2023高考数学二轮专题复习 专题06 一网打尽外接球与内切球问题（精讲精练）（解析版）

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专题06 一网打尽外接球与内切球问题
【命题规律】
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：正方体、长方体外接球
核心考点二：正四面体外接球
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
核心考点四：直棱柱外接球
核心考点五：直棱锥外接球
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
核心考点八：共斜边拼接模型
核心考点九：垂面模型
核心考点十：二面角模型
核心考点十一：坐标法
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
核心考点十三：锥体内切球
核心考点十四：棱切球
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）
A． B． C．1 D．

【方法技巧与总结】
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1 图2 图3 图4
【核心考点】
核心考点一：正方体、长方体外接球
【规律方法】
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（    ）
A． B．4 C． D．.
例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．

核心考点二：正四面体外接球
【规律方法】
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

【典型例题】
例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体外接球表面积为，则该正四面体棱长为______；若为平面内一动点，且 ，则最小值为______．
例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为的正四面体的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
【规律方法】
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

【典型例题】
例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为___________.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（   ）
A． B． C． D．
例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥中，若，，，其外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
核心考点四：直棱柱外接球
【规律方法】
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【典型例题】
例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）
A． B． C． D．
例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（  ）
A． B． C． D．
例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（    ）
A． B． C． D．
核心考点五：直棱锥外接球
【规律方法】
如图，平面，求外接球半径．

解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
【典型例题】
例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
【规律方法】
1、正棱锥外接球半径： ．

2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【典型例题】
例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥，其外接球球的半径为，则该正三棱锥的体积的最大值为__________．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的棱长为，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．
例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
【规律方法】
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
【典型例题】
例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为_____.
例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥的外接球的表面积为，AD是该球的直径，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为______．
例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P﹣ABC中，，AC=2，PA为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为___________．
核心考点八：共斜边拼接模型
【规律方法】
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．

【典型例题】
例24．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例25．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
例26．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
核心考点九：垂面模型
【规律方法】
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
【典型例题】
例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______
例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中， ，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为__________．
核心考点十：二面角模型
【规律方法】
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

【典型例题】
例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______.

例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．
例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为___________.
核心考点十一：坐标法
【规律方法】
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【典型例题】
例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
例36．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．
例37．（2022·山西·一模（理））如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（       ）

A． B． C． D．
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
【规律方法】
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．

2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．

例38．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
【典型例题】
例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（    ）
A． B． C． D．
例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为______．
例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的表面积为___________.
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
核心考点十三：锥体内切球
【规律方法】
等体积法，即
【典型例题】
例43．（2022·全国·高三专题练习）球O是棱长为1的正方体的内切球，球与面、面、面、球O都相切，则球的表面积是_______________．
例44．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.
例45．（2022·山东济南·二模）在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
核心考点十四：棱切球
【规律方法】
找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
例46．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为
　　
A． B． C． D．
例47．（2022•江苏模拟）正四面体的棱长为4，若球与正四面体的每一条棱都相切，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
例48．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为　　
A． B． C． D．

【新题速递】
一、单选题
1．（2022·湖北·高三阶段练习）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为（    ）．
A． B． C． D．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，，，为球的球面上的四点，记的中点为，且，四棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知正四棱锥的所有顶点都在体积为的球的球面上，若该正四棱锥的高为，且，则该正四棱锥的体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知体积为的正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正三棱柱的底面边长与高的比值为（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ）
A．球在正方体外部分的体积为
B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为
D．若点､､在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为
10．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ）
A．平面 B．球的表面积为
C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为60°
11．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（    ）

A．圆锥的表面积是 B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为
12．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ）

A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
13．（2022·全国·模拟预测）如图，在五面体中，底面为矩形，和均为等边三角形，平面，，，且二面角和的大小均为．设五面体的各个顶点均位于球的表面上，则（    ）

A．有且仅有一个，使得五面体为三棱柱
B．有且仅有两个，使得平面平面
C．当时，五面体的体积取得最大值
D．当时，球的半径取得最小值
14．（2022·全国·模拟预测）已知正三棱锥的底面的面积为，体积为，球，分别是三棱锥的外接球与内切球，则下列说法正确的是（    ）
A．球的表面积为
B．二面角的大小为
C．若点在棱上，则的最小值为
D．在三棱锥中放入一个球，使其与平面、平面、平面以及球均相切，则球的半径为
三、填空题
15．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知四面体的各顶点都在球O的表面上，，E，F分别为的中点，O为的中点．若，直线与所成的角为，，则球O的表面积为____________．
16．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知的所有顶点都在球的表面上，，球的体积为，若动点在球的表面上，则点到平面的距离的最大值为__________.
17．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在三棱锥中，已知是线段上的点，．若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为___________．
18．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在三棱锥中，已知是线段上的点，.若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.
19．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知点，，均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球的体积为___________.
20．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司高三期中（理））如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面，三棱锥的体积为，若点，，，都在球的球面上，则球的表面积为____________．