高考数学二轮复习专项分层特训命题点31利用导数研究函数的零点含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点31利用导数研究函数的零点含答案，共13页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。

1．[2022·山东菏泽模拟]已知函数f(x)＝ex－ eq \f(x＋1,x－1) .
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的零点的个数，并说明理由．
2．[2022·广东中山大学附中模拟]已知a∈R，函数f(x)＝ eq \f(2,x) ＋a ln x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0)) .
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)无零点，求a的取值范围．
3.[2022·全国乙卷]已知函数f(x)＝ax－ eq \f(1,x) －(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
4．设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R).
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)) 上有两个零点，求实数a的取值范围．
5.[2022·河北衡水中学一模]已知函数f(x)＝sin x－x cs x.
(1)证明：当x∈(0，π)时，f(x)>0；
(2)记函数g(x)＝f(x)－x，判断g(x)在区间(－2π，2π)上零点的个数．
6．[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
① eq \f(1,2) 2a；②00，f(x)单调递增，
因为f(－2)f(0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－2－\f(1,3))) ·2＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)－\f(1,3))) 0，f(x)单调递增，
因为f(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4))) ＝(e2－3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e\s\up6(\f(5,4))－9)) 0，即ln eq \f(2,a) >－1，∴ eq \f(2,a) > eq \f(1,e) ，解得00；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0时，x－ln x>0，
所以方程a＝ eq \f(\f(1,x)＋ln x,x－ln x) 在(0，＋∞)上恰有一个解．
令g(x)＝ eq \f(\f(1,x)＋ln x,x－ln x) (x>0)，
则g′(x)＝ eq \f(（x－1）[x－1－（x＋1）ln x],x2（x－ln x）2) .
令h(x)＝x－1－(x＋1)ln x(x>0)，
则h′(x)＝1－ln x－ eq \f(x＋1,x) ＝－ln x－ eq \f(1,x) .
由(1)知，h′(x)≤－1，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又h(1)＝0，所以当x∈(0，1]时，h(x)≥0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)0，∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0.
(2)g(x)＝sin x－x cs x－x，g′(x)＝x sin x－1，
∵g(π)＝sin π－πcs π－π＝0，∴x＝π是g(x)的一个零点；
①当x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 时，设h(x)＝sin x－x，则h′(x)＝cs x－1