备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题03 等式与不等式的性质

专题03等式与不等式的性质

【考点预测】

1、比较大小基本方法

2、不等式的性质

（1）基本性质

【方法技巧与总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

【题型归纳目录】

题型一：不等式性质的应用

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

题型四：不等式的综合问题

【典例例题】

题型一：不等式性质的应用

例1．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若则.

B．若则.

C．若，则

D．若，则

变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

变式2．（多选题）（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．

2、充分利用基本初等函数性质进行判断．

3、小题可以用特殊值法做快速判断．

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

例4．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；

（2）已知，，求证：．

例5．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．

例6．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________.

变式3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；

（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.

【方法技巧与总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

若，则；；； 

若，则；；.

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例8．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ）

A．(1，3)           B．        C．       D．

【方法技巧与总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

题型四：不等式的综合问题

例10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．

例11．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.

例12．（2023·全国·高三专题练习）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列不等式中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．（2023·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

14．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

15．（2023·全国·高三专题练习）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（    ）

A． B． C． D．

17．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

18．（2023·上海·高三专题练习），，则的最小值是___________.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．

20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.

21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为__________．

22．（2023·全国·高三专题练习）设、满足，则的最大值为______.