2023高考数学二轮复习专题09 指数与指数函数（解析版）

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专题09 指数与指数函数
【考点预测】
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指数函数







图象




性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数


⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数


【方法技巧与总结】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．

【题型归纳目录】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
题型二：指数函数的图像及性质
题型三：指数函数中的恒成立问题
题型四：指数函数的综合问题
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：______．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据指对数幂的计算公式求解即可
【详解】

故答案为：18
例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原不等式变为，设，然后利用函数的单调性解不等式.
【详解】
由，可得.
令，
因为均为上单调递减函数
则在上单调逆减，且，
，

故不等式的解集为.
故答案为：.
例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
令，则方程可化为，根据甲计算出常数，根据乙计算出常数，再将 代入关于x的方程解出 即可
【详解】
令，则方程可化为，甲写错了常数b，
所以和是方程的两根，所以，
乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，
则可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由是R上的奇函数求出a值，并求出时，函数的解析式，再分段讨论解不等式作答.
【详解】
因函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
则，解得，即当时，，
当时，，则，
而当时，，则当时，，即，
变形得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
（2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.
【详解】
（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.

【方法技巧与总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
题型二：指数函数的图像及性质
例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依据图像列不等式求得的取值范围，即可进行选择
【详解】
由图像可知，当时，，则时，，则，
又由图像不关于原点中心对称可知，则
则时，，即，则
故选：C
例7．（2022·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题转化为与只有一个交点，画出的图象，应用数形结合法求m的取值范围.
【详解】
由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：

∴.
故选：C.
例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数，下列关于函数的说法错误的是（       ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．不等式的解集是
D．是增函数
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；解不等式可判断C选项；利用指数型函数的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，且，
所以，函数的图象不关于原点对称，A错；
对于B选项，因为，所以，，B对；
对于C选项，由可得，则，解得，C对；
对于D选项，对任意的，，
且函数在上单调递减，故函数是增函数，D对.
故选：A.
例9．（2022·河南·三模（文））已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断出的对称性，求得的解集，从而求得的解集.
【详解】
因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
且，又，所以．
依题意可得，当或时，．
所以等价于或，
解得或．
故选：D
例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
【答案】##4.5
【解析】
【分析】
根据指数函数过定点的求法可求得，代入直线方程可得，根据，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
当时，，过定点，
又点在直线上，，即，
，，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
例11．（2022·北京·高三专题练习）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，可转化为有两个正解，进而可得参数范围.
【详解】
设，
由有两个零点，
即方程有两个正解，
所以，解得，
即，
故答案为：.
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求得参数值，再检验即可；
（2）由函数的单调性得，代入可求得．
(1)
由是奇函数得，，此时是奇函数；
(2)
由复合函数的性质得在定义域内是增函数，
所以，，，或（舍去），
，
所以．

【方法技巧与总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题
例13．（2022·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可知，由已知可得对任意的恒成立，解得对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，故对任意的，，
对任意的，不等式恒成立，
即，即对任意的恒成立，
且为正数，则，可得，所以，，可得.
故选：A.
例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.
（2）令，根据x的范围，可得t的范围，原式等价为，，只需即可，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案.
(1)
由已知可得的定义域为，
任取，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以在上是单调递增函数．
(2)
，
令，则当时，，
所以．
令，，
则只需．
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数；
（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【详解】
解：（1）当时，
即；故此时函数是奇函数；
因当时，，故
，且
于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；
由不等式，得，
令因，故
由于函数在单调递增，所以；
因此，当不等式在上恒成立时，
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1），，，，，进而讨论与的关系求解；
（2），，令，，在有解，进而求解．
【详解】
解：（1），，，，，
①时，，解得（舍
②时，，解得，
；
（2），，令，
在有解，
当且仅当，即时等号成立，此时函数的图象如图，

时，取得最大值，
综上，．
【点睛】
本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，
（1）当时，求的值域；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）[0,9]；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质得出值域；
（2）将问题转化为求在的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数的取值范围；
（3）将问题转化为在的最大值小于或等于在上的最大值9，从而得出实数的取值范围．
【详解】
（1）当时，函数，
的值域
（2）对，成立，等价于在的最小值大于或等于1．
而在上单调递减，所以，即
（3）对，，使得成立，
等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由，

【方法技巧与总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
题型四：指数函数的综合问题
例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(       )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解．
【详解】
由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：

由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
故选：B．
例19．（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则______．
【答案】4043
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得

，
所以.
故答案为：.
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得，结合的值以及递推关系，即可求得结果.
【详解】
由，得，
于是，
又当时，，故可得，
则.
故答案为：.
例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分别在、、和的情况下，根据和的解析式和符号依次求解即可.
【详解】
①当时，，在上单调递增，
，又，
恒成立；
②当时，，，
又，恒成立；
③当时，，，；
恒成立；
④当时，，，，
，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
例23．（2022·江西·二模（文））设函数，若是函数的最大值，则实数
的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围．
【详解】
解：因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
故答案为：

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
【详解】
解：定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（       ）


A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍
【答案】C
【解析】
【分析】
利用幂的运算性质去求解即可解决
【详解】
设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，
经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则
则，则
故选：C
3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来
表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，则的近似值为（精确到）（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
应用题设泰勒展开式可得 , 随着的增大，数列递减且靠后各项无限接近于，即可估计的近似值.
【详解】
计算前四项，在千分位上四舍五入
由题意知:

故选：C
4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数，且，则（       ）
A．26 B．16 C．－16 D．－26
【答案】A
【解析】
【分析】
由分段函数的性质可得当时，，当时，，求出的值，从而可求出
【详解】
由题意得
当时，，方程无解，
当时，，解得，
所以，
故选：A
5．（2022·四川成都·三模（理））若函数的零点为，则（       ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t值即可.
【详解】
由题设，由得：，
若，可得，
若，可得，
综上，，故.
故选：B
6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
参变分离得到，根据指数函数的性质求出的取值范围，即可得解；
【详解】
解：由题知，而，所以，
又，所以．
因为关于的不等式有实数解，
即有实数解，所以，即．
故选：A
7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可得，，则，将代入解析式，即可求解.
【详解】
因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
8．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；
【详解】
解：因为，
所以函数是一个偶函数，
又时，与是增函数，且函数值为正数，
故函数在上是一个增函数
由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，
此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，
函数值就小，反之也成立，
考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；
B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；
C选项是正确的，由，一定得出；
D选项由，可得出，但不能得出，不成立，
故选：C．
二、多选题
9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】
当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
10．（2022·全国·模拟预测）已知，下列选项中正确的为（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断．
【详解】
A错，例如满足，便；
B正确，，，又，所以，而，所以；
C正确，设，，，则，，
所以，即．
D错误，，，，所以，不一定成立．
故选：BC．
11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若，则下列不等式中正确的有（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据作差法，判断A;根据指数函数的单调性，判断B;举反例可说明C的正误；同样据反例，判断D.
【详解】
对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,
故选:AB.
12．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若存在三个实数，使得，则（       ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先作出函数的大致图象，结合题意令，进而得到,,关于的增减性以及的取值范围，数形结合分析选项即可得解.
【详解】
作出函数的大致图象,如图所示，
设，
数形结合得:均是关于的增函数，是关于的减函数，且.


当时，令，得或，
所以，，且，
所以，故A正确；
不妨设，则，此时，所以B错误；
因为，所以，且与均为关于的增函数，
所以，故C正确；
因为为关于的增函数，，，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·安徽淮北·一模（理））___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
利用指数幂及对数的运算性质计算即得.
【详解】
.
故答案为：10.
14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①；②在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
【答案】
【解析】
【分析】
对于符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数.
【详解】
由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：，
故答案为：.
15．（2022·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
令，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：，
设，
当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
16．（2022·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．
【答案】①③
【解析】
【分析】
对于①：利用偶函数的定义进行证明；
对于②：取特殊值：，否定结论；
对于③：直接表示出点与原点连线的斜率为，并判断.
【详解】
函数的定义域为.
对于①：因为，所以是偶函数.故①正确；
对于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函数，可得②错误；
对于③：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故③正确；
所以正确结论的序号为①③．
故答案为：①③
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y（单位：）与时间t（单位：）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为（k为常数），如图所示.

(1)求y关于t的函数关系式；
(2)已知该地下车库的面积为2560，当积水深度小于等于0.05时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？
【答案】(1)
(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库
【解析】
【分析】
（1）利用求得关于的函数关系式.
（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间.
(1)
由图可知，当时，y=2000t.
当t>1时，，
因为图象经过点，所以，得k=5000
所以.
(2)
令，
即，
解得，
因为消防部门从t=1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库.
18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：（﹣9.6）0﹣；
（2）已知3，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则即可求出；
（2）根据完全平方公式即可求出．
【详解】
解：（1）原式1﹣1，
（2）∵3，
∴a+a﹣1＝（）2﹣2＝7，
∴a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝47，
∴原式．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
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