八年级数学下册专题08 菱形中的最值

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专题08 菱形中的最值
【例题讲解】
如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____

解：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，
∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°，
∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案为3．

【综合演练】
1．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ）

A． B．6 C．3 D．
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．2+2
4．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C．4 D．
5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，菱形的边长为，点为边的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为__________．

7．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是_____________．

8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．

9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．

10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．

11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.

12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．

13．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．


14．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．

(1)求证：；
(2)求的最小值．
15．如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____



答案与解析
【例题讲解】
如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____

解：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，
∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°，
∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案为3．

【综合演练】
1．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ）

A． B．6 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=，
∴EF+BF的最小值为．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC＝PE+AP＝AE，

根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．
∵∠ABC＝60°，AB=BC
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE＝CE ，
∴AE⊥BC，

∴AE＝＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．2+2
【答案】B
【详解】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，

∵AB=4，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4×=，
∴PK+QK的最小值为，
故选B．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
4．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，最小值为GF，求出GF即可．
【详解】解：作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，连接PE，
由对称性可得PG=PE，AG=AE，
∴PE+PF=PG+PF⩾GF，

当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，
∵点E是AB的中点，
∴点G是AD的中点，
，
∵F是BC的中点，
，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴，AD=BC，
，
∴四边形ABFG是平行四边形，
∴GF=AB=4，
∴PE+PF的最小值为4，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．
5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴点A与点C关于BD对称，
连接AE交BD于点P，连接PC，
则PE＋PC＝PA＋PC＝AE，

∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，
∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，
∴BE＝1，AB＝2，
过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠EBG＝60°，
∴BG＝，EG＝，
在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，
∴AE＝，
∴△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，
∴△PCE的周长的最小值为＋1，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键．
6．如图，菱形的边长为，点为边的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为__________．

【答案】3
【分析】找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可．
【详解】解：连接，交于，连接交于，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，
，
即就是的最小值．
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
（等腰三角形三线合一的性质）．
在中，．
即的最小值为3．
故答案为3．

【点睛】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
7．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是_____________．

【答案】3
【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵四边形菱形，
∴A、C关于BD对称，
∵点E，C在BD的同侧，
∴当A、P、E三点共线时，的值最小，且最小值为AE；
∵以为斜边的的面积为3， ，
∴，
∴AE=3，
∴的最小值是3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．
8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．

【答案】9
【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN周长的最小值．
【详解】解：如图：连接MN，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM＋PN的最小值，
∵菱形ABCD，M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN＝BM＝AM，MN=
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB＝＝5，
∴EN＝AB＝5，
∴PM＋PN的最小值为5．
∵MN不变，当PM＋PN的最小值时，△PMN周长最小 ，
∴△PMN周长最小=9
故答案为：9．

【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称、平行四边形的判定及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．

【答案】3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,

∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,
∴∠DAC＝∠CAB＝30°,
∴PE＝AP;
∵∠DAF＝60°,
∴∠ADF＝30°,
∴AF＝AD＝×6＝3;
∴DF＝3;
∵AP+PD＝PE+PD,
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,
∴AP+PD的最小值为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．

【答案】56
【分析】连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．
【详解】解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°
∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC
∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=（180°－∠ADC）=62°
∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA
根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长
∵CF⊥AD
∴∠AFC=90°
∴∠ECA=90°－∠DAC=28°
∴∠EAC=28°
∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°
故答案为：56．
【点睛】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．
11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.

【答案】
【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．
【详解】解：连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠ADC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD与△BCD都为等边三角形，
∴∠FDB=∠EAB=60°，
∵AE+CF=4，而DF+CF=4，
∴AE=DF，
∵AB=BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，
在Rt△ABE中，AE=AB=2，由勾股定理得BE=2，
同理可得等边△BEF的边BE上的高为×2=3，
△BEF面积的最小值=3．
故答案为：3．

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．

【答案】
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【详解】
连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
AB= BC= 2
∵ G， H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
GH =AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，
∵∠B= 45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB=×2=，
∴GH =
即GH的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
13．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．

【答案】
【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．
【详解】解：如图所示：

过点作交于点，过点作交于点，
四边形是菱形，，
∴∠ABP=30°，
，
，
由垂线段最短可知，的最小值为的长，
，
即的最小值是：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．
14．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．

(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．
（1）
证明：连接，

垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）
解：连接，

和分别是和的中点，点为中点，
，即

当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．