2023高考数学二轮复习专题03 等式与不等式的性质 （原卷版）

专题03等式与不等式的性质

【考点预测】

1.比较大小基本方法

2.不等式的性质

（1）基本性质

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

【题型归纳目录】

题型一：不等式性质的应用

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

题型四：不等式的综合问题

【典例例题】

题型一：不等式性质的应用

例1．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

例2．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

例3．（2022·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（       ）

A． B． C． D．

（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ）

A． B． C． D．

（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（       ）

A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．

（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．

2．充分利用基本初等函数性质进行判断．

3．小题可以用特殊值法做快速判断．

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则（       ）

A． B． C． D．

例9．（2022·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．

例10．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；

（2）已知，，求证：．

例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．

例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：

(1)与；

(2)与．

【方法技巧与总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

若，则；；； 

若，则；；.

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（       ）

A． B． C． D．

例14．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例15．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（       ）

A．(1，3)           B．         C．           D．

例17．（2022·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．

例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.

例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．

例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则

____________．

例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.

例22．（2022·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．

【方法技巧与总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

题型四：不等式的综合问题

例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（       ）

①   ②     ③   ④

A．1 B．2 C．3 D．4

例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（       ）

A． B． C． D．

例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知，，且，则（       ）

A． B．

C． D．

（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ）

A． B． C． D．

例29．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．

例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：

①；②；③；④．

其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知，则（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知，，，则以下正确的是(       )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，则下列结论正确的有（       ）

①             ②             ③             ④

A．个 B．个 C．个 D．个

8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（       ）

A． B．

C． D．

12．（2022·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（       ）.

A． B．

C． D．

三、填空题

13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．

14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．

15．（2022·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：

①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

其中一定成立的不等式的序号是________．

16．（2022·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.

四、解答题

17．（2022·全国·高三专题练习）已知，，．

（1）试比较与的大小，并证明；

（2）分别求，的最小值．

18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；

（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.

19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.

20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.

21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知

(1)证明：；

(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．

22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，其图像过点，且与直线有交点.

（1）求证：；

（2）若直线与函数的图像从左到右依次交于 A，B，C，D四点，若线段能构成钝角三角形，求的取值范围.