10．1　随机事件与概率

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[A　基础达标]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则样本点共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝，选B.
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝，故选D.
3．(2019·福建省三明市质量检测)同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实根的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实根，所以Δ＝a2－8b>0，
又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点，
满足a2－8b>0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实根的概率为＝.故选B.
4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以P＝＝.故选B.
5．(2019·河北省沧州市期末考试)定义：abcde＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满足ad>e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率为P＝＝.故选D.
6．(2019·湖北省四地七校联考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于________．
解析：掷两颗均匀的骰子，共有36个样本点，点数之和为6的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)这五种，因此所求概率为.
答案：
7．(2019·广西钦州市期末考试)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为________．
解析：从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共10种，
满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)共4种，
故选出的2本书编号相连的概率为＝.
答案：
8．某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场H，则他经过市中心O的概率为________．

解析：此人从商场A前往商场H的所有最短路径有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中经过市中心O的有4条，所以所求概率为.
答案：
9．(2019·广西钦州市期末考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x，y.
(1)若记“x＋y＝5”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若记“x2＋y2≤10”为事件B，求事件B发生的概率．
解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，
抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，
因为骰子共抛掷2次，所以共有6×6＝36种结果.
(1)事件A发生的样本点有(1，4)、(2，3)、(4，1)、(3，2)共4种结果，
所以事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)事件B发生的样本点有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6种结果，所以事件B发生的概率为P(B) ＝＝.
10．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．
(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．
解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，1名女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.
(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种．其中选出的2名职工性别相同的选法有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种．
故选出的2名职工性别相同的概率P＝＝.
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种．
其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9种．
故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P＝＝.
[B　能力提升]
11．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)共10种等可能发生的结果，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
12．(2019·江西省上饶市期末统考)图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是(　　)

A. B.
C. D．1
解析：选A.由题意，可得样本点的总数为n＝4，
又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时，所组成的图形不能围成正方体；
题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，
所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率为P＝.故选A.
13．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是________．
解析：事件E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2，3，4，当b＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是.
答案：
14．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了1名女同学、2名男同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．
(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；
(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．
解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A，B，C，其中A为女同学，B，C为男同学，选出的3名高二乙班同学为D，E，F，其中D为男同学，E，F为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F)，共9种，
故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率P＝＝.
(2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，
选出的2名同学性别相同的有(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为.
[C　拓展探究]
15．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．
解：样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}共16个样本点．
(1)记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(2，3)，(3，2)，(3，3)共3个．
故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个．
所以P(B)＝＝，
事件C包含的样本点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(2，0)，(3，0)共7个，
所以P(C)＝.
所以P(B) 即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率．