高考数学二轮复习专项分层特训微专题17立体几何中的翻折问题含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题17立体几何中的翻折问题含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·山东潍坊模拟]学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线中，异面直线有( )
A．1对 B．3对
C．5对 D．2对
2.
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝ eq \f(3,2) ，那么( )
A．平面ABD⊥平面BCD
B．平面ABC⊥平面ABD
C．AB⊥CD
D．AC⊥BD
3．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1 ­ EF ­ B的大小为120°，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(5),10) B． eq \f(\r(10),10)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,4)
二、多项选择题
4．[2022·河北邯郸二模]如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是( )
A．A与B B．D与E
C．B与D D．C与F
5．[2022·湖北武汉模拟]平行四边形ABCD中，AB>AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A′BD，则下列直线中有可能与直线A′B垂直的是( )
A．直线BC B．直线CD
C．直线BD D．直线A′C
6．[2022·山东夏津一中模拟]如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是( )
A．PD⊥EF
B．三棱锥P ­ DEF的外接球的体积为2 eq \r(6) π
C．点P到平面DEF的距离为 eq \f(2,3)
D．二面角P ­ EF ­ D的余弦值为 eq \f(1,4)
三、填空题
7．如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2.取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A ­ BE ­ C为120°，则四棱锥A ­ BCDE的体积为________．
8．[2022·福建漳州一中模拟]如图，将由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片沿虚线折起，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为________．
四、解答题
9．[2022·山东济宁三模]如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝ eq \r(3) ，∠BAD＝30°，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达图2所示点P的位置，且PC＝ eq \r(7) .
(1)求证：PD⊥BC；
(2)若点E在线段PC上，且二面角E ­ BD ­ C的大小为45°，求三棱锥E ­ BCD的体积．
10．[2022·湖北宜昌模拟]如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．
(1)若所成二面角的大小为 eq \f(π,2) (如图2)，求证：直线CE⊥平面DBF；
(2)若所成二面角的大小为 eq \f(π,3) (如图3)，点M在线段AD上，当直线BE与平面EMC所成角为 eq \f(π,4) 时，求二面角D ­ EM ­ C的余弦值．
微专题17 立体几何中的翻折问题
1．解析：作出正方体的图形如图所示：
则AB与CD、AB与GH、EF与GH是异面直线，共3对．故选B.
答案：B
2．解析：△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝3，
点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝ eq \f(3,2) ，
由AM＝ eq \f(1,2) BC，可得M为BC的中点，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，
又CD⊥BC，AM，BC为相交直线，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选C.
答案：C
3．解析：矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，
将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1 ­ EF ­ B的大小为120°，
以E为原点，在平面A1EB中，过E作EB的垂线为x轴，EB为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，
A1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0)) ，F(0，0，1)，C(0，1，1)，E(0，0，0)，
A1F＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，1)) ， eq \(CE,\s\up6(→)) ＝(0，－1，－1)，
设异面直线A1F与CE所成角为θ，则cs θ＝＝ eq \f(\f(3,2),\r(2)·\r(2)) ＝ eq \f(3,4) .
∴异面直线A1F与CE所成角的余弦值为 eq \f(3,4) .故选D.
答案：D
4．解析：将平面展开图，还原正方体如下图所示：
所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F，故选ABD.
答案：ABD
5．解析：A选项，若BD⊥AD，如图所示，

当平面A′BD与平面CBD垂直时，两个平面的交线为BD，且BC⊥BD，
则BC⊥平面A′BD，所以BC⊥A′B，A选项正确．
B选项，当∠ABD>45°时，在翻折过程中，∠A′BA可以取从∠ABD到2∠ABD>90°的范围，
而AB∥CD，即直线A′B与直线CD所成角为∠A′BA，所以存在A′B⊥CD，B选项正确．
C选项，由于AB>AD，所以∠ABD为锐角，∠A′BD为锐角，所以C选项错误．
D选项，由于AB>AD，则A′B>BC，所以∠BA′C为锐角，所以D选项错误．故选AB.
答案：AB
6．解析：对于A选项，作出图形，
取EF中点H，连接PH，DH，由原图知△BEF和△DEF均为等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，又因为PH∩DH＝H，所以EF⊥平面PDH，
又PD⊂平面PDH，所以PD⊥EF，A正确；
由PE，PF，PD三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥P ­ DEF的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，则R＝ eq \f(\r(6),2) ，所以所求外接球的体积为 eq \f(4,3) πR3＝ eq \r(6) π，B错误；
根据题意，可知PE，PF，PD三线两两垂直，且PE＝PF＝1，PD＝2，在△PHD中，PH＝ eq \f(\r(2),2) ，DH＝ eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(3\r(2),2) ，由等积法可得 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×1×1×2＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \r(2) × eq \f(3\r(2),2) ×h，得h＝ eq \f(2,3) ，C正确；
由题意如上图，PE＝PF，DE＝DF，则PH⊥EF，DH⊥EF，所以∠PHD为二面角P ­ EF ­ D的一个平面角，因为PD⊥PF，PD⊥PE，且PF∩PE＝P，所以PD⊥平面PEF，则PD⊥PH，即∠DPH＝90°，在Rt△PHD中，cs ∠PHD＝ eq \f(PH,DH) ＝ eq \f(1,3) ，D不正确．故选AC.
答案：AC
7．解析：梯形ABCD的面积S＝ eq \f(（1＋2）×1,2) ＝ eq \f(3,2) ，S△ABE＝ eq \f(1,2) ×1×1＝ eq \f(1,2) ，所以S▱BCDE＝ eq \f(3,2) － eq \f(1,2) ＝1，如图，取BE的中点H，连接AH，CH，∴AH⊥BE，CH⊥BE，∴∠AHC为二面角A ­ BE ­ C的平面角，
∴∠AHC＝120°，过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点K，则AK⊥平面BCDE，因为BE＝ eq \r(AB2＋AE2) ＝ eq \r(2) ，所以AH＝ eq \f(\r(2),2) ，
所以AK＝AH·sin 60°＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(6),4) ，
所以VA ­ BCDE＝ eq \f(1,3) ·AK·S▱BCDE＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(6),4) ×1＝ eq \f(\r(6),12) .
答案： eq \f(\r(6),12)
8．解析：易得该六面体为两个正四面体的组合体，所以体积为V＝2× eq \f(1,3) × eq \r(6) × eq \f(1,2) ×3× eq \f(3\r(3),2) ＝ eq \f(9\r(2),2) ；
设该六面体的内切球的半径为r，则V＝ eq \f(1,3) S·r(S为该六面体的表面积)，S＝6× eq \f(\r(3),4) ×32＝ eq \f(27\r(3),2) ，所以r＝ eq \f(\r(6),3) ，则该六面体的内切球的体积为 eq \f(4π,3) r3＝ eq \f(8\r(6),27) π.
答案： eq \f(9\r(2),2) eq \f(8\r(6),27) π
9．解析：(1)证明：在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cs ∠BAD
＝4＋3－2×2× eq \r(3) × eq \f(\r(3),2) ＝1，
所以，AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC⊥BD，
在△PCD中，PC＝ eq \r(7) ，PD＝ eq \r(3) ，CD＝2，∴PD2＋CD2＝PC2，则PD⊥CD，
因为PD⊥BD，BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD，
∵BC⊂平面BCD，∴PD⊥BC.
(2)因为BC⊥BD，PD⊥平面BCD，以点B为坐标原点， eq \(BC,\s\up6(→)) 、 eq \(BD,\s\up6(→)) 、 eq \(DP,\s\up6(→)) 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)、C( eq \r(3) ，0，0)、D(0，1，0)、P(0，1， eq \r(3) )，
设 eq \(PE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝λ( eq \r(3) ，－1，－ eq \r(3) )＝( eq \r(3) λ，－λ，－ eq \r(3) λ)，其中0≤λ≤1，
eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BP,\s\up6(→)) ＋ eq \(PE,\s\up6(→)) ＝(0，1， eq \r(3) )＋( eq \r(3) λ，－λ，－ eq \r(3) λ)＝( eq \r(3) λ，1－λ， eq \r(3) － eq \r(3) λ)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(0，1，0)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(BD,\s\up6(→))＝y＝0,m·\(BE,\s\up6(→))＝\r(3)λx＋（1－λ）y＋（\r(3)－\r(3)λ）z＝0)) ，取x＝λ－1，可得m＝(λ－1，0，λ)，
易知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
由已知可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs 〈m，n〉)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m·n)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝ eq \f(|λ|,\r(2λ2－2λ＋1)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，
因为0≤λ≤1，解得λ＝ eq \f(1,2) ，
所以，E为PC的中点，因此，VE ­ BCD＝ eq \f(1,2) VP ­ BCD＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) S△BCD·PD＝ eq \f(1,6) × eq \f(1,2) ×1× eq \r(3) × eq \r(3) ＝ eq \f(1,4) .
10．解析：(1)证明：由题设易知：BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是BEFC的对角线，
所以BF⊥EC，
又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF⊂平面AEFD，
所以DF⊥平面BEFC，又EC⊂平面BEFC，则DF⊥EC，
又DF∩BF＝F，则EC⊥平面BDF.
(2)过E作Ez⊥平面AEFD，而AE，EF⊂平面AEFD，则Ez⊥AE，Ez⊥EF，而AE⊥EF，
可构建如下图所示的空间直角坐标系，由题设知：∠BEA＝∠CFD＝ eq \f(π,3) ，
所以E(0，0，0)，B(1，0， eq \r(3) )，C(1，2， eq \r(3) )，M(2，m，0)且0≤m≤2，
则 eq \(EB,\s\up6(→)) ＝(1，0， eq \r(3) )， eq \(EC,\s\up6(→)) ＝(1，2， eq \r(3) )， eq \(EM,\s\up6(→)) ＝(2，m，0)，
若n＝(x，y，z)是平面EMC的一个法向量，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(EC,\s\up6(→))·n＝x＋2y＋\r(3)z＝0,\(EM,\s\up6(→))·n＝2x＋my＝0)) ，令x＝m，则n＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－2，\f(4－m,\r(3)))) ，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs 〈\(EB,\s\up6(→))，n〉)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(EB,\s\up6(→))·n,|\(EB,\s\up6(→))||n\(|,\s\up6( )) ))) ＝ eq \f(1,\r(\f(m2－2m＋7,3))) ＝ eq \f(1,\r(2)) ，可得m＝1，则n＝(1，－2， eq \r(3) )，
又l＝(0，0，1)是面EMD的一个法向量，
所以|cs 〈l，n〉|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(l·n,|l||n|))) ＝ eq \f(\r(3),2\r(2)) ＝ eq \f(\r(6),4) ，则锐二面角D ­ EM ­ C的余弦值为 eq \f(\r(6),4) .