第八章 章末复习提升课

章末复习提升课

　　　　　　空间几何体的表面积与体积

　如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.

【解】　由题易知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体如图所示，即圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥.

在梯形 ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

所以CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，

所以 DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，

所以 DO＝DD′＝a.

由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为 2a；

圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a.

所以圆柱的侧面积 S1＝2π·2a·a＝4πa2，

圆锥的侧面积 S2＝π·a·2a＝2πa2，

圆柱的底面积 S3＝π（2a）2＝4πa2，

圆锥的底面积 S4＝πa2，

所以组合体上底面面积 S5＝S3－S4＝3πa2，

故旋转体的表面积

S＝S1＋S2＋S3＋S5＝（4＋9）πa2.

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，且 V柱＝π·（2a）2·a＝4πa3，V锥＝·π·a2·a＝πa3，

故旋转体的体积 V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.

空间几何体表面积、体积的求法

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

（2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

（3）求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解.　

　如图所示，在多面体 FEABCD 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积 V.

解：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线 AG，BH，垂足分别为 G，H.连接 DG，CH，容易求得 EG＝HF＝.

所以 AG＝GD＝BH＝HC＝，

S△AGD＝S△BHC＝××1＝，

V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC

＝×2＋×1

＝.

　　　　　　球与其他几何体的组合问题

　已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为（　　）

A.　　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

【解析】　设△ABC外接圆的圆心为O1，

则OO1＝＝ ＝.

三棱锥SABC的高为2OO1＝.

所以三棱锥SABC的体积

V＝××＝.故选A.

【答案】　A

解决与球有关组合体问题的常用方法

（1）与球有关的组合体，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥空间想象能力，做到以下几点：

①明确切点和接点的位置；

②确定有关元素间的数量关系；

③作出合适的截面图.

（2）一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，将立体问题转化为平面问题解决.　

1.已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为　　　　Ｗ.

解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为＝3，

即球的半径为，V球＝πR3＝π.

答案：π

2.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　　　　Ｗ.

解析：设圆锥的底面半径为r，球面半径为R，

则πr2＝×4πR2，

解得r＝R，

所以对应球心距为R，

故小圆锥的高为R－R＝R，

大圆锥的高为R＋R＝R，

所以比值为.

答案：

　　　　　　空间中的共点、共线、共面问题

　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.

求证：（1）E、F、G、H四点共面；

（2）GE与HF的交点在直线AC上.

【证明】　（1）因为BG∶GC＝DH∶HC，

所以GH∥BD，又因为E、F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD，所以EF∥GH，

所以E、F、G、H四点共面.

（2）因为G、H不是BC、CD的中点，所以EF≠GH.

又EF∥GH，

所以EG与FH不平行，

则必相交，设交点为M，

⇒M∈平面ABC且M∈平面ACD

⇒M在平面ABC与平面ACD的交线上

⇒M∈AC.

所以GE与HF的交点在直线AC上.

　在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上.

证明：因为AB∥CD，

所以四边形ABCD是一个平面图形，

即AB，CD确定一个平面β，则AB⊂β，AD⊂β.

因为E∈AB，

所以E∈β，

因为H∈AD，所以H∈β.

又因为E∈α，H∈α，

所以α∩β＝EH.

因为DC⊂β，G∈DC，

所以G∈β.

又因为G∈α，

所以点G在α与β的交线EH上.

同理，点F在α与β的交线EH上.

所以E，F，G，H必在同一条直线上.

　　　　　　平行、垂直关系

　如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.

（1）求证：AE⊥平面CDE；

（2）求证：FG∥平面BCD；

（3）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由.

【解】　（1）证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.

因为DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，

所以AE⊥平面CDE.

（2）证明：取AB的中点H，

连接GH，FH，

所以GH∥BD，FH∥BC，

因为GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

所以GH∥平面BCD.

同理FH∥平面BCD，

又GH∩FH＝H，

所以平面FHG∥平面BCD，

因为GF⊂平面FHG，

所以GF∥平面BCD.

（3）取线段AE的中点R，

则平面BDR⊥平面DCB.

证明如下：

取线段DC的中点M，取线段DB的中点S，

连接MS，RS，BR，DR，EM.

则MSBC，

又REBC，

所以MSRE，

所以四边形MERS是平行四边形，

所以RS∥ME.

在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，

所以EM⊥DC.

由（1）知AE⊥平面CDE，AE∥BC，

所以BC⊥平面CDE.

因为EM⊂平面CDE，

所以EM⊥BC.

因为BC∩CD＝C，

所以EM⊥平面BCD，

因为EM∥RS，

所以RS⊥平面BCD.

因为RS⊂平面BDR，

所以平面BDR⊥平面DCB.

（1）平行、垂直关系的相互转化

（2）证明空间线面平行或垂直需注意三点

①由已知想性质，由求证想判定；

②适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一；

③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.　

　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是平行四边形，点M在线段EF上.

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论.

解：（1）证明：在梯形ABCD中，

因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，

所以四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝∠BCD＝120°，

所以∠DCA＝∠DAC＝30°，

所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，

又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面ACFE.

（2）当EM＝a时，AM∥平面BDF.

证明如下：

在梯形ABCD中，

设AC∩BD＝N，连接FN（图略），

因为AC⊥BC，∠BAC＝30°，CB＝a，

所以AB＝2a，AC＝a.

因为AB∥CD，

所以CN∶NA＝CD∶AB＝a∶2a＝1∶2.

因为EM＝a，EF＝AC＝a，

所以EM∶MF＝1∶2.

又EF∥AC，EF＝AC，

所以MF∥AN，MF＝AN，

所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF.

又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，

所以AM∥平面BDF.

　　　　　　空间角的计算

　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

【解】　（1）在四棱锥P­ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.

又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，

tan∠PAD＝＝2，

所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.

又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，

所以AD⊥平面PDC.

而AD⊂平面ABCD，

所以平面PDC⊥平面ABCD.

（3）在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB（如图）.

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，

可得∠PCD＝30°.

在Rt△PEC中，PE＝PCsin 30°＝.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，

得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.

在Rt△PCB中，

PB＝＝.

在Rt△PEB中，

sin∠PBE＝＝.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.

空间角的求法

（1）找异面直线所成的角的三种方法

①利用图中已有的平行线平移；

②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；

③补形平移.　

（2）线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.

（3）二面角：利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解.

　（2019·南阳检测）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形.

（1）求证：BD⊥PC；

（2）求二面角B­PC­D的大小.

解析：（1）证明：如图，取AB的中点O，连接PO，CO.

因为△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB.

又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD.

又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，

所以△DAB≌△OBC，

所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC，

又OC，PO⊂平面POC，OC∩PO＝O，

所以BD⊥平面POC，

又PC⊂平面POC，所以BD⊥PC.

（2）如图，取PC的中点E，连接BE，DE，

因为PB＝BC，所以BE⊥PC.

又BD⊥PC，BE∩BD＝B，

所以PC⊥平面BDE，所以PC⊥DE，

所以∠BED是二面角B­PC­D的平面角.

因为BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，

所以AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB.

所以BC⊥PB，AD⊥PA，

由平面几何知识，可求得BE＝PC＝，PD＝BD＝，所以DE＝，

所以BE2＋DE2＝BD2，所以∠BED＝90°，

即二面角B­PC­D的大小为90°.