苏科版7.2 探索平行线的性质课后练习题
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这是一份苏科版7.2 探索平行线的性质课后练习题,共33页。试卷主要包含了问题情境,阅读下面材料,问题,问题情景,方法感悟等内容,欢迎下载使用。
7-2探索平行线的性质
解答题优生辅导训练
1.已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP.
(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC.
(2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系?并说明理由.
2.问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 度;
(2)问题迁移:如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
3.(1)请在横线上填写合适的内容,完成下面的证明:
如图1,AB∥CD,求证:∠B+∠D=∠BED.
证明:过点E引一条直线EF∥AB
∴∠B=∠BEF,( )
∵AB∥CD,EF∥AB
∴EF∥CD( )
∴∠D= ( )
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED.
(2)如图2,AB∥CD,请写出∠B+∠BED+∠D=360°的推理过程.
(3)如图3,AB∥CD,请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D= .
4.如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ;
(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.
5.阅读下面材料:
小颖遇到这样一个问题:已知:如图甲,AB∥CD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,∠B=35°,∠D=37°,求∠BED的度数.
她是这样做的:
过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B.
因为AB∥CD,
所以EF∥CD.①
所以∠FED=∠D.
所以∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
即∠BED= .
Ⅰ.小颖求得∠BED的度数为 ;
Ⅱ.上述思路中的①的理由是 ;
Ⅲ.请你参考她的思考问题的方法,解决问题:如图乙.
已知:直线a∥b,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,连接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.
(1)如图1,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=α,∠ADC=β,则∠BED的度数为 (用含有α,β的式子表示).
(2)如图2,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,直接写出∠BED的度数(用含有α,β的式子表示).
6.已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.
(1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数.
(2)如图2中,∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论.
(3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,设∠E=m°,直接用含有n,m°的代数式表示写出∠M= .
7.问题:已知线段AB∥CD,在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上),连接PA、PC,试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系.
(1)端点A、C同向:
如图1,点P在直线AC右侧时,∠APC﹣(∠A+∠C)= 度;
如图2,点P在直线AC左侧时,∠APC+(∠A+∠C)= 度.
(2)端点A、C反向:
如图3,点P在直线AC右侧时,∠APC+(∠A﹣∠C)= 度
如图4,点P在直线AC左侧时,∠APC与(∠A﹣∠C)有怎样的等量关系?写出结论并说明理由.
8.如图(1),AB∥CD,试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系,说明理由.
(1)填空:
解:过点P作EF∥AB,
∴∠B+∠BPE=180°
∵AB∥CD,EF∥AB
∴ (如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)
∠EPD+ =180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
(2)依照上面的解题方法,观察图(2),已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系,并说明理由.
(3)观察图(3)和(4),已知AB∥CD,直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系,不用说明理由.
9.问题情景:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
(1)天天同学看过图形后立即回答出:∠APC=110°,请你补全他的推理依据.
如图2,过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD.( )
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.( )
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.( )
问题迁移:
(2)如图3,AD∥BC,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系.
10.(1)方法感悟
如图①所示,AB∥EF,求证:∠BCF=∠B+∠F
证明:过点C作CD∥EF
∵AB∥EF(已知)
∴CD∥AB(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
∴∠B=∠1,∠F=∠2(两直线平行,内错角相等)
∴∠1+∠2=∠B+∠F
即∠BCF=∠B+∠F
(2)类比应用
如图②所示,AB∥EF,求证:∠B+∠BCF+∠F=360°
证明: .
(3)拓展探究
如图③所示,AB∥EF,∠BCF与∠B、∠F的关系是 (直接写出结论即可);
如图④所示,AB∥EF,∠BCF与∠B、∠F的关系是 (直接写出结论即可).
11.如图,已知直线AB∥CD,直线L和直线AB,CD分别交于点E,F,直线L上有一动点P.
(1)如图1,点P在E,F之间运动时,∠PMB,∠MPN,∠PND之间有什么关系,并说明理由;
(2)若点P在E,F两点外侧运动时,如图2和图3(P点与E,F不重合),试直接写出∠PMB,∠MPN,∠PND之间有什么关系,不必写理由.
12.(1)如图1,已知AB∥CD,求证:∠BED=∠1+∠2.
(2)如图2,已知AB∥CD,写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系,并加以证明.
(3)如图3,已知AB∥CD,直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系.
13. 请在横线上填写合适的内容,完成下面的证明:
14.
(1)如图①如果AB∥CD,求证:∠APC=∠A+∠C.
证明:过P作PM∥AB,
所以∠A=∠APM,( )
因为PM∥AB,AB∥CD(已知)
所以PM∥CD( )
所以∠C= ( )
因为∠APC=∠APM+∠CPM
所以∠APC=∠A+∠C( )
(2)如图②,AB∥CD,根据上面的推理方法,直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C= .
(3)如图③,AB∥CD,若∠ABP=x,∠BPQ=y,∠PQC=z,∠QCD=m,则m= (用x、y、z表示)
14.如图1,直线GH分别交AB,CD于点E,F(点F在点E的右侧),若∠1+∠2=180°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2所示,点M、N在AB,CD之间,且位于E,F的异侧,连MN,若2∠M=3∠N,则∠AEM,∠NFD,∠N三个角之间存在何种数量关系,并说明理由.
(3)如图3所示,点M在线段EF上,点N在直线CD的下方,点P是直线AB上一点(在E的左侧),连接MP,PN,NF,若∠MPN=2∠MPB,∠NFH=2∠HFD,则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量.
15.问题情境
(1)如图1,已知AB∥CD,∠PBA=125°,∠PCD=155°,求∠BPC的度数.
佩佩同学的思路:过点P作PG∥AB,进而PG∥CD,由平行线的性质来求∠BPC,求得∠BPC= °;
问题迁移
(2)图2,图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形,三角板的两直角边与直尺的两边重合,∠ACB=90°,DF∥CG,AB与FD相交于点E,有一动点P在边BC上运动,连接PE,PA,记∠PED=∠α,∠PAC=∠β.
①如图2,当点P在C,D两点之间运动时,请直接写出∠APE与∠α,∠β之间的数量关系;
②如图3,当点P在B,D两点之间运动时,∠APE与∠α,∠β之间有何数量关系?请判断并说明理由.
16.已知AB∥CD,点E在AB与CD之间.
(1)图1中,试说明:∠BED=∠ABE+∠CDE;
(2)图2中,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,请利用(1)的结论说明:∠BED=2∠BFD.
(3)图3中,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系.
17.阅读下面内容,并解答问题
在学习了平行线的性质后,老师请同学们证明命题:两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直.
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件.
已知:如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,C于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
(1)直线EG,FG有何关系?请补充结论:求证:“ ”,并写出证明过程;
(2)请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择 题,并写出解答过程.
A.在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,求∠EMF的度数.
B.如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系,并证明它.
18.(1)阅读下面材料:
杉杉遇到这样一个问题:
已知:如图甲,AB∥CD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,得到∠BED.求证:∠BED=∠B+∠D.
杉杉是这样做的,并请你在括号内填写推理的依据:
过点E作EF∥AB,则有∠BEF=∠B.( )
∵AB∥CD,∴EF∥CD.( )
∴∠FED=∠D.
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
即∠BED=∠B+∠D.
(2)请你参考杉杉思考问题的方法,解决问题:如图乙.
已知:直线a∥b,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,连接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.
①如图1,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=60°,∠ADC=70°,求∠BED的度数;
②如图2,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,请直接写出∠BED的度数(用含有α,β的式子表示).
19.在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.
(1)如图(1),若三角尺的60°角的顶点G放在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度数;
(2)如图(2),小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上,请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系;
(3)如图(3),小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上,30°角的顶点E落在AB上.若∠AEG=α,∠CFG=β,则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么?用含α,β的式子表示(不写理由).
20.某学习小组发现一个结论:已知直线a∥b,若直线c∥a,则c∥b.他们发现这个结论运用很广,请你利用这个结论解决以下问题:
已知直线AB∥CD,点E在AB、CD之间,点P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ.
(1)如图1,运用上述结论,探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,当∠PEQ=140°时,求出∠PFQ的度数;
(3)如图3,若点E在CD的下方,PF平分∠BPE,QH平分∠EQD,QH的反向延长线交PF于点F.当∠PEQ=70°时,请求出∠PFQ的度数.
参考答案
1.解:(1)如图1,过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°;
(2)∠AKC=∠APC.
理由:如图2,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,
∴KE∥AB∥CD,
∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,
过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,
∴∠AKC=∠APC;
(3)∠AKC=∠APC.
理由:如图3,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,
∴KE∥AB∥CD,
∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,
∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,
过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=(∠BAP﹣∠DCP)=∠APC,
∴∠AKC=∠APC.
2.(1)解:过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=α+β,
理由:如图2,过P作PE∥AB交AC于E,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴α=∠APE,β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β;
(3)如图所示,当P在BD延长线上时,
∠CPA=α﹣β;
如图所示,当P在DB延长线上时,
∠CPA=β﹣α.
3.解:(1)过点E引一条直线EF∥AB,
∵EF∥AB,
∴∠B=∠BEF(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠D=∠FED(两直线平行,内错角相等).
故答案为:两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠FED;两直线平行,内错角相等.
(2)如图2,过点E引一条直线EF∥AB,
∵EF∥AB,
∴∠B+∠BEF=180°.
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD,
∴∠FED+∠D=180°,
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°,即∠B+∠BED+∠D=360°
(3)如图3,分别过点EF作EG∥AB,HF∥CD,
∵EG∥AB,
∴∠B+∠BEG=180°.
∵HF∥CD,
∴∠D+∠HFD=180°.
∵AB∥CD,EG∥AB,HF∥CD,
∴EG∥HF,
∴∠GEF+∠HFE=180°,
∴∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=540°.故答案为:540°.
4.解:(1)作PG∥AB,如图①所示:
则PG∥CD,
∴∠PFD=∠1,∠2=∠AEM,
∵∠1+∠2=∠P=90°,
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°,
故答案为:∠PFD+∠AEM=90°;
(2)证明:如图②所示:
∵AB∥CD,
∴∠PFD+∠BHF=180°,
∵∠P=90°,
∴∠BHF+∠2=90°,
∵∠2=∠AEM,
∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM,
∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°,
∴∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)如图③所示:
∵∠P=90°,
∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°,
∵AB∥CD,
∴∠PFC=∠PHE=75°,
∵∠PFC=∠N+∠DON,
∴∠N=75°﹣30°=45°.
5.解:过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠D,
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D,
∴∠BED=∠B+∠D=72°,
故答案为:∠B+∠D;72°;平行于同一直线的两条直线互相平行.
(1)如图1,过点E作EF∥AB,
有∠BEF=∠EBA.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC.
即∠BED=∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=∠ABC=α,∠EDC=∠ADC=β,
∴∠BED=(α+β).
故答案为:(α+β).
(2)如图2,过点E作EF∥AB,
有∠BEF+∠EBA=180°.
∴∠BEF=180°﹣∠EBA,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC.
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=∠ABC=α,∠EDC=∠ADC=β,
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣α+β.
∴∠BED的度数为180°﹣α+β.
6.解:(1)作EG∥AB,FH∥AB,
∵AB∥CD,
∴EG∥AB∥FH∥CD,
∴∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,
∴∠ABE+∠CDE=280°,
∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于E,
∴∠ABF+∠CDF=140°,
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°;
(2)∵∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,
∴∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F,
∴∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,
∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°,
∵∠M=∠ABM+∠CDM,
∴6∠M+∠E=360°.
(3)由(2)结论可得,
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°,∠M=∠ABM+∠CDM,
解得:.
故答案为:
7.解:(1)如图1,过点P作PE∥AB,
∴∠A=∠APE,
∵AB∥CD,
∴EP∥CD,
∴∠C=∠CPE,
∵∠APC=∠APE+∠CPE,
∴∠APC=∠A+∠C,
∴∠APC﹣(∠A+∠C)=0°;
如图2,过点P作PF∥AB,
∴∠A+∠APF=180°,
∵AB∥CD,
∴FP∥CD,
∴∠C+∠CPF=180°,
∴∠A+∠APF+∠C+∠CPF=360°,
∵∠APC=∠APF+∠CPF,
∴∠APC+∠A+∠C=360°,
即∠APC+(∠A+∠C)=360°,
故答案为:0,360;
(2)∠APC﹣(∠A﹣∠C)=180°,
如图3,过点P作PG∥AB,
∴∠A+∠APG=180°,
∵AB∥CD,
∴GP∥CD,
∴∠C=∠CPG,
∵∠APG=∠APC﹣∠CPG,
∴∠APC﹣∠C+∠A=180°,
即∠APC+(∠A﹣∠C)=180°,
如图4,∠APC﹣(∠A﹣∠C)=180°,理由如下:
过点P作PH∥AB,
∴∠A=∠APH,
∵AB∥CD,
∴HP∥CD,
∴∠C+∠CPH=180°,
∵∠CPH=∠APC﹣∠APH,
∴∠APC﹣∠A+∠C=180°,
即∠APC﹣(∠A﹣∠C)=180°.
故答案为:180;
8.解:(1)过点P作EF∥AB,
∴∠B+∠BPE=180°,
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴CD∥EF(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD+∠D=180°,
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°,
∴∠B+∠BPD+∠D=360°,
故答案为:CD∥EF,∠D;
(2)猜想∠BPD=∠B+∠D,
理由:过点P作EP∥AB,
∵EP∥AB,
∴∠B=∠BPE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EP∥AB,
∴CD∥EP(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD=∠D,
∴∠BPD=∠B+∠D;
(3)图③结论:∠D=∠BPD+∠B,
理由是:过点P作EP∥AB,
∵EP∥AB,
∴∠B=∠BPE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EP∥AB,
∴CD∥EP(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD=∠D,
∴∠D=∠BPD+∠B;
图④结论∠B=∠BPD+∠D,
理由是:∵EP∥AB,
∴∠B=∠BPE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EP∥AB,
∴CD∥EP(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD=∠D,
∴∠B=∠BPD+∠D.
9.解:(1)过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD.(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.(两直线平行同旁内角互补)
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(等量代换)
故答案为:平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行同旁内角互补;等量代换.
(2)∠CPD=∠α+∠β,
理由是:如图3,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
(3)当P在BA延长线时,
过P作PE∥AD交CD于E,
同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠β﹣∠α;
当P在AB延长线时,
同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠α﹣∠β.
10.解:(2)如图②中,作CD∥AB,
∵AB∥CD,AB∥EF,
∴CD∥EF,
∴∠B+∠1=180°,∠F+∠2=180°,
∴∠B+∠1+∠2+∠F=360°,
∴∠B+∠BCF+∠F=360°.
故答案为:如图②中,作CD∥AB,
∵AB∥CD,AB∥EF,
∴CD∥EF,
∴∠B+∠1=180°,∠F+∠2=180°,
∴∠B+∠1+∠2+∠F=360°,
∴∠B+∠BCF+∠F=360°.
(3)如图③中,结论:∠EFC=∠B+∠C.
理由:延长EF交BC于K,
∵AB∥EF,
∴∠B=∠EKC,
∵∠EFC=∠EKC+∠C,
∴∠EFC=∠B+∠C,
故答案为:∠EFC=∠B+∠C.
如图④中,结论:∠B=∠C+∠F.
理由:设BC交EF于K.
∵AB∥EF,
∴∠B=∠BKF,
∵∠BKF=∠C+∠F,
∴∠B=∠C+∠F.
故答案为:∠B=∠C+∠F.
11.解:(1)∠PMB+∠MPN+∠PND=360°.
理由如下:
作PG∥AB,如图1,
∵AB∥CD,
∴CD∥PG,
∴∠AMB+∠MPG=180°,∠PND+∠NPG=180°,
∴∠AMB+∠MPG+∠PND+∠NPG=360°,
即∠PMB+∠MPN+∠PND=360°;
(2)作PG∥AB,
∵AB∥CD,
∴CD∥PG,
∴∠AMB+∠MPG=180°,∠PND+∠NPG=180°,
即∠MPG=180°﹣∠AMB,∠NPG=180°﹣∠PND,
在图2中,∠NPG﹣∠MPG=∠PMB﹣∠PND,
即∠MPN=∠PMB﹣∠PND;
在图3中,∠MPG﹣∠NPG=∠PND﹣∠PMB,
即∠MPN=∠PND﹣∠PMB,
综上所述,∠MPN=∠PMB﹣∠PND或∠MPN=∠PND﹣∠PMB,
12.解:(1)证明:如图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠3=∠1,∠4=∠2,
∴∠3+∠4=∠1+∠2,
即∠BED=∠1+∠2;
(2)∠1+∠EGH=∠2+∠BEG,
理由如下:如图,分别过点E、G作EF∥AB,GH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥GH∥CD,
∴∠1=∠3,∠4=∠5,∠6=∠2,
∴∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+∠2,
即∠1+∠EGH=∠2+∠BEG;
(3)由题可得,向左的角度数之和与向右的角度数之和相等,
∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为:
∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6.
13.解:(1)根据平行线的性质和判定填空
故答案为:两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠CPM;两直线平行,内错角相等;等量代换.
(2)如图过点P作PE∥AB,过点Q作QF∥AB
∵AB∥DC,PE∥AB,QF∥AB
∴AB∥PE∥QF∥CD
∴∠A+∠APE=180°,
∠EPQ+∠PQF=180°
∠FQC+∠QCD=180°
∴∠A+∠APQ+∠PQC+∠C=540°
故答案为540°
(3)如图:过点P作PE∥AB,过点Q作QF∥AB
∵AB∥DC,PE∥AB,QF∥AB
∴AB∥PE∥QF∥CD
∴∠B=∠BPE,∠BPE=∠PQF,∠FQC=∠C
∴∠B+∠PQC=∠C+∠BPQ
即x+z=m+y
m=x﹣y+z
故答案为x﹣y+z
14.解:(1)∵∠1=∠BEF,∠2=∠DFE,∠1+∠2=180°,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)设∠FNM=2α,∠EMN=3α,∠AEM=x,∠NFD=y,
过M作MP∥AB,过N作NQ∥AB,
∵AB∥CD,MP∥AB,NQ∥AB,
∴MP∥NQ∥AB∥CD,
∴∠EMP=x,∠FNQ=y,
∴∠PMN=3α﹣x,∠QNM=2α﹣y,
∴3α﹣x=2α﹣y,
∴α=x﹣y,
∴N=∠AEM﹣∠NFD;
(3)∵∠MPN=2∠MPB,∠NFH=2∠HFD,
∴设∠MPB=α,∠MPN=2α,∠HFD=β,∠NFH=2β,
∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CFE=∠DFH=β,
∴∠PME=β﹣α,
∴∠PMH=180°+α﹣β,
∵∠N+∠NPM+∠PMH+∠MPN=360°,
∴∠N+180°﹣3α+α+2β+∠PMH=360°,
∴∠N+∠PMH+2(β﹣α)=180°,
∴∠N+∠PMH+2(∠PMH﹣180°)=180°,
∴N+∠PMH=180°.
15.解:(1)过点P作PG∥AB,则PG∥CD,
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°,∠C+∠CPG=180°,
又∵∠PBA=125°,∠PCD=155°,
∴∠BPC=360°﹣125°﹣155°=80°,
故答案为:80;
(2)①如图2,
∠APE与∠α,∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β;
②如图3,∠APE与∠α,∠β之间的数量关系为∠APE=∠β﹣∠α;理由:
过P作PQ∥DF,
∵DF∥CG,
∴PQ∥CG,
∴∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,
∴∠APE=∠APQ﹣∠EPQ=∠β﹣∠α.
16.解:(1)如图1中,过点E作EG∥AB,
则∠BEG=∠ABE,
因为AB∥CD,EG∥AB,
所以CD∥EG,
所以∠DEG=∠CDE,
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE,
即∠BED=∠ABE+∠CDE;
(2)图2中,因为BF平分∠ABE,
所以∠ABE=2∠ABF,
因为DF平分∠CDE,
所以∠CDE=2∠CDF,
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF),
由(1)得:因为AB∥CD,
所以∠BED=∠ABE+∠CDE,
∠BFD=∠ABF+∠CDF,
所以∠BED=2∠BFD.
(3)∠BED=360°﹣2∠BFD.
图3中,过点E作EG∥AB,
则∠BEG+∠ABE=180°,
因为AB∥CD,EG∥AB,
所以CD∥EG,
所以∠DEG+∠CDE=180°,
所以∠BEG+∠DEG=360°﹣(∠ABE+∠CDE),
即∠BED=360°﹣(∠ABE+∠CDE),
因为BF平分∠ABE,
所以∠ABE=2∠ABF,
因为DF平分∠CDE,
所以∠CDE=2∠CDF,
∠BED=360°﹣2(∠ABF+∠CDF),
由(1)得:因为AB∥CD,
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF,
所以∠BED=360°﹣2∠BFD.
17.解:(1)结论:EG⊥FG;
理由:如图1中,∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,
∴∠GEF=,,
∴∠GEF+∠GFE====90°,
在△EFG中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°,
∴∠G=180°﹣(∠GEF+∠GFE)=180°﹣90°=90°,
∴EG⊥FG.
故答案为:EG⊥GF;
(2)A.如图2中,由题意,∠BEG+∠DFG=90°,
∵EM平分∠BEG,MF平分∠DFG,
∴∠BEM+∠MFD=(∠BEG+∠DFG)=45°,
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°,
B.结论:∠EOF=2∠EPF.
理由:如图3中,由题意,∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,
∵PE平分∠BEO,PF平分∠DFO,
∴∠BEO=2∠BEP,∠DFO=2∠DFP,
∴∠EOF=2∠EPF,
故答案为:A或B.
18.解:(1)过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,
∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线平行),
∴∠FED=∠D,
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D,
即∠BED=∠B+∠D.
故答案为:两直线平行,内错角相等;平行于同一直线的两条直线平行.
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,
∴∠BEF=∠EBA,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠EDC,
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC,
即∠BED=∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠EBA=∠ABC=30°,∠EDC=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°.
②如图2,过点E作EF∥AB,
∴∠BEF+∠EBA=180°,
∴∠BEF=180°﹣∠EBA,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC,
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=α,∠ADC=β,
∴∠EBA=∠ABC=α,∠EDC=∠ADC=β,
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣α+β.
19.解:(1)∵AB∥CD,
∴∠1=∠EGD.
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°,∠2=2∠1,
∴2∠1+60°+∠1=180°,解得∠1=40°;
(2)如图,过点F作FP∥AB,
∵CD∥AB,
∴FP∥AB∥CD.
∴∠AEF=∠EFP,∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG.
∵∠EFG=90°,
∴∠AEF+∠FGC=90°;
(3)α+β=300°.理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠AEF+∠CFE=180°.
即α﹣30°+β﹣90°=180°,
整理得α+β=180°+120°=300°.
20.解:(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE,
理由如下:
如图1,过点E作EH∥AB,
∴∠APE=∠PEH,
∵EH∥AB,AB∥CD,
∴EH∥CD,
∴∠CQE=∠QEH,
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH,
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE;
(2)如图2,过点E作EM∥AB,
同理可得,∠PEQ=∠APE+∠CQE=140°,
∵∠BPE=180°﹣∠APE,∠EQD=180°﹣∠CQE,
∴∠BPE+∠EQD=360°﹣(∠APE+∠CQE)=220°,
∵PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,
∴∠BPF=∠BPE,∠DQF=∠EQD,
∴∠BPF+∠DQF=(∠BPE+∠EQD)=110°,
作NF∥AB,同理可得,∠PFQ=∠BPF+∠DQF=110°;
(3)如图3,过点E作EM∥CD,
设∠QEM=α,
∴∠DQE=180°﹣α,
∵QH平分∠DQE,
∴∠DQH=∠DQE=90°﹣α,
∴∠FQD=180°﹣∠DQH=90°+α,
∵EM∥CD,AB∥CD,
∴AB∥EM,
∴∠BPE=180°﹣∠PEM=180°﹣(70°+α)=110°﹣α,
∵PF平分∠BPE,
∴∠BPF=∠BPE=55°﹣α,
作NF∥AB,同理可得,∠PFQ=∠BPF+∠DQF=145°.
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