标为（1，0），可知OA1＝1，
把x＝1代入直线y＝x中，得y＝，即A1B1＝，
tan∠B1OA1＝＝，所以，∠B1OA1＝30°，
则OA2＝OB1＝OA1÷cos30°＝OA1＝，
OA3＝OA2＝（）2，OA4＝OA3＝（）3，
故点A4的坐标为（，0），点An（（）n﹣1，0）．
故答案为：（，0），（（）n﹣1，0）．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是由直线解析式求出直线与x轴正方向的夹角为30°，再依次求OA2，OA3，OA4，…的长，得出一般规律．
三．解答题（本大题共3小题，满分18分）
17．2sin30°﹣（π﹣）0﹣|﹣1|+（）﹣1
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣1+﹣1+2
＝+1；
（2）原式＝×
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝
＝2﹣1；
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练实数的运算法则以及分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．如图，已知点E、C在线段BF上，且BE＝CF，CM∥DF，
（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN＝∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝DF．
【分析】（1）①以E为圆心，以EM为半径画弧，交EF于H，
②以B为圆心，以EM为半径画弧，交EF于P，
③以P为圆心，以HM为半径画弧，交前弧于G，
④作射线BG，则∠CBN就是所求作的角．
（2）证明△ABC≌△DEF可得结论．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵CM∥DF，
∴∠MCE＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF．
【点评】本题考查了基本作图﹣作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．
19.化简求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集的整数解得到x的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】原式＝•＝4x﹣4；
解不等式①得：x＜3；解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜3，
∴整数x＝2，
∴原式＝8﹣4＝4．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五. 解答题（本大题共3小题，满分21分）
20.现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；
步数
频数
频率
0≤x＜4000
a
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
B
0.24
12000≤x＜16000
10
c
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜25000
2
d
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的频率．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数58000可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a＝50×0.16＝8，b＝50×0.24＝12，c＝10÷50＝0.2，d＝2÷50＝0.04，
补全直方图如下：
（2）估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有58000×（0.2+0.06+0.04）＝17400（人）；
（3）设步数为16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，步数为20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为＝．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
21.联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
（1）这两次各购进电风扇多少台？
（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？
【分析】（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，根据题意可得，第一次比第二次单价低30元，据此列方程求解；
（2）分别求出两次的盈利，然后求和．
【解答】解：（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，
由题意得，＝150+30，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
则x﹣10＝60﹣10＝50，
答：第一次购买了60台电风扇，则第二次购买了50台电风扇；
（2）两次获利：（250﹣150）×60+（250﹣150﹣30）×50
＝6000+3500＝9500（元）．
答：商场获利9500元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
22.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）证明：△AFC∽△AGD；
（2）若＝，请求出的值．
【分析】（1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
（2）设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF，AC由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论．
【解答】（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（2）∵＝，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．
五．解答题（本大题共3小题，满分27分）
23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
【分析】（1）由y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的长，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣）2﹣，然后根据n的取值得到最小值．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，
∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB
＝PD•a+PD•（3﹣a）
＝PD•3
＝（﹣a2+3a）
＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
设N（1，n），则0≤n≤4，
取CM的中点Q（，），
∵∠MNC＝90°，
∴NQ＝CM，
∴4NQ2＝CM2，
∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，
∴4[＝（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，
整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，
∵0≤n≤4，
当n＝上，M最小值＝﹣，n＝4时，M最小值＝5，
综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
24．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角和圆心角的2倍数量关系，可以得到∠DOC＝90°，再利用平行推出∠ODE＝90°．
（2）连接CD，证明△CDE∽△BDE，即可得到DE2＝CE•BE．
（3）根据（2）的结论可以求出DE的长度，过E作CD的垂线，可得到一个等腰直角三角形，可解边长，再根据勾股定理可得到CD的长度，从而得到半径的长度．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AC为圆O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）如图所示，连接CD，
∵∠CDE＝∠DCA＝∠DBA＝45°，∠E＝∠DBE，
∴△DCE∽△BDE，
∴，
∴DE2＝CE•BE．
（3）如图所示，连接OD、CD，过点E作CD的垂线，垂足为H，
∵DE2＝CE•BE，BC＝，CE＝，
解得DE＝4，
∵∠HDE＝45°，
∴DH＝HE＝4•sin∠HDE＝2，
在Rt△CHE中，CH＝＝，
∴CD＝3，
∴OD＝OC＝3•sin∠ODC＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】此题考查了圆的性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，还考查了相似三角形的性质及其判定．找到相似三角形为解题关键．
25.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）
【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB＝10，再由BP＝t，AQ＝2t，得出AP＝10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出＝，列出比例式＝，求解即可；
（2）根据S四边形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝AC•BC﹣AP•AQ•sinA，即可得出y关于t的函数关系式；
（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程t2﹣8t+24＝×24，解方程即可；
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE＝AQ；②EA＝EQ；③QA＝QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝10cm．
∵BP＝t，AQ＝2t，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t．
∵PQ∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
（2）∵S四边形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝AC•BC﹣AP•AQ•sinA
∴y＝×6×8﹣×（10﹣t）•2t•
＝24﹣t（10﹣t）
＝t2﹣8t+24，
即y关于t的函数关系式为y＝t2﹣8t+24；
（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：
由题意，得t2﹣8t+24＝×24，
整理，得t2﹣10t+12＝0，
解得t1＝5﹣，t2＝5+（不合题意舍去）．
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE＝AQ，那么10﹣2t＝2t，解得t＝；
②如果EA＝EQ，那么（10﹣2t）×＝t，解得t＝；
③如果QA＝QE，那么2t×＝5﹣t，解得t＝．
故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．
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