高考数学二轮复习专项分层特训微专题8数列中的奇、偶项问题含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题8数列中的奇、偶项问题含答案，共10页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、多项选择题
1．[2022·福建龙岩一模]已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（－2）n，n为奇数，,an＋2n＋1，n为偶数，))) 则下列选项正确的是( )
A．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的奇数项构成的数列是等差数列
B．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的偶数项构成的数列是等比数列
C．a13＝8 191
D．S10＝671
2．[2022·湖北武汉模拟]已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 满足，a1＝1，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an－2n，n为奇数,an＋2n＋1，n为偶数))) ，则下列说法正确的是( )
A．a3＝7
B．a2 021＝22 021
C．a2n＋2＝a2n
D．3S2n＋1＝22n＋3－6n－5
二、填空题
3．[2022·湖北二模]九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数．若a1＝1，且an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2an＋2，n为奇数，,2an－1，n为偶数，))) 则解下6个圆环所需的最少移动次数为________．
4．[2022·河北唐山三模]角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)，已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，当an为偶数时，,3an＋1，当an为奇数时，))) 若m＝13，则使得an＝1至少需要______步雹程；若a9＝1；则m所有可能取值的和为________．
三、解答题
5．[2022·山东师范大学附中模拟]已知Sn是数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的前n项和，且a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1.
(1)求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的通项公式；
(2)记bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2an，n为奇数,an，n为偶数))) ，求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn)) 的前2n项和T2n.
6．[2022·福建三明高三期末]定义Gn＝ eq \f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n) 为数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的“匀称值”，若数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的“匀称值”为2.
(1)求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的通项公式；
(2)设bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(n2an，n为奇数,\f(an,n＋2)，n为偶数))) ， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn)) 的前n项和为Sn，求S20.
7．[2022·广东韶关二模]已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，an·an＋1＝4Sn－1(n∈N*).
(1)证明：an＋2－an＝4；
(2)设 cn＝(－1)n·an＋2n, 求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn)) 的前2n项和T2n.
8．[2022·山东潍坊二模]已知正项数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的前n项和为Sn，且a eq \\al(2,n) ＋2an＝4Sn，数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn)) 满足bn＝(－2) eq \s\up6(\f(an,2)) .
(1)求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn)) 的前n项和Bn，并证明Bn＋1，Bn，Bn＋2是等差数列；
(2)设cn＝(－1)nan＋bn，求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn)) 的前n项和Tn.
微专题8 数列中的奇、偶项问题
1．解析：因为a1＝1，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（－2）n，n为奇数，,an＋2n＋1，n为偶数，)))
所以a2＝1＋(－2)1＝－1，a3＝－1＋23，
a4＝－1＋23＋(－2)3＝－1，a5＝－1＋25，
a6＝a5＋(－2)5＝－1，a7＝－1＋27，
a8＝－1，a9＝－1＋29，
a10＝－1，a11＝－1＋211，
a12＝－1，a13＝－1＋213＝8 191，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
S10＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝1＋(－1)＋(－1＋23)＋(－1)＋(－1＋25)＋(－1)＋(－1＋27)＋(－1)＋(－1＋29)＋(－1)
＝1＋9×(－1)＋(23＋25＋27＋29)
＝－8＋ eq \f(23（1－44）,1－4) ＝672，故选BC.
答案：BC
2．解析：a2＝a1－2＝－1，a3＝a2＋23＝7，A正确；
对于k∈N*，有a2k＋2＝a2k＋1－22k＋1，a2k＋1＝a2k＋22k＋1，两式相加得a2k＋2＝a2k，C正确；
由a2k＋2＝a2k知a2 020＝a2 018＝…＝a2＝－1，则a2 021＝a2 020＋22 021＝－1＋22 021，B错误；
由偶数项均为－1可得n为偶数时，an＋1＝－1＋2n＋1，则S2n＋1＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2n＋1＝1＋(－1)＋(－1＋23)＋(－1)＋(－1＋25)＋…＋(－1＋22n＋1)
＝1＋(－1)×(2n)＋23＋25＋…＋22n＋1＝－2n＋1＋ eq \f(8（1－22n）,1－22) ＝ eq \f(22n＋3－6n－5,3) ，则3S2n＋1＝22n＋3－6n－5，D正确．故选ACD.
答案：ACD
3．解析：因为a1＝1，
所以a2＝2a1＋2＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝2a3＋2＝16，a5＝2a4－1＝31，a6＝2a5＋2＝64.
答案：64
4．解析：m＝13，依题意，3m＋1＝40→20→10→5→16→8→4→2→1 ，
共9步骤．
若a9＝1, a8＝2，a7＝4，a6＝8或a6＝1，
若a6＝8, a5＝16 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a4＝32，a3＝64\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝128，a1＝256,a2＝21，a1＝42))，,a4＝5，a3＝10\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝20，a1＝40,a2＝3，a1＝6))，))
若a6＝1，a5＝2，a4＝4 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝8，a2＝16\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝32,a1＝5))，,a3＝1，a2＝2，a1＝4.))
a1 的集合为{256，42，40，6，32，5，4} ，其和为385.
答案：9 385
5．解析：(1)an＋an＋1＝2n＋1变形为an＋1－(n＋1)＝－(an－n)，
因为a1－1＝0，
所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)＝…＝－(a1－1)＝0，故an＝n.
(2)当n为奇数时，bn＝2n，
当n为偶数时，bn＝n，
则T2n＝2＋2＋23＋4＋25＋6＋…＋22n－1＋2n
＝2＋4＋6＋…＋2n＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋23＋25＋…＋22n－1))
＝ eq \f(n（2＋2n）,2) ＋ eq \f(2－22n＋1,1－4) ＝ eq \f(22n＋1,3) － eq \f(2,3) ＋n2＋n.
6．解析：(1)因为 eq \f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n) ＝2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n.
当n＝1时，a1＝2.
当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2(n－1).
上述两个等式作差得nan＝2，即an＝ eq \f(2,n) (n≥2)，
又因为a1＝2满足an＝ eq \f(2,n) ，所以an＝ eq \f(2,n) (n∈N*).
(2)因为an＝ eq \f(2,n) ，所以bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2n，n为奇数,\f(2,n（n＋2）)，n为偶数))) .
所以S20＝(2＋6＋…＋38)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2×4)＋\f(2,4×6)＋…＋\f(2,20×22))) ，
所以S20＝ eq \f(（2＋38）×10,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,6)＋…＋\f(1,20)－\f(1,22))) .
所以S20＝200＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,22) ，即S20＝ eq \f(2 205,11) .
7．解析：(1)证明：由题可知an·an＋1＝4Sn－1，
当n＝1时，解得a2＝3，所以a3＝5，
又因为an＋1·an＋2＝4Sn＋1－1，
将其与an·an＋1＝4Sn－1两式相减得：an＋1(an＋2－an)＝4an＋1，
因为an≠0，有an＋2－an＝4.
当n＝1时，上式也成立，
综上，an＋2－an＝4.
(2)当n为奇数时，
有a3－a1＝4，a5－a3＝4，a7－a5＝4，…，an－an－2＝4，
累加得an＝a1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,2)－1)) ×4＝2n－1，
又a1＝1满足上式，所以n为奇数时an＝2n－1；
当n为偶数时，有a4－a2＝4，a6－a4＝4，a8－a6＝4，…，an－an－2＝4，
累加得an＝a2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)－1)) ×4＝2n－1，a2＝3满足上式，
综上可知an＝2n－1(n∈N*).
cn＝(－1)n·an＋2n＝(－1)n(2n－1)＋2n，
T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n，
T2n＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1＋3－5＋7－…－（4n－3）＋（4n－1）)) ＋(21＋22＋23＋…＋22n)
＝22n＋1＋2n－2，
T2n＝22n＋1＋2n－2.
8．解析：(1)a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋2an＝4Sn，an>0，①
当n＝1时，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2a1＝4a1，∴a1＝2或a1＝0(舍)，
当n≥2时，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＋2an－1＝4Sn－1②
①－②：a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＋2an－2an－1＝4an，∴(an－an－1)(an＋an－1)＝2(an＋an－1)，
∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)，
∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n，bn＝(－2)n，
∴数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn)) 是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴Bn＝ eq \f(－2[1－（－2）n],1－（－2）) ＝－ eq \f(2,3) ＋(－1)n eq \f(2n＋1,3) .
证明：∵Bn＋2＋Bn＋1＝－ eq \f(4,3) ＋(－1)n＋2· eq \f(2n＋3,3) ＋(－1)n＋1· eq \f(2n＋2,3) ＝－ eq \f(4,3) ＋ eq \f(（－1）n＋1·2n＋2（－2＋1）,3) ＝
－ eq \f(4,3) ＋ eq \f(2·（－1）n·2n＋1,3) ＝2Bn，
∴Bn＋1，Bn，Bn＋2成等差数列．
(2)cn＝(－1)n·2n＋(－2)n＝(－2)n＋2(－1)n·n，
当n为偶数时，
Tn＝(－2)1＋(－2)2＋…＋(－2)n＋2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1＋2－3＋4＋…－（n－1）＋n))
＝ eq \f(－2×[1－（－2）n],1－（－2）) ＋2× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－n＋1＋n）))
＝ eq \f(－2＋2n＋1,3) ＋2× eq \f(n,2)
＝ eq \f(2n＋1,3) ＋n－ eq \f(2,3) .
当n为奇数时，
Tn＝(－2)1＋(－2)2＋…＋(－2)n＋2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1＋2－3＋4＋…＋（n－1）－n))
＝ eq \f(－2×[1－（－2）n],1－（－2）) ＋2× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1＋（2－3）＋（4－5）＋…＋（n－1－n）))
＝ eq \f(－2－（－2）n＋1,3) ＋2× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1＋（－1）×\f(n－1,2)))
＝ eq \f(－2－2n＋1,3) －n－1
＝－ eq \f(2n＋1,3) －n－ eq \f(5,3) .
综上可知Tn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(2n＋1,3)＋n－\f(2,3)，n为偶数,－\f(2n＋1,3)－n－\f(5,3)，n为奇数))) .