2024高考数学第一轮复习：专题2.4 指数与指数函数（原卷版）

2.4  指数与指数函数

思维导图

知识点总结

知识点一　无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的     ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

知识点二　实数指数幂的运算性质

1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

知识点三　分数指数幂的意义

知识点四　有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

知识点四　指数函数的定义

一般地，函数    (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考　为什么底数应满足a>0且a≠1?

答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.

知识点五　两类指数模型

1．y＝kax(k>0)，当    时为指数增长型函数模型．

2．y＝kax(k>0)，当    时为指数衰减型函数模型．

知识点六　指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

典型例题分析

考向一 运用指数幂运算公式化简求值

例1　计算下列各式(式中字母都是正数)：

(1)

(2)

(3)

反思感悟　一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

考向二 分数指数幂运算的综合应用

例2　(1)已知am＝4，an＝3，求的值；

(2)已知＝3，求下列各式的值．

①a＋a－1；②a2＋a－2；③

反思感悟　条件求值问题的解法

(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

考向三 指数函数的图象及应用

例1　(1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．

(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．

反思感悟　处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．

考向四  比较大小

例4　(1)比较下列各题中两个值的大小．

①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.

(2)设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)

反思感悟　比较幂值大小的3种类型及处理方法

基础题型训练

一、单选题

1．化简的结果为（    ）

A． B．

C． D．

2．函数，则方程的解集是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A．t≤–1 B．t<–1

C．t≤–3 D．t≥–3

4．已知，，，则

A． B．

C． D．

5．已知函数，则使得成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

6．设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知函数，则下列叙述正确的是（    ）

A．当时，函数在区间上是增函数

B．当时，函数在区间上是减函数

C．若函数有最大值2，则

D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是

8．已知函数，则（   ）

A．为偶函数 B．是增函数

C．不是周期函数 D．的最小值为

三、填空题

9．若为方程的两个实数解，则___________．

10．若指数函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________．

11．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

12．化简的结果是________.

四、解答题

13．计算：

(1)；

(2) 已知，求.

14．计算：(1)；　

(2)

15．已知二次函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，

(1)求函数的解析式；

(2)设．若在时恒成立，求的取值范围．

16．已知函数的表达式为，其中、为实数.

(1)若不等式的解集是，求的值；

(2)若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值；

(3)若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论.

提升题型训练

一、单选题

1．函数是指数函数，则有

A．或 B． C． D．或

2．已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．定义在上的函数满足时，，则的值为

A．-2 B．0 C．2 D．8

4．已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之差，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）.

A． B． C． D．

5．已知函数（，且），则是（    ）

A．偶函数，值域为 B．非奇非偶函数，值域为

C．奇函数，值域为 D．奇函数，值域为

6．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ）

A．  B．  C．  D．

二、多选题

7．下列函数在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

8．若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

9．函数的定义域为_________.

10．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.

11．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．

12．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______．

四、解答题

13．计算：．

14．已知函数，，若对任意，都有，求实数的取值范围

15．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．

（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3）今后最多还能砍伐多少年？

16．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-∞，0]单调递增．

(1)判断f(x)在（0，+∞）的单调性，并加以证明；

(2)函数．若对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取值范围．