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    高中数学(人教A版2019) 选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试(含答案)

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    这是一份高中数学(人教A版2019) 选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试(含答案),共6页。

    第六章 计数原理
    一、单选题
    1. 甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩,每人只能去一个地方,汉口江滩一定要有人去,则不同游览方案的种数为(    )
    A. 65 B. 73 C. 70 D. 60
    2. 面对突如其来的新冠疫情,全国人民众志成城,齐心抗疫,甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动,现该社区计划连续三天行核酸检测,需要多名志愿者协助工作,因工作关系,甲、乙不能在同一天参加志愿活动,那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有(    )
    A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 24种
    3. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机属性,只有打开才会知道自己抽到了什么.某电影院推出开盲盒的模式售票,每个盲盒中等可能地放入一张印有“欢”“迎”“光”“临”四个字中的一个字的卡片,只有集齐“欢迎光临”四个字才算全票,小明购买了四个盲盒,则他刚好集齐“欢迎光临”的概率是(    )
    A. 316 B. 124 C. 332 D. 1256
    4. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有(    )
    A. 68种 B. 70种 C. 240种 D. 280种
    5. 若(2x+1)n的展开式中x3项的系数为160,则正整数n的值为
    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
    6. 2020年4月30日,我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线.为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播,现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测,若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段,则不同的安排方法共有(    )
    A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 6种
    7. 某地区安排A,B,C,D,E,F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动,每个地区至少安排一人,至多安排三人,且A,B两人安排在同一个社区,C,D两人不安排在同一个社区,则不同的分配方法总数为(    )
    A. 72 B. 84 C. 90 D. 96
    8. 如图,某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路),CD段马路由于正在维修,暂时不通,则从A到B的最短路径有(    )
    A. 23条 B. 24条 C. 25条 D. 26条
    9. (x2-x+1)5的展开式中,x5的系数为(    )
    A. 51 B. 50 C. -51 D. -50
    10. 若(2x-3)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则a0+a2+a4=(    )
    A. 244 B. 1 C. -120 D. -121
    二、多选题
    11. 带有编号1、2、3、4、5的五个球,则下列结论正确的是(    )
    A. 全部投入4个不同的盒子里,共有45种放法.
    B. 放进不同的4个盒子里,每盒至少一个,共有C43种放法.
    C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有C54C41种放法.
    D. 全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有C52A44种不同的放法.
    12. (多选)下列问题属于排列问题的是(    )
    A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地
    B. 从10个人中选2人去扫地
    C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
    D. 从数字5,6,7,8中任取2个不同的数作幂运算
    13. 若a=C3n38-n+C21+n3n,则下列结论正确的是(    )
    A. n=10 B. n=11 C. a=466 D. a=233
    14. 若(x2+1)(x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,其中ai∈R,i=0,1,2,…7,则
    A. a 0=32 B. a 3=120
    C. a 0+a 1+a 2+…+a 7=486 D. a 2+a 4+a 6=244
    15. 下列说法正确的是(    )
    A. x2+x+y5的展开式中,x5y2的系数为30
    B. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有36种
    C. 已知An3=Cn4,则n=27
    D. 记2+x7=a0+a11+x+a21+x2+⋅⋅⋅+a71+x7,则a1+a2+⋅⋅⋅+a6=126
    三、填空题
    16. 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A,B,C,D,E五项不同的工作,每项工作由一人完成,每人至少完成一项,且E工作只有乙能完成,则不同的安排方式有          种.
    17. 一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b 18. 若C202n+6=C20n+2(n∈N*),则n=          .
    19. 已知(1x+x2)n的展开式的各项系数和为64,则展开式中x3的系数为          .
    20. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个,则(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+⋯+(1+x)n+3-x3的展开式中,x2的系数是__________.(用数字作答)
    四、解答题
    21. 设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:
    (1)P可以表示多少个平面上的不同的点?
    (2)P可以表示多少个第二象限的点?
    (3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?

    22. 从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
    (Ⅰ)共有多少种不同的选择方法?
    (Ⅱ)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法?
    23.在(1x-2x)n的展开式中,第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
    (1)求n的值;
    (2)求(1x-2x)n的展开式中的常数项.

    24. (1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有几种?
    (2)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有几种?
    (3)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒,共有多少种放法?
    (注:最后结果需用数字作答)

    25. 已知2x+13xn展开式中,第三项的系数与第四项的系数相等.
    (1)求n的值;
    (2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答).


    1、A ; 2、C ; 3、C ; 4、A ; 5、C ; 6、B ; 7、B ; 8、D ; 9、C ; 10、D ; 11、ACD ; 12、AD ; 13、AC ; 14、ABC ; 15、ACD ; 16、50 ; 17、13 ; 18、4 ; 19、20 ; 20、2023 
    21、解:(1)分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b也有6种方法,根据分步乘法计数原理共有6×6=36(个)不同的点.
    (2)分两步,第一步确定a,有3种方法,第2步确定b,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有3×2=6(个).
    (3)分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b,有5种方法,根据分步乘法计数原理不在直线y=x上的点共有6×5=30(个).
     
    22、解:(Ⅰ)根据题意,从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动,
    是组合问题,其选择方法数为C63=20.
    (Ⅱ)根据题意,从6人中选出3人,其中没有女生入选的选择方法数为C43=4,
    所以至少有1位女生入选的选择方法数为20-4=16. 
    23、解:(1)由二项展开式通项公式可知,Tk+1=Cnk(1x)n-k⋅(-2)kxk=(-2)k⋅Cnkx3k-n2,
    所以由题意知Cn2=4Cn1,解得n=9.
    (2)由(1)知二项展开式的通项公式为Tk+1=(-2)k⋅C9kx3k-92,
    令3k-92=0,解得k=3,
    故展开式中的常数项为T4=(-2)3C93=-8×84=-672. 
    24、解:(1)当甲在最左端时,有A55=120(种)排法;当甲不在最左端时,乙必须在最左端,且甲也不在最右端,有A11A41A44=4×24=96(种)排法,
    共计120+96=216(种)排法.
    (2)分3步进行:
    ①、产品A与产品B相邻,将AB看成一个整体,考虑AB之间的顺序,有A22=2种情况,
    ②、将AB与剩余的2件产品全排列,有A33=6种情况,
    ③、产品A与产品C不相邻,C有3个空位可选,即有3种情况,
    由分步计数原理所求结果共有2×6×3=36种.
    (3)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球,
    从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列,
    故共有C42A43=144种不同的放法. 
    25、解:(1)2x+13xn展开式的通项为Tr+1=Cnr·2n-rxn-4r3,
    展开式中,第三项的系数与第四项的系数相等,则Cn2·2n-2=Cn3·2n-3,n(n-1)=n(n-1)(n-2)6,
    解得n=8.
    (2)由(1)知:Tk+1=C8k28-kx8-4k3k=0,1,2,3,⋯,8.
    当k=0,3,6时,对应的是有理项.
    当k=0时,展开式中对应的有理项为T1=C8028x8=256x8;
    当k=3时,展开式中对应的有理项为T4=C8325x4=1792x4;
    当k=6时,展开式中对应的有理项为T7=C8622x0=112;
    故展开式中有理项的系数之和为256+1792+112=2160.
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