2023年河南省洛阳市偃师市中考数学一模试卷

这是一份2023年河南省洛阳市偃师市中考数学一模试卷
2023年河南省洛阳市偃师市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）计算sin45°的值等于（　　）A．3 B．12 C．22 D．322．（3分）下列正确的是（　　）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.73．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）A．﹣4 B．-14 C．14 D．44．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．ABAD=BCDE5．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝2，则边AB的长为（　　）A．22 B．42 C．35 D．626．（3分）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝16007．（3分）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG的长等于（　　）﹣A．233 B．433 C．23 D．438．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率9．（3分）如图，点E是△ABC的重心，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形．则△EFG与△ABC的面积之比为（　　）A．13 B．23 C．19 D．4910．（3分）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（　　）A．ab2n B．ab2n-1 C．ab2n+1 D．ab22n二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）比较大小：33　 　22（填“＞”，“＜”或“＝”）．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　 　．13．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　 　米．14．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 　 　．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 　 　时，△CDE与△ACE相似．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（8分）计算：（1）2cos45°﹣|2-2|-8；（2）6-123+（2-1）2．17．（5分）解方程：（1）3x+6＝（x+2）2；（2）x2﹣22x﹣2＝0．18．（9分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 　 　事件；A．不可能B．必然C．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．19．（9分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14．（1）若AB＝12，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．（1）求证：BC平分∠ABF；（2）求证：BC2＝2BF•BD．22．（10分）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）23．（11分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝10，AE＝6，求DEBC的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝8，求BF的长．2023年河南省洛阳市偃师市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）计算sin45°的值等于（　　）A．3 B．12 C．22 D．32【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．【解答】解：sin45°=22故选：C．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，本题属于基础题型．2．（3分）下列正确的是（　　）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7【分析】根据4+9=13判断A选项；根据ab=a•b（a≥0，b≥0）判断B选项；根据a2=|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．【解答】解：A、原式=13，故该选项不符合题意；B、原式=4×9=2×3，故该选项符合题意；C、原式=(92)2=92，故该选项不符合题意；D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握ab=a•b（a≥0，b≥0）是解题的关键．3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）A．﹣4 B．-14 C．14 D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m=14．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．ABAD=BCDE【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，若ABAD=ACAE，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；∵ABAD=BCDE，∠DAE＝∠BAC，∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．5．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝2，则边AB的长为（　　）A．22 B．42 C．35 D．62【分析】利用题目信息得到AD的长度，然后根据AD和BD的长度判断出△ABD的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到AB的长度．【解答】解：由题意可知，tanC=ADCD=2，∵CD＝2，∴AD＝4，∴AD＝BD＝4，∵AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD=2AD=42．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有45°角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．6．（3分）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．7．（3分）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG的长等于（　　）﹣A．233 B．433 C．23 D．43【分析】由矩形性质可得∠BAG＝90°，由折叠性质可得∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG，由题意可得点E为AB中点，AE＝BE＝1，从而可得∠BA′E＝30°，可得∠A′BE＝60°，可得∠ABG＝∠A′BG＝30°，BG=233AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，∴∠BAG＝90°，由折叠性质可得：∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG，由题意可得：点E为AB中点，∴AE＝BE＝1，在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，∴∠BA′E＝30°，∴∠A′BE＝60°，∴∠ABG＝∠A′BG＝30°，∴BG=233AB=433，故选：B．【点评】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是求出∠ABG＝30°．8．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A、掷一枚硬币，连续两次出现正面的概率为14，故此选项不符合题意；B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，此选项符合题意；C、任意写出一个正整数，能被5整除的概率为15，故此选项不符合题意；D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．9．（3分）如图，点E是△ABC的重心，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形．则△EFG与△ABC的面积之比为（　　）A．13 B．23 C．19 D．49【分析】由E是△ABC的重心得到DE=13AD，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，得到△EFG∽△ABC，EG∥AC推出△DEG∽△DAC得到EGAC=EDAD=13，由相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵点E是△ABC的重心，∴DE=12AE，∴DE=13AD，∵△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，∴△EFG∽△ABC，EG∥AC，∴△DEG∽△DAC，∴EGAC=EDAD=13，∴S△EFGS△ABC=(EGAC)2=19．故选：C．【点评】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，关键是掌握位似图形，相似三角形的性质．10．（3分）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（　　）A．ab2n B．ab2n-1 C．ab2n+1 D．ab22n【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1=12ab，再根据三角形中位线定理可得C2D2=12A1C1，A2D2=12B1D1，则S2=12A1C1×12B1D1=14ab，依此可得规律．【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，∴四边形A1BCC1是矩形，∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，∴A1C1⊥B1D1，∴S1=12ab，∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，∴C2D2=12A1C1，A2D2=12B1D1，∴S2=12A1C1×12B1D1=14ab，……依此可得Sn=ab2n，故选：A．【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算S1、S2发现规律是解决问题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）比较大小：33　＜　22（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】利用平方法比较大小即可．【解答】解：∵（33）2=13，（22）2=12，13＜12，∴33＜22，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　﹣6　．【分析】设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于-ba，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出x1，此题得解．【解答】解：设方程的另一个根是x1，依题意得：x1+3＝﹣3，解得：x1＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于-ba是解题的关键．13．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　（﹣1+5）　米．【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．【解答】解：∵BE2＝AE•AB，设BE＝x，则AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1+5，x2＝﹣1-5（舍去），∴线段BE的长为（﹣1+5）米．故答案为：（﹣1+5）．【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．14．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 　132　．【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH=12AO=12，FH∥AO，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO=12AB＝1，BO=3AO=3=DO，∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，∴FH=12AO=12，FH∥AO，∴FH⊥BD，∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，∴OE=32，OH=32，∴EH=3，∴EF=EH2+FH2=3+14=132，故答案为：132．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 　（1，0）或（95，0）　时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝3﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴3﹣a＝2a，∴a＝1．∴E（1，0）；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴BDAC=BCAE=2，∴BC＝2AE＝2（3﹣a）＝6﹣2a，∴6﹣2a+32-a2=3，∴a=95．∴E（95，0）．综上所述，点E的坐标为（1，0）或（95，0）．故答案为：（1，0）或（95，0）．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（8分）计算：（1）2cos45°﹣|2-2|-8；（2）6-123+（2-1）2．【分析】（1）把特殊锐角三角函数值代入，根据绝对值的定义以及二次根式的化简方法进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算的方法以及完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝2×22-2+2-22=2-2+2-22 ＝﹣2﹣22；（2）原式=63-123+（2+1﹣22）=2-2+3﹣22 ＝1-2．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则以及特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．17．（5分）解方程：（1）3x+6＝（x+2）2；（2）x2﹣22x﹣2＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）3x+6＝（x+2）2，3（x+2）﹣（x+2）2＝0，（x+2）（3﹣x﹣2）＝0，（x+2）（1﹣x）＝0，x+2＝0或1﹣x＝0，x1＝﹣2，x2＝1；（2）x2﹣22x﹣2＝0，∵Δ＝（﹣22）2﹣4×1×（﹣2）＝8+8＝16＞0，∴x=22±162=22±42=2±2，∴x1=2+2，x2=2-2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（9分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 　C　事件；A．不可能B．必然C．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；故答案为：C；（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，则P（A）=612=12，【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（9分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14．（1）若AB＝12，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14，∵AB＝12，∴AD＝3；（2）∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DEBC）2＝（14）2=116，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴S△EFCS△ABC=（34）2=916，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．【点评】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；（2）根据根与系数的关系和（x1+1）（x2+1）＝﹣1，可以求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，解得k≤174，即k的取值范围是k≤174；（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，解得k＝3，即k的值是3．【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．（1）求证：BC平分∠ABF；（2）求证：BC2＝2BF•BD．【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到DC＝DB，则∠CBD＝∠BCD，再证明BF∥CD得到∠CBF＝∠BCD，所以∠CBD＝∠CBF，从而得到结论；（2）先证明△ABC∽△CBF，则利用相似三角形的性质得到BC2＝BF•AB，然后利用AB＝2BD得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴DC＝DB，∴∠CBD＝∠BCD，∵CD⊥CE，BF⊥CE，∴BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD，∴∠CBD＝∠CBF，∴BC平分∠ABF；（2）∵∠CBD＝∠CBF，∠BFC＝∠BCA，∴△ABC∽△CBF，∴BC：BF＝AB：BC，∴BC2＝BF•AB，∵AB＝2BD，∴BC2＝2BF•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．22．（10分）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【分析】（1）过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF＝AC＝200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE=2DF＝2002≈283（米）；（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC=AB2-AC2=2003米，又BD＝100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（2003+100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE＝2003-100+2002≈529米，即可得答案．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2DF＝2002≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC=AB2-AC2=2003米，∵BD＝100米，∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（2003+100）米，∴AF＝CD＝（2003+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（2003+100）﹣200＝（2003-100）米，∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝2003-100+2002≈529米，∵529＞500，∴经过点B到达点D较近．【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．23．（11分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝10，AE＝6，求DEBC的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝8，求BF的长．【分析】（1）证明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根据相似三角形的性质得到DGBF=GEFC，进而证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案；（3）延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，根据直角三角形的性质求出∠EFG，求出∠MFN＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，∴DGBF=AGAF，GEFC=AGAF，∴DGBF=GEFC，∵BF＝CF，∴DG＝EG；（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，∴CE＝CD＝10，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=AEAC=610+6=38；（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，∵MG∥BD，∴ME＝GE，∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝8，在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，∵FG平分∠EFC，∴∠GFC＝∠EFG＝50°，∵FM＝FG，EF⊥GM，∴∠MFE＝∠EFG＝50°，∴∠MFN＝30°，∴MN=12MF＝4，∴NF=MF2-MN2=43，∵∠ABC＝45°，∴BN＝MN＝4，∴BF＝BN+NF＝4+43．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．