高考数学二轮复习专项分层特训微专题12概率中的比赛问题含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题12概率中的比赛问题含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．[2022·江苏泰州模拟]足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%.若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为( )
A．77% B．77.5%
C．78% D．78.5%
2．[2022·山东夏津一中模拟]甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 eq \f(2,3) ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,5)
C． eq \f(2,3) D． eq \f(4,5)
二、多项选择题
3．[2022·湖南岳阳三模]甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 eq \f(1,2) .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)，则( )
A.p(2)＝ eq \f(5,16)
B．p(3)＝ eq \f(11,16)
C．p(n)＝ eq \f(1,2) (1－ eq \f(C eq \\al(n,2n) ,22n) )
D．p(n)的最大值为 eq \f(1,4)
三、填空题
4．[2022·河北石家庄模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“5局3胜制”，即先胜3局为胜方，比赛结束．已知甲每局获胜的概率均为0.6，则甲开局获胜并且最终以3∶1取胜的概率为________．
5．[2022·山东临沂三模]某足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当甲球员在相应位置时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6.据此判断当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为________．
6．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______．
四、解答题
7．[2022·山东济南历城二中模拟]A，B，C，D四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组．胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军．设每场比赛双方获胜的概率都为 eq \f(1,2) .
(1)求同学A获得冠军的概率；
(2)求A，B两人能够在比赛中相遇的概率．
8．[2022·广东佛山二模]男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组(每组4个队).正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制(小组内任两队需且仅需比赛一次)；决赛阶段均采用淘汰制(每场比赛胜者才晋级)，先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛(且不在四分之一决赛中遭遇)，其余8支球队按规则进行附加赛(每队比赛一次，胜者晋级)，争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
(2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队(甲乙丙丁队)实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为 eq \f(3,4) 、 eq \f(1,2) 、 eq \f(1,2) 、 eq \f(1,2) ，且每支球队晋级后每场比赛相互独立，试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
9.[2022·河北保定二模]甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打5个回合，先胜3回合者胜出且比赛结束．在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为0.6，胜者获得下一回合先发球的资格．已知第1回合中，甲先发球．
(1)求比赛只进行了3回合的概率；
(2)设比赛共进行了X回合，求X的数学期望．
10．[2022·湖南岳阳模拟]冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ；甲、乙得2分的概率分别为 eq \f(2,5) ， eq \f(1,2) ；甲、乙得1分的概率分别为 eq \f(1,5) ， eq \f(1,6) .
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
微专题12 概率中的比赛问题
1．解析：由题意得：该球员进行点球射门时踢向球门左侧时进球的概率为80%×60%，
踢向右侧进球的概率为75%×40%，
故该球员点球射门进球的概率为80%×60%＋75%×40%＝78%，故选C.
答案：C
2．解析：由题意，甲获得冠军的概率为 eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(20,27) ，
其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为 eq \f(2,3) × eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(8,27) ，
∴所求概率为 eq \f(8,27) ÷ eq \f(20,27) ＝ eq \f(2,5) .故选B.
答案：B
3．解析：若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，
所以P(2)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 4＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 4＝ eq \f(5,16) ，故A正确；
若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局，
所以P(3)＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 6＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(6)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 6＋C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 6＝ eq \f(11,32) ，故B错误；
若甲、乙比赛2n局甲获胜，则甲在2n局比赛中至少胜n＋1局，
所以P(n)＝C eq \\al(\s\up1(n＋1),\s\d1(2n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 2n＋C eq \\al(\s\up1(n＋2),\s\d1(2n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 2n＋…＋C eq \\al(\s\up1(2n),\s\d1(2n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 2n
＝ eq \f(1,2) (22n－C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(2n)) ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 2n＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(2n)) ,22n))) ，故C正确；
因为P(n)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(2n)) ,22n))) ，
且P(n)－P(n－1)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(2(n－1))) ,22（n－1）)－\f(C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(2n)) ,22n))) ＝ eq \f(2n－1,22nn！) ≥0，
所以P(n)递增，所以当n＝1时，p(n)取得最小值为 eq \f(1,4) ，故D错误，故选AC.
答案：AC
4．解析：据题意可知甲开局获胜并且最终以3∶1取胜的情况为开局和第四局甲赢，中间两局赢一局输一局， 故所求概率为0.6×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×0.6×(1－0.6)×0.6＝2×0.63×(1－0.6)＝0.172 8.
答案：0.172 8
5．解析：记甲球员出场前锋、中锋、后卫分别为事件A1，A2，A3；记甲球员出场前锋、中锋、后卫时输球分别为事件B1，B2，B3，
则当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率：
答案：0.66
6．解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是p＝0.108＋0.072＝0.18.
答案：0.18
7．解析：(1)同学A获得冠军的概率为 eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) .
(2)A，B两人在第一轮相遇的概率为 eq \f(1,\f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) ＝ eq \f(1,3) ，
A，B两人在败者组相遇的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,6) ，
A，B两人在胜者组相遇的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,6) ，
所以A，B两人能够在比赛中相遇的概率为 eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,6) ＝ eq \f(2,3) .
8．解析：(1)根据赛制，小组赛共安排比赛3×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝18场，
附加赛共安排比赛8÷2＝4场，
四分之一决赛共安排比赛8÷2＝4场，
半决赛共安排比赛4÷2＝2场，铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，
总共安排比赛18＋4＋4＋2＋2＝30场．
(2)设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没获得冠军为事件E，
由于晋级后每场比赛相互独立，故P(A)＝ eq \f(3,4) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,16) ，
由于四队实力相当，故P(B)＝P(C)＝P(D)＝P(A)＝ eq \f(3,16) ，
又P(E)＝1－P(A＋B＋C＋D)，且事件A，B，C，D互斥，
∴P(E)＝1－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）)) ＝1－4P(A)＝1－ eq \f(12,16) ＝ eq \f(1,4) ，
故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为 eq \f(1,4) .
9．解析：(1)因为比赛只进行了3回合，所以甲连胜3回合或乙连胜3回合，
故所求概率为0.63＋(1－0.6)×0.62＝0.36.
(2)X的可能取值为3，4，5.
由(1)得，P(X＝3)＝0.36.
比赛进行4回合且甲胜出的情形如下：甲负胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜．
P1＝0.4×0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.4×0.6＋0.6×0.6×0.4×0.4＝0.172 8.
比赛进行4回合且乙胜出的情形如下：乙负胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜．
P2＝0.6×0.4×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.4×0.4＝0.163 2.
P(X＝4)＝P1＋P2＝0.336.
P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝0.304，
故E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＝3.944.
10．解析：(1)由题意知甲得0分的概率为1－ eq \f(1,3) － eq \f(2,5) － eq \f(1,5) ＝ eq \f(1,15) ，
乙得0分的概率为1－ eq \f(1,4) － eq \f(1,2) － eq \f(1,6) ＝ eq \f(1,12) ，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为 eq \f(1,3) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,15) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(29,90) .
(2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则P(X＝0)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,180) ，
P(X＝1)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,36) ，
P(X＝2)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,10) ，
P(X＝3)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(19,90) ，
P(X＝4)＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,6) ＝ eq \f(11,36) ，
P(X＝5)＝ eq \f(2,5) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(4,15) ，
P(X＝6)＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,12) ，
所以，随机变量X的分布列为：
所以E(X)＝0× eq \f(1,180) ＋1× eq \f(1,36) ＋2× eq \f(1,10) ＋3× eq \f(19,90) ＋4× eq \f(11,36) ＋5× eq \f(4,15) ＋6× eq \f(1,12) ＝ eq \f(47,12) .
X
0
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,180)
eq \f(1,36)
eq \f(1,10)
eq \f(19,90)
eq \f(11,36)
eq \f(4,15)
eq \f(1,12)