2023高考数学二轮专题复习 专题15 周期性、单调性奇偶性对称性的灵活运用（精讲精练）（解析版）

这是一份2023高考数学二轮专题复习 专题15 周期性、单调性奇偶性对称性的灵活运用（精讲精练）（解析版），文件包含专题15周期性单调性奇偶性对称性的灵活运用精讲精练解析版docx、专题15周期性单调性奇偶性对称性的灵活运用精讲精练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用
【命题规律】
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
【核心考点目录】
核心考点一：函数单调性的综合应用
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
核心考点三：已知奇函数
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
核心考点七：类周期函数
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心考点九：函数性质的综合

【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
．
因为，所以，即，所以．
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以．
所以．
故选：D
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．
故选：BC．
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC．
故选：BC．
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．
故选：BC．
【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
4．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】     ；     ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称

若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参


函数为奇函数




[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧

4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【核心考点】
核心考点一：函数单调性的综合应用
【典型例题】
例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】显然当时，为单调减函数，
当时，，则对称轴为，
若是上减函数，则 解得，
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，
由求导得
因为，当且仅当即，取等号，
所以所以在R上单调递增，
因为得
所以，解得，
故选：B
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴（舍去），或，即，故A错误；
又，故，
∴，对于函数，
则，函数单调递增，
∴，故D错误；
∵，，
∴，
令，则，
∴函数单调递增，
∴，即，
∴，即，故B正确；
∵，
∴函数单调递增，故函数单调递增，
∴，即，故C错误．
故选：B．
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，，
解得或．
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，，所以在上为增函数，
因为是定义在R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
因为，所以，，
所以，
所以不等式可化为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以在上单调递增，
且，不等式即为．
又因为是偶函数，所以不等式等价于，
则，所以，，解得．
综上可知，实数的取值范围为，
故选：A．
例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得．
故选：D．
例8．（2023春·广西·高三期末）是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则
．
∴．
故选：A
例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以是上的奇函数，
由
，
所以是上的增函数，
所以等价于：

即，
所以，
令，
则问题转化为：，
因为且定义域为，
所以是上的偶函数，
所以只需求在上的最大值即可．
当时，，
，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得：，
即，
故选：A．
核心考点三：已知奇函数+M
【典型例题】
例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．
【答案】-2014
【解析】
，
因为为奇函数，
所以，
其中，
所以，
解得：
故答案为：-2014
例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（       ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】
设，因为，
所以为奇函数，
因为，
所以，
则．
故选：D．
例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴．
故选：B
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
【典型例题】
例13．（2022·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标．
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称．
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故选：D．
例14．（2021春·高一单元测试）设函数，则不等式的解集为（   ）
A．（0，2] B．
C．[2，＋∞） D．∪[2，＋∞）
【答案】B
【解析】由题意，函数的定义域为，
且，
所以函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，
令，可得，
则不等式可化为，
即，即，
又因为，且在上单调递减，在为偶函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：B．
例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数，则的大小关系（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增．
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴．
故选：A
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】图象关于点对称，，
又为上的偶函数，，，
，
是周期为的周期函数，
，又，，
．
故选：C．
例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
函数的定义域为，
，所以，，
故函数的图象关于点对称，
因为函数为奇函数，则，即，
故函数的图象也关于点对称，
函数与图象共有个交点为、、、，且这六个点也关于点对称，
所以，．
故选：B．
例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得关于点对称，的图象也关于点对称，
即若点为交点，则点也为交点，同理若为交点，则点也为交点，……
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为，
故选：D．
例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，，，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，
则，且函数的图象与轴交点关于原点对称，
不妨设，
则，
所以，
则不等式，
即为，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A．
例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数满足，
则函数的图象关于点对称，且（1），
函数，
则，
所以函数为奇函数，其图象关于点对称，
又函数是由函数向右平移一个单位得到的函数，
故函数的图象关于点对称，
令，
则，
因为函数与的图象都关于点对称，
所以两个函数图象的交点也关于点对称，
因为函数恰有2021个零点，
所以2021个零点除之外的2020个零点关于对称，
则所有这些零点之和为．
故选：D．
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
【典型例题】
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则（    ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，
用代替得：，
因为为奇函数，所以，
故①，
用代替得：②，
由①② 得：，
所以函数的周期，
所以，即，
因为，令得：，故，
，解得：，
所以时，，
因为，
令，得，
其中，所以，
因为，
令得：，即，
因为，所以，
因为，
令得：，
故，
．
故选：C
例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（    ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【解析】因为是偶函数，所以，所以，
所以函数关于直线对称，
又因为，所以，
所以，所以关于点中心对称，
由及得
所以
所以函数的周期为，
因为当时，（且），且，
所以，解得：或，因为且，所以．
所以当时，，
所以，，，
，，，
，所以，
所以，
故选：．
例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（    ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】定义在R上的偶函数满足，
所以的图像关于对称，且为周期是2的偶函数，
当时，，所以画出函数图像如下图所示：

①当时，结合图像可知与（）有两个公共点；
②当与（）相切时，满足，即，令，解得．
当时，结合图像可知与（）有两个公共点；
由图像可知， 时，直线与（）有三个公共点；
又因为周期，可知（）．
故选：B．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，
又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，
所以函数的图象的对称轴为，
当时，，所以函数的图象也关于对称，
在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，

数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，
则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，
则，解得．
故选：D．
例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（    ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因为，所以的最小正周期是8，
因为，
，，，
，又是周期为8的周期函数，
所以，

，所以．
故选：B
例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（    ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】定义在R上的偶函数满足，
所以的图像关于对称，且为周期是2的偶函数，
当时，，所以画出函数图像如下图所示：

①当时，结合图像可知与（）有两个公共点；
②当与（）相切时，满足，即，令，解得．
当时，结合图像可知与（）有两个公共点；
由图像可知， 时，直线与（）有三个公共点；
又因为周期，可知（）．
故选：B．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，
又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，
所以函数的图象的对称轴为，
当时，，所以函数的图象也关于对称，
在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，

数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，
则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，
则，解得．
故选：D．
例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（    ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因为，所以的最小正周期是8，
因为，
，，，
，又是周期为8的周期函数，
所以，

，所以．
故选：B
核心考点七：类周期函数
【典型例题】
例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，

当时，，当时， ，因此当时，，选B．
例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（　　 ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，
因为时，，
所以，
因为函数满足，
所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或．
例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，，又，因此当时，函数，从而，选C．
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典型例题】
例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数对任意，都有成立．有以下结论：
①；②是上的偶函数；③若，则；
④当时，恒有，则函数在上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________
【答案】①③
【解析】对于①令，则，解得，①正确；
对于②令，则，∴，∴是上的奇函数，②错误；
对于③令，则，∴，③正确；
对于④设，则，∴，
则，∴在上单调递减，④错误．
故答案为：①③．
例33．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为．
故选：B．
例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，．
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，
所以．
故选：C
例35．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】
解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：

由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程核心考点九：函数性质的综合
【典型例题】
例36．（2023·上海·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且恒成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由于函数定义在上的偶函数，在是增函数，
由得，
所以，
解方程得，
令，则，
所以是方程的两根，
由韦达定理得，解得，
则不等式即，
设，，，故，
所以单调递增，且，故解集为．
故答案为：．
例37．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知是定义域为R的奇函数，为奇函数，则__________．
【答案】68
【解析】而是定义域为R的奇函数，故有，且，
因为为奇函数，所以，
而，
所以，
用替换得：，
令，则有，
即；
令，则，
则，即；
令，则有；
所以．
；
；
；
所以
．
故答案为：68
例38．（2023春·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设a＞0，b＞0，若关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，则a+b的值为______．
【答案】
【解析】不妨令，
显然满足，可知为偶函数，
因为关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，
且x1＜x2＜x3＝b，
所以必有x2＝0，且﹣x1＝x3＝b，故x1+x2+x3＝0，
将x2＝0，x3＝b代入原方程得：，
当b≥a时，原方程化为，解得，
此时，
当b＜a时，原方程化为，解得a＝b＝0，与a＞0，b＞0矛盾，
故．
故答案为：．
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，对于任意的，均有，当时，，则函数的所有零点之和为______；
【答案】4042
【解析】图像关于轴对称的偶函数向右平移一个单位得到函数．因为函数是偶函数，所以，
令替换，则有，
所以函数的周期为2，且函数关于直线对称，
又当时，，当时，，，
当时，，
依次类推，可以求出，当时，
由此可在同一平面直角坐标系下作出函数与的部分图象．

函数的零点，即为函数与的交点横坐标，
当时，，两函数图像无交点，又两函数在上有2021个交点，由对称性知它们在上也有2021个交点，且它们关于直线对称，则对称两零点和为2，所以函数的所有零点之和为4042．
故答案为：4042．

【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）己知函数，，若与图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的有（    ）个
①若，则                ②若，则
③若，则      ④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，当时，令，则，即函数有且仅有一个零点为0，同理易知函数有且仅有一个零点为0，
即与也恰有一个公共点，故①错误；
对于②：当时，如下图：

易知在，且，与图像相切，由当时，，则，，故，从而，所以，故②正确；
对于③：当时，如下图：

则，，所以，又图像关于对称，结合图像有，即有，故③正确；
对于④：当时，由，与的图像在y轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故④正确．
故选：C．
2．（2023·青海海东·统考一模）已知函数，且，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，在上是增函数
B．当时，在上是增函数
C．的单调性与有关
D．若不等式的解集是，则
【答案】B
【解析】当时，在上单调递增，且．
因为函数在上是减函数，
所以在上是减函数，则错误；
当时，在上单调递减，且．
因为函数在上是减函数，
所以在上是增函数，则正确；
定义域为R，，
所以，为R上的偶函数．
又由前面分析知，当时，在上是减函数，根据偶函数的性质知，在上是增函数；
当时，在上是增函数，根据偶函数的性质知，在上是减函数．
所以，可知，当且时，在上是减函数，在上是增函数．
从而的单调性与无关，故C错误；
因为不等式的解集是．
由前面分析知，为R上的偶函数．在上是减函数，在上是增函数．
所以，所以，解得或，则D错误．
故选：B．
3．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则．
因为，所以，即，
所以在上单调递减．
不等式等价于不等式，即．
因为，所以，所以．
因为在上单调递减，所以，解得
故选：A
4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】，
故函数关于对称，又在上严格递增；
即

当且仅当时取得．
故选：B．
5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】

即
即
即
令，根据增函数加增函数为增函数得在上为增函数，
，，

故选：A．
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在（0，ln 2）上恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为分别为偶函数和奇函数，
①，
所以，即②，
①②联立可解得，，
不等式为，
，则，，
设，则，
，，，在上是增函数，，
又在时是增函数，所以，，
，在恒成立，则．
故选：C．
7．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）设，函数是定义在R上的奇函数，且，在单调递增，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A：∵函数是定义在R上的奇函数，则，A错误；
由题意可得：在上单调递增，则在上单调递增
∵，则
∴函数关于对称，则在上单调递减
当时，当且仅当时，；当且仅当或时，
∵函数关于对称，则，即
∴，则函数的周期为4
当时，则有：
的根依次为，即当且仅当，
若，则，即，C、D错误；
的根依次为，即当且仅当，
∵，则，B正确；
故选：B．
8．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知偶函数在区间上单调递减，则满足的x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为偶函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增 ，
因为，所以由偶函数性质知
所以，解得：．
故选：A．
二、多选题
9．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】若为偶函数，则，故，则为奇函数
故，
由可得，
又可得，两式相减得，
所以函数的周期为4；
由可得
又可得，两式相加得
所以函数的对称中心为；
则，，故A选项正确；
又，则，由函数的周期为4
可得，，故B，D选项正确；
可得，所以，故C选项不正确；
故选：ABD．
10．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（    ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为为偶函数，所以．
由，可得，可得，
所以，函数的图象关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，则，
又因为，可得，
所以，函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，因为函数为偶函数，且，
则，从而，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，C对；
对于D选项，因为，且，，
又因为，所以，，
又因为，则，所以，，
故，因此，函数是周期为的周期函数，D错．
故选：BC．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为若，为奇函数，
所以，
令得，，即，，A选项正确；
所以，，即，
所以，函数关于对称，对称，
所以，，即
所以，，
所以，，即函数为周期函数，周期为，
所以，，，故D选项正确，B选项错误；
对于C选项，由可得，其中为常数，
所以，所以，
故令得，即，故C选项正确．
故选：ACD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ）
A．图象关于对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
【答案】BCD
【解析】为上的奇函数，则，．为偶函数，即关于轴对称，则．
所以，则，故，则最小正周期为4；
对A，，故图象不关于对称，A错；
对B，，B对；
对C，最小正周期为4，，的最小正周期为4，C对；
对D，，D对；
故选：BCD
13．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】A选项，因为为偶函数，所以，
因为为奇函数，所以，
令得：，解得：，所以
令得：，即，所以，故A正确；
B选项，令得：，即，
因为，则，所以，所以，故B正确；
C选项，因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
，所以，
即，所以，
所以的周期为4，，故C正确；
D选项，因为，
所以令得：，解得：，
令中得：，故D错误．
故选：ABC
三、填空题
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知函数，则满足的x的取值范围是________．
【答案】．
【解析】因为，则，
因为函数，由有：且，
因为，大致图象如图，

①当且时，，所以，显然满足；
②当时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得，单调递减，
当时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得，单调递增，
又，，所以根据函数的单调性有：
由，解得：或．
综上，满足的取值范围是．
故答案为：．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可以是___________（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定义域为，由可知，是偶函数，
由可知周期为4，
因为，故关于直线对称，
又因为，所以也是的对称轴，
因为在上存在导函数，所以是的极值点，
即，曲线在点处的切线斜率为0，
故切线方程可能为，
故答案为：（答案不唯一）
16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③④
【解析】因为，所以，所以，所以的周期为，即为周期函数，故①正确；
因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，故②正确；
因为是定义在R上的奇函数，所以，因为在上为增函数，且为奇函数，所以在上为增函数，
因为关于直线对称，所以在上为减函数，故③正确；
由，令得，故④正确，
故答案为：①②③④
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则___________．
【答案】2
【解析】因为，对称轴为，所以的对称中心为，即，
因为，所以在上单调递增，
所以方程的解均有且只有一个，
因为，所以关于对称中心对称，
所以，
故答案为：2
18．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值为，极小值为，则______．
【答案】6
【解析】由题意，，故关于对称．
故取得极大与极小值的点关于对称，所以．
故答案为：6
19．（2023·全国·高三专题练习）设的定义域为，且满足，若，则___________．
【答案】2024
【解析】因为，所以，
由，得，有，
可得，有，
又由，可得，可知函数的周期为4，
可得，
有，
因为，所以
由得，
所以，
即，
所以
所以．
故．
故答案为：2024
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____．
【答案】4
【解析】∵的图象关于直线对称，∴，又为奇函数，∴，故，
则，∴函数的周期，又∵，∴．
故答案为：4．