数学苏科版第7章 平面图形的认识（二）7.2 探索平行线的性质课后作业题

这是一份数学苏科版第7章 平面图形的认识（二）7.2 探索平行线的性质课后作业题，共31页。试卷主要包含了一把直尺和一块三角板ABC等内容，欢迎下载使用。
7-2探索平行线的性质同步练习题
1．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：
（1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°．
其中正确的共有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（　　）

A．10° B．50° C．45° D．40°
3．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（　　）

A．2α B．2β C．α+β D．（α+β）
4．如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）

A．70° B．65° C．50° D．25°
5．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC．上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝104°，则∠BEG的度数为（　　）

A．38° B．37.5° C．37° D．40°
6．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（　　）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　）

A．19° B．18° C．17° D．16°
8．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（　　）

A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z

9．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　）

A．105° B．120° C．130° D．145°
10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　）

A．170° B．160° C．150° D．140°
11．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　 　度．

12．如图，∠BAP与∠APD互补，∠BAE＝∠CPF，求证：∠E＝∠F．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：∵∠BAP与∠APD互补，（已知）
∴AB∥CD．（　 　）
∴∠BAP＝∠APC．（　 　）
∵∠BAE＝∠CPF，（已知）
∴∠BAP﹣∠BAE＝∠APC﹣∠CPF，
（　 　）
即　 　＝　 　．（　 　）
∴AE∥FP．
∴∠E＝∠F．
13．如图，小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝93°，∠DCE＝116°，则∠E的度数是 　 　°．

14．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t＝　 　秒时，两块三角尺有一组边平行．

15．如果两个角的两边两两互相平行，且一个角的等于另一角的（其中n为正整数），则这两个角中度数较小的角度为 　 　．（用n的代数式表示）
16．将一副直角三角板如图摆放，点D落在AB边上，BC∥DE，则∠1＝　 　°．

17．现有下列说法：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若b∥c，a∥c，则b∥a；
④若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°；
⑤若b⊥c，a⊥c，则b∥a．其中正确的是　 　（填写序号）．
18．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°

（1）∠EFB＝　 　．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　 　．（用含x的代数式表示）．
19．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度．

20．如图，AB∥CD，∠DEF＝70°，点N是直线AB上一动点，点M是直线CD一动点，连接FM、EN，设∠BFM＝∠DEN＝α．

（1）如图1，当FM∥EN时，求出α的值；
（2）当FM⊥EN时，在图2中画出对应的图形，并求出α的值．
21．爱国同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，聪明的你，帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AMC＝∠BAM+∠DCM成立吗？请你帮他说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BM平分∠ABC，DM平分∠ADC．BM、DM所在直线交于点M，若∠NAD＝64°，∠ABC＝44°，请你帮他求∠BMD的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠NAD＝α°，∠ABC＝β°，请你帮他求出∠BMD的度数（用含α，β的式子表示）．

22．已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并证明；
（3）当∠EPF满足0°＜∠EPF＜180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）

23．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．你可用这一结论解答下列问题．
（1）在图（1）中潜望镜的两面镜子AB、CD是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，请说明理由；
（2）如图（2），改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．
（3）拓展应用：如图（3），若镜子AB与BC的夹角α＝110°，镜子CD与BC的夹角∠BCD＝β（90°＜β＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝30°，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求β的度数．


24．已知：DE∥PQ，点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点C的左侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD．
（1）如图1，求证：∠ABC＝∠BAC；
（2）如图2，点K为AB上一点，连接CK，若CK⊥AB，判断∠EAC与∠ACK之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在直线DE上取一点F，连接FK，使得∠AKF＝30°．若∠DAB＝∠AFK+∠KCB，求∠ACB的度数．（要求：在备用图中画出图形后，再计算）


25．【探究】（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　°；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．

【挑战】如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
26．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

27．如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．
（1）如图1，直接写出下列答案：
①∠BAD的度数； ②射线BN过点A时的x的值．
（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．
（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．
①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．
②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．

28．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 　 　度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．


参考答案
1．解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；
故（1），（2），（3），（4）正确；
∴∠1+∠3＝90°．
故（5）正确．
∴其中正确的共有5个．
故选：A．

2．解：∵DE∥AF，∠CED＝50°，
∴∠CAF＝∠CED＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，
故选：A．
3．解：∵AC∥EF，∠CAP＝α，
∴∠APE＝∠CAP＝α，
∵BD∥EF，∠DBP＝β，
∴∠BPE＝∠DBP＝β，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝α+β．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
5．解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB，
∴∠AFE＝2∠FEB，
∵∠FEH的角平分线为EG，
∴∠GEH＝∠FEG，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠DEH＝104°，
∴∠CEH＝∠FAE＝76°，
∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，
∴76°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，
∴∠GEH﹣∠FEB＝38°，
∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝38°．
故选：A．
6．解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
7．解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，
∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°，
∵直尺的两边平行，即EA∥GH，
∴∠BDF＝∠DBE＝12°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°，
故选：B．
8．解：如图所示，延长AB交DE于H，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠AHE＝x，
∵CD∥EF，AB∥EG，
∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，
∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，
∴x﹣z＝y，
故选：B．

9．解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
10．解：如图，过点B作BD∥AE，
由已知可得：AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°，
∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°．
故选：B．

11．解：过点C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故答案为：20．

12．证明：∵∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补两直线平行，∴AB∥CD．
由两直线平行，内错角相等，∴∠BAP＝∠APC，
∵∠BAE＝∠CPF，（已知）
由等式的性质得：∴∠BAP﹣∠BAE＝∠APC﹣∠CPF，
再根据等角减去等角得等角：即∠EAP＝∠APF，
∴AE∥FP．
∴∠E＝∠F．
13．解：如图：

延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝93°，
∴∠CFE＝93°，
又∵∠DCE＝116°，
∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝116°﹣93°＝23°．
故答案为：23．
14．①当AP∥CD时，∠APD+∠D＝180°．
∵∠D＝30°，
∴∠APD＝150°．
∴180°﹣5t＝150°．
t＝6．
②当AB∥PD时，∠A+∠APD＝180°．
∵∠A＝45°，
∴∠APD＝135°，
∴180°﹣5t＝135°，
t＝9．
③当AB∥CD时，∠APD＝105°＝180°﹣5t，
∴t＝15．
④当 AB∥CP 时，∠CPB＝90°，
∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，
∴t＝33．
⑤当AP∥CD时，∠C+∠APC＝180°，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，
∴t＝42＞40（舍去）．
故答案为：6，9，15，33．



15．解：∵一个角的等于另一个角的，
∴这两个角不相等，
设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为x°÷＝x°，
∵两个角的两边两两互相平行，
∴x+x＝180，
解得：x＝，
即较小角的度数是度．
故答案为：度．
16．解：如图：

∵BC∥DE，
∴∠2＝∠C＝45°．
由邻补角的性质可得：∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135．
17．解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；
若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°，故④正确；
若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．
所以其中正确的是①③④．
故答案为：①③④．
18．解：（1）如图1所示：

∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，
又∵∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB，
∴∠EFB＝∠EHB，
又∵∠AED'＝x°，
∴∠EHB＝180°﹣x°
∴∠EFB＝＝90°﹣x°
（2）如图2所示：

∵∠EFB+∠EFC'＝180°，
∴∠EFC'＝180°﹣（90°﹣°）＝90°+，
又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''，
∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB
＝90°+﹣2（90°﹣°）
＝，
故答案为．
19．解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴＝．
．
以此类推：，，...，．
故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．

20．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠DEF+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BFM＝∠DEN＝α，
∴∠EFM＝110°﹣α，
∴∠FEN＝α﹣70°，
∵FM∥EN，
∴∠EFM＝∠FEN，
∴110°﹣α＝α﹣70°，
∴α＝90°；
（2）设FM、EN交于点G，过点G作GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，
当点G在EF右侧时，如图：

∴∠BFM＝∠FGH，∠EGH＝∠DNE，∠BFM＝∠DEN＝α，
∴∠FGH＝∠EGH＝α，
∵FM⊥EN，
∴∠FGE＝90°，
∴2α＝90°，
∴α＝45°，
当点G在EF左侧时，如图：

∴∠BFM+∠FGH＝180°，∠EGH+∠DEN＝180°，
∵∠BFM＝∠DEN＝α，
∴∠FGH＝180°﹣α，∠EGH＝180°﹣α，
∵FM⊥EN，
∴∠FGE＝90°，
∴2（180°﹣α）＝90°，
∴α＝135°．
21．解：（1）成立，
理由：如图1中，作MN∥AB，则有MN∥CD，

∴∠1＝∠BAM，∠2＝∠DCM，
∴∠AMC＝∠1+∠2＝∠BAM+∠DCM．
（2）如图2，过点M作MH∥AB，

∵AB∥CD，∠NAD＝64°，
∴∠NAD＝∠ADC＝64°，
∵DM平分∠ADC，∠ADC＝64°，
∴∠MDC＝∠ADC＝32°，
∵BM平分∠ABC，∠ABC＝44°，
∴∠ABM＝∠ABC＝22°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MH，
∴∠ABM＝∠BMH＝22°，∠CDM＝∠DMH＝32°，
∴∠BMD＝∠BMH+∠DMH＝54°．
（3）如图3，过点M作MG∥AB，

∵BM平分∠ABC，DM平分∠ADC，∠ABC＝β°，∠ADC＝∠BAD＝α°，
∴∠ABM＝∠ABC＝β°，∠CDM＝∠ADC＝α°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MG，
∴∠BMG＝180°﹣∠ABM＝180°﹣β°，∠CDM＝∠DMG＝α°，
∴∠BMD＝∠BMG+∠DMG＝180°﹣β°+α°．
22．解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，

∵PG∥AB，
∴∠EPG＝∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG＝∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；
（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；

过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG+∠AEP＝180°，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG+∠PFC＝180°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，

∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝PEB，∠QFD＝PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝300°＝150°；
如图4，当P点在EF的右侧时，

∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝60°，
∴∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝60°＝30°；
故答案为：150°或30；
②由①可知：∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝（360°﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°；
∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EQF．
综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF＝360°或∠EPF＝2∠EQF．
23．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即：∠EFG＝∠FGH，
∴EF∥GH．
（2）如题图（2），∵EF∥GH，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2（∠2+∠3）＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°，
即α的度数为90°．
（3）①当n＝3时，如图所示：

∵∠BEG＝∠1＝30°，α＝110°，
∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣110°﹣30°＝40°，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝120°，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝100°，
由EF∥HK，
过点G作GM∥EF，

∴GM∥HG，
∴∠FEG+∠EGM＝∠MGH+∠KHG＝180°，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
∴∠GHK＝360°﹣120°﹣100°＝140°，
则∠GHC＝20°，
∴β+∠CGH+∠GHC＝180°，
∴β＝180°﹣40°﹣20°＝120°．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：

β+∠GCB＝∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，
∴β＝∠G+∠GBC，
由EF∥HK，且由（2）的结论可得：∠G＝90°，
又∵∠GBC＝180°﹣α＝180°﹣110°＝70°，
∴β＝90°+70°＝160°．
综上所述：β的度数为：120°或160°．
24．解：（1）证明：∵AB平分∠CAD．
∴∠CAB＝∠DAB．
∵DE∥PQ．
∴∠DAB＝∠ABC．
∴∠ABC＝∠CAB．
（2）∠EAC＝2∠ACK，理由如下：
∵DE∥PQ．
∴∠EAC＝∠ACB．
由（1）知∠ABC＝∠CAB．
∴CA＝CB．
∵CK⊥AB．
∴∠ACB＝2∠ACK．
∴∠EAC＝2∠ACK．
（3）如图：

如备用图1，设∠ACK＝∠BCK＝x，则∠ACB＝2x，在△ABC中，根据内角和定理得：
∠ABC＝∠BAC＝90°﹣x．
∵DE∥PQ．
∴∠DAB＝∠ABC＝90°﹣x．
在△AFK中，∠AKF+∠AFK+∠DAB＝180°．
∴∠AFK＝150°﹣（90°﹣x）＝60°+x．
∵∠DAB＝∠AFK+∠KCB．
∴90°﹣x＝60°+x+x．
∴x＝10°．
∴∠ACB＝2x＝20°．
如备用图2，设∠ACK＝∠BCK＝x，
∵DE∥PQ．
∠FAC＝∠ACB＝2x，∠DAB＝∠ABC＝90°﹣x．
∵∠AKF＝30°，∠AKC＝90°．
∴∠FKC＝60°．
∵∠CAF+∠AFK＝∠ACK+∠FKC
∴2x+∠AFK＝60°+x．
∴∠AFK＝60°﹣x．
∵∠DAB＝∠AFK+∠KCB．
∴90°﹣x＝60°﹣x+x．
x＝30°．
∴∠ACB＝60°
∠ACB＝20°或60°．
25．解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝
．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝＝90°﹣．

26．解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，

则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；
同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，
而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°，
故α+β＝150°＝∠EQF，
故答案为150°；
②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠Q＝α+β，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°；
③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），
∠Q2018＝（）2018（α+β），
故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°．
27．解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，
∴∠ABF+∠BAD＝180°．
∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．
②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，
∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．
此时，射线AM在∠BAD的内部．
由题意知：0≤x≤36．
∵∠ABE+∠ABF＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．
当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．
∴射线BN旋转的角度为120．
∴（5x）°＝120°．
∴x＝24（符合题意）．
（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．
∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．
∴120°﹣5°•x＝1°•x．
∴x＝20（符合题意）．
（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．
由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．
∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．
又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，
∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．
∴x＝29（符合题意）．
②如图4，
∵x＜24，
∴射线BN始终在∠EBA内部．
此时，P在EF的下方．
当x＝0时，P不存在．
由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°．
∴∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．
∵∠CBA＝∠BAP+∠BPA，
∴∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．

28．解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：

故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如上图，当0°＜α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
同理可得：γ﹣β＝45°；
（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3或9或21或27或30．