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专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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这是一份专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题07函数的性质-单调性奇偶性周期性解析版docx、专题07函数的性质-单调性奇偶性周期性原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
【考点预测】
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【方法技巧与总结】
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3.周期性技巧
4.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【题型归纳目录】
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：函数的对称性与周期性
题型十一：类周期函数
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
题型十三：函数性质的综合
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
例19．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1.若在上恒成立在上的最大值．
2.若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).
3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例30．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数为偶函数，则的值为_________.
例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数为奇函数，则______．
例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．
例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数为R上的偶函数，则实数___________.
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设为奇函数，且时，，则___________.
例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
例40．（2022·江西·模拟预测（理））分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
题型九：已知奇函数+M
例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．
例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______
A． B． C． D．
例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：函数的对称性与周期性
例52．（2022·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B． C． D．6
例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（ ）
A．-20 B．-16 C．-15 D．0
例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（ ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型十一：类周期函数
例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧与总结】
1.类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2.倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例66．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．
【方法技巧与总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数在时满足，且在有解，则实数m的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（ ）
A．-11 B．-8 C． D．
8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点
11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
三、填空题
13．（2022·山东临沂·二模）已知函数是偶函数，则__________．
14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
15．（2022·广东佛山·三模）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）
四、解答题
17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为的奇函数与偶函数满足．
(1)求函数与的解析式；
(2)证明：；
(3)试用，，，表示与．
21．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
22．（2022·上海·二模）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
【考点预测】
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【方法技巧与总结】
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3.周期性技巧
4.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【题型归纳目录】
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：函数的对称性与周期性
题型十一：类周期函数
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
题型十三：函数性质的综合
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
例19．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1.若在上恒成立在上的最大值．
2.若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).
3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例30．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数为偶函数，则的值为_________.
例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数为奇函数，则______．
例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．
例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数为R上的偶函数，则实数___________.
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设为奇函数，且时，，则___________.
例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
例40．（2022·江西·模拟预测（理））分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
题型九：已知奇函数+M
例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．
例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______
A． B． C． D．
例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：函数的对称性与周期性
例52．（2022·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B． C． D．6
例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（ ）
A．-20 B．-16 C．-15 D．0
例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（ ）
A．－4π B．－2π C．2π D．4π
【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型十一：类周期函数
例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧与总结】
1.类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2.倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例66．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．
【方法技巧与总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数(e为自然对数的底数)，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数在时满足，且在有解，则实数m的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（ ）
A．-11 B．-8 C． D．
8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点
11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
三、填空题
13．（2022·山东临沂·二模）已知函数是偶函数，则__________．
14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
15．（2022·广东佛山·三模）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）
四、解答题
17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为的奇函数与偶函数满足．
(1)求函数与的解析式；
(2)证明：；
(3)试用，，，表示与．
21．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
22．（2022·上海·二模）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
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