第六章 计数原理--复习与小结 -B提高练（解析版）

第六章 计数原理--复习与小结    -B提高练

一、选择题

1．（2021·北京大兴区高二月考）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（    ）

A．420种 B．1225种 C．441种 D．735种

【答案】A

【详解】根据题意可知，可分三步考虑：

第一步，在7项中选取2项，共有种不同的方法；

第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法；

第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种），故选：A．

2．（2021·安徽肥东高二月考）的展开式的常数项是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】的展开式通项为：，由得，所以的常数项系数为；由得，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.

3．（2021·浑源县第七中学校高二月考）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹!脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续现固脱贫成果.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的3个脱贫村与B乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】从7个村子中选2个共有(种)方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为，

∴所求概率为.故选：A

4.（2021·重庆市蜀都中学校高二月考）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】依题意，的展开式中各项系数就是对应项的二项式系数，即,

由二项展开式中二项式系数的对称性知：，

所以原等式为

求导得，

取x=1得，

所以.故选：B

5. （多选题）（2021·江苏苏州市高二期中）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（    ）

A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法

B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法

C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法

D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法

【答案】BC

【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种选法，女生的选法有种选法，则4人中男生女生各有2人选法有种选法，A错误；对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有种选法，B正确；对于C，在10人中任选4人，有种选法，甲乙都不在其中的选法有，

故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，C正确；对于D，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有种，D错误；故选：BC.

6.（多选题）（2021·海口市·海南中学高二）已知展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（）

A．展开式中的有理项是第2项和第5项 B．展开式中没有常数项

C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项     D．展开式中系数最大的项是第5项

【答案】BCD

【详解】对选项,由题意可得，求得或（舍），．

所以的展开式的通项公式为，，

所以当或时，是整数，

所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项错误；

对选项，令，所以展开式中没有常数项，所以选项正确；

对选项，因为，

故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项正确；

对选项，第项的系数为，，

计算得展开式各项的系数依次为

所以展开式第5项的系数最大．所以选项正确.故答案为：BCD.

二、填空题

7．（2021·重庆南开中学高二月考）某地为了庆祝建党周年，将在月日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.

【答案】

【详解】若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为；

若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为种.

综上所述，不同安排方案的种数是种.

8．（2021·湖南师大附中高二月考）在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．

【答案】

【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为

9．（2021·山东泰安一中高二月考）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.该校派遣甲、乙，丙、丁、戊五个小组到、、三个街道进行打扫活动，每个街道至少去个小组，则不同的派遣方案有____________________种.

【答案】

【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；

当按照进行分配时，则有种不同的方案.

故共有种不同的派遣方案.

10．（2021·湖北襄阳高二月考）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（1）4位回文数有         个；

（2）位回文数有        个．

【答案】（1）90（2）

【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文数个数相等，均为9×10n个．

三、解答题

11．（2021·苏州市第三中学校高二月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课

（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？

（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？

（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；

（2）如果体育排在最后一节，有种，

体育不排在最后一节有种，

所以共有种，

（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，

则有种

12．已知展开式的二项式系数和为512，且．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数．

【答案】(1)，（2）2，（3）5

【详解】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，

所以，解得，

因为，所以，

（2）在中，令，则，

令，可得，

所以

（3）

，

，

因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，

所以被6整除的余数为5