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高中数学（人教A版2019） 选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试（含答案）
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这是一份高中数学（人教A版2019） 选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试（含答案），共6页。
第六章 计数原理
一、单选题
1. 甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为( )
A. 65 B. 73 C. 70 D. 60
2. 面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有( )
A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 24种
3. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.某电影院推出开盲盒的模式售票，每个盲盒中等可能地放入一张印有“欢”“迎”“光”“临”四个字中的一个字的卡片，只有集齐“欢迎光临”四个字才算全票，小明购买了四个盲盒，则他刚好集齐“欢迎光临”的概率是( )
A. 316 B. 124 C. 332 D. 1256
4. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A. 68种 B. 70种 C. 240种 D. 280种
5. 若(2x+1)n的展开式中x3项的系数为160，则正整数n的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线.为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有( )
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 6种
7. 某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为( )
A. 72 B. 84 C. 90 D. 96
8. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路)，CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有( )
A. 23条 B. 24条 C. 25条 D. 26条
9. (x2-x+1)5的展开式中，x5的系数为( )
A. 51 B. 50 C. -51 D. -50
10. 若(2x-3)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5，则a0+a2+a4=( )
A. 244 B. 1 C. -120 D. -121
二、多选题
11. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则下列结论正确的是( )
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法．
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43种放法．
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C54C41种放法．
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C52A44种不同的放法．
12. (多选)下列问题属于排列问题的是( )
A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地
B. 从10个人中选2人去扫地
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取2个不同的数作幂运算
13. 若a=C3n38-n+C21+n3n，则下列结论正确的是( )
A. n=10 B. n=11 C. a=466 D. a=233
14. 若(x2+1)(x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，其中ai∈R，i=0，1，2，…7，则
A. a 0=32 B. a 3=120
C. a 0+a 1+a 2+…+a 7=486 D. a 2+a 4+a 6=244
15. 下列说法正确的是( )
A. x2+x+y5的展开式中，x5y2的系数为30
B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种
C. 已知An3=Cn4，则n=27
D. 记2+x7=a0+a11+x+a21+x2+⋅⋅⋅+a71+x7，则a1+a2+⋅⋅⋅+a6=126
三、填空题
16. 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有 种.
17. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b
19. 已知(1x+x2)n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为 ．
20. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+⋯+(1+x)n+3-x3的展开式中，x2的系数是__________.(用数字作答)
四、解答题
21. 设集合M={-3,-2,-1,0,1,2}，P(a,b)是坐标平面上的点，a，b∈M.求：
(1)P可以表示多少个平面上的不同的点？
(2)P可以表示多少个第二象限的点？
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点？
22. 从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．
(Ⅰ)共有多少种不同的选择方法？
(Ⅱ)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
23.在(1x-2x)n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．
(1)求n的值;
(2)求(1x-2x)n的展开式中的常数项．
24. (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？
(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几种？
(3)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
(注：最后结果需用数字作答)
25. 已知2x+13xn展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答)．
1、A ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、D ； 9、C ； 10、D ； 11、ACD ； 12、AD ； 13、AC ； 14、ABC ； 15、ACD ； 16、50 ； 17、13 ； 18、4 ； 19、20 ； 20、2023
21、解：(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6=36(个)不同的点．
(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2=6(个)．
(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y=x上的点共有6×5=30(个)．
22、解：(Ⅰ)根据题意，从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，
是组合问题，其选择方法数为C63=20．
(Ⅱ)根据题意，从6人中选出3人，其中没有女生入选的选择方法数为C43=4，
所以至少有1位女生入选的选择方法数为20-4=16．
23、解：(1)由二项展开式通项公式可知，Tk+1=Cnk(1x)n-k⋅(-2)kxk=(-2)k⋅Cnkx3k-n2，
所以由题意知Cn2=4Cn1，解得n=9．
(2)由(1)知二项展开式的通项公式为Tk+1=(-2)k⋅C9kx3k-92，
令3k-92=0，解得k=3，
故展开式中的常数项为T4=(-2)3C93=-8×84=-672．
24、解：(1)当甲在最左端时，有A55=120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A11A41A44=4×24=96(种)排法，
共计120+96=216(种)排法．
(2)分3步进行：
①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有A22=2种情况，
②、将AB与剩余的2件产品全排列，有A33=6种情况，
③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，
由分步计数原理所求结果共有2×6×3=36种．
(3)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，
故共有C42A43=144种不同的放法．
25、解：(1)2x+13xn展开式的通项为Tr+1=Cnr·2n-rxn-4r3，
展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等，则Cn2·2n-2=Cn3·2n-3,n(n-1)=n(n-1)(n-2)6，
解得n=8．
(2)由(1)知：Tk+1=C8k28-kx8-4k3k=0,1,2,3,⋯,8．
当k=0，3，6时，对应的是有理项．
当k=0时，展开式中对应的有理项为T1=C8028x8=256x8；
当k=3时，展开式中对应的有理项为T4=C8325x4=1792x4；
当k=6时，展开式中对应的有理项为T7=C8622x0=112；
故展开式中有理项的系数之和为256+1792+112=2160．
第六章 计数原理
一、单选题
1. 甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为( )
A. 65 B. 73 C. 70 D. 60
2. 面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有( )
A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 24种
3. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.某电影院推出开盲盒的模式售票，每个盲盒中等可能地放入一张印有“欢”“迎”“光”“临”四个字中的一个字的卡片，只有集齐“欢迎光临”四个字才算全票，小明购买了四个盲盒，则他刚好集齐“欢迎光临”的概率是( )
A. 316 B. 124 C. 332 D. 1256
4. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A. 68种 B. 70种 C. 240种 D. 280种
5. 若(2x+1)n的展开式中x3项的系数为160，则正整数n的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线.为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有( )
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 6种
7. 某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为( )
A. 72 B. 84 C. 90 D. 96
8. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路)，CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有( )
A. 23条 B. 24条 C. 25条 D. 26条
9. (x2-x+1)5的展开式中，x5的系数为( )
A. 51 B. 50 C. -51 D. -50
10. 若(2x-3)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5，则a0+a2+a4=( )
A. 244 B. 1 C. -120 D. -121
二、多选题
11. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则下列结论正确的是( )
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法．
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43种放法．
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C54C41种放法．
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C52A44种不同的放法．
12. (多选)下列问题属于排列问题的是( )
A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地
B. 从10个人中选2人去扫地
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取2个不同的数作幂运算
13. 若a=C3n38-n+C21+n3n，则下列结论正确的是( )
A. n=10 B. n=11 C. a=466 D. a=233
14. 若(x2+1)(x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，其中ai∈R，i=0，1，2，…7，则
A. a 0=32 B. a 3=120
C. a 0+a 1+a 2+…+a 7=486 D. a 2+a 4+a 6=244
15. 下列说法正确的是( )
A. x2+x+y5的展开式中，x5y2的系数为30
B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种
C. 已知An3=Cn4，则n=27
D. 记2+x7=a0+a11+x+a21+x2+⋅⋅⋅+a71+x7，则a1+a2+⋅⋅⋅+a6=126
三、填空题
16. 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有 种.
17. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b
19. 已知(1x+x2)n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为 ．
20. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+⋯+(1+x)n+3-x3的展开式中，x2的系数是__________.(用数字作答)
四、解答题
21. 设集合M={-3,-2,-1,0,1,2}，P(a,b)是坐标平面上的点，a，b∈M.求：
(1)P可以表示多少个平面上的不同的点？
(2)P可以表示多少个第二象限的点？
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点？
22. 从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．
(Ⅰ)共有多少种不同的选择方法？
(Ⅱ)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
23.在(1x-2x)n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．
(1)求n的值;
(2)求(1x-2x)n的展开式中的常数项．
24. (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？
(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几种？
(3)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
(注：最后结果需用数字作答)
25. 已知2x+13xn展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答)．
1、A ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、D ； 9、C ； 10、D ； 11、ACD ； 12、AD ； 13、AC ； 14、ABC ； 15、ACD ； 16、50 ； 17、13 ； 18、4 ； 19、20 ； 20、2023
21、解：(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6=36(个)不同的点．
(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2=6(个)．
(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y=x上的点共有6×5=30(个)．
22、解：(Ⅰ)根据题意，从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，
是组合问题，其选择方法数为C63=20．
(Ⅱ)根据题意，从6人中选出3人，其中没有女生入选的选择方法数为C43=4，
所以至少有1位女生入选的选择方法数为20-4=16．
23、解：(1)由二项展开式通项公式可知，Tk+1=Cnk(1x)n-k⋅(-2)kxk=(-2)k⋅Cnkx3k-n2，
所以由题意知Cn2=4Cn1，解得n=9．
(2)由(1)知二项展开式的通项公式为Tk+1=(-2)k⋅C9kx3k-92，
令3k-92=0，解得k=3，
故展开式中的常数项为T4=(-2)3C93=-8×84=-672．
24、解：(1)当甲在最左端时，有A55=120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A11A41A44=4×24=96(种)排法，
共计120+96=216(种)排法．
(2)分3步进行：
①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有A22=2种情况，
②、将AB与剩余的2件产品全排列，有A33=6种情况，
③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，
由分步计数原理所求结果共有2×6×3=36种．
(3)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，
故共有C42A43=144种不同的放法．
25、解：(1)2x+13xn展开式的通项为Tr+1=Cnr·2n-rxn-4r3，
展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等，则Cn2·2n-2=Cn3·2n-3,n(n-1)=n(n-1)(n-2)6，
解得n=8．
(2)由(1)知：Tk+1=C8k28-kx8-4k3k=0,1,2,3,⋯,8．
当k=0，3，6时，对应的是有理项．
当k=0时，展开式中对应的有理项为T1=C8028x8=256x8；
当k=3时，展开式中对应的有理项为T4=C8325x4=1792x4；
当k=6时，展开式中对应的有理项为T7=C8622x0=112；
故展开式中有理项的系数之和为256+1792+112=2160．
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