2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】解：直线的倾斜角，则直线的斜率

故选：C.

2．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解.

【详解】因为为等差数列，

所以，

所以，

又，

所以公差，

由得：，

故

故选：B

3．直线：的一个方向向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先将直线的方程化为斜截式，即可得到直线的方向向量，即可判断.

【详解】解：因为，所以，

所以直线的方向向量为，因为，

所以直线：的一个方向向量可以是；

故选：C

4．已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.

【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足，

即且，所以．

故选：B．

5．已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（    ）

A．110 B．150

C．210 D．280

【答案】D

【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.

【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，

所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．

故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，

所以S30＝150，

又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，

所以S40＝280.

故选：D.

6．在各项均为正数的等比数列中，，则（    ）

A．1 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质结合条件可得，进而即得.

【详解】因为，

所以，又等比数列的各项均为正数，

所以.

故选：D.

7．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（    ）

A．石 B．石 C．石 D．石

【答案】D

【分析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.

【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，

由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.

故正三品分得俸粮数量为（石）.

故选：D.

8．已知实数x，y满足，那么的最小值为（    ）

A．5 B．10 C． D．

【答案】A

【分析】可以看作是与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案

【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，

则的最小值为，

故选：A

二、多选题

9．设等差数列的前n项和为．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前n项和公式即可.

【详解】由题设，，解得，

∴，.

故选：AC

10．已知直线：，则下列结论正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是

B．若直线：，则

C．点到直线的距离是

D．过与直线平行的直线方程是

【答案】ACD

【分析】求出给定直线的斜率经计算可判断A，B；求点到直线距离判断C；由平行直线求方程判断D作答.

【详解】直线：的斜率，则其倾斜角为，A正确；

直线：的斜率，显然，，即与不垂直，B不正确；

点到直线的距离，C正确；

设过与直线平行的直线方程是，则有，解得，

所以过与直线平行的直线方程是，D正确.

故选：ACD

11．同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】假设各选项中图象正确，由此可得的符号，由此确定经过的象限，进而得到各选项的正误.

【详解】对于A，若图象正确，则，，经过第一、二、四象限，A错误；

对于B，若图象正确，则，，经过第二、三、四象限，B正确；

对于C，若图象正确，则，，经过第一、二、三象限，C正确；

对于D，若图象正确，则，，经过第一、三、四象限，D错误.

故选：BC.

12．若数列满足则（    ）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．数列的通项公式 D．数列的通项公式

【答案】AC

【分析】变形给定的递推公式即可判断选项A，B；求出数列的通项即可判断选项C，D作答.

【详解】在数列中，当时，，即，而，即，则是首项为1，公差为1的等差数列，

因此，，，

所以A正确，B不正确，C正确，D不正确.

故选：AC

三、填空题

13．点(1，2)到直线的距离为___．

【答案】##3.2

【分析】利用点线距离公式求距离即可.

【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线的距离为.

故答案为：

14．已知过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程是____________．

【答案】

【分析】由直线方程的点法向式写出方程并化简．

【详解】直线l的一个法向量为，又过点，所以直线方程为，

即．

故答案为：．

15．已知等比数列中，，公比，则______．

【答案】32

【分析】利用等比数列的通项公式基本量计算求出答案.

【详解】由题意得：

故答案为：32

四、双空题

16．已知直线，则直线恒过一定点M的坐标为___，若直线与直线垂直，则______.

【答案】          0

【分析】由题可得，即得；利用直线垂直的关系即得.

【详解】直线，即，

故直线一定经过直线和的交点．

由，求得，

∴点的坐标为，

若直线与直线垂直，

则直线的斜率是，

解得：.

故答案为：；0.

五、解答题

17．已知数列为等差数列，，．

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列的性质求出公差d即可求解作答.

（2）由（1）结合等比数列前n项和公式求解作答.

【详解】（1）等差数列中，，解得，而，

则数列的公差，于是得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，，即数列是等比数列，首项，公比，

所以数列的前n项和.

18．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)令，求数列的前项的和．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）应用等比数列的定义写出的通项公式，结合已知求的公差，进而写出通项公式.

（2）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求.

【详解】（1）由题设，

所以，而，则，

由，则，故.

综上，，.

（2）由（1）知：，

所以.

19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.

(1)求AB边所在的直线方程；

(2)求中线AM的长

(3)求AB边的高所在直线方程.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；

（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；

（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.

【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即；

法二：直线的斜率为，

直线的方程为，即；

（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，

所以；

（3）直线AB的斜率为，

所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，

故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.

20．设是公差不为0的等差数列，，为，的等比中项.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算即得；

（2）利用裂项相消法即得.

【详解】（1）设的公差为，因为，为，的等比中项，

所以，

解得，

因为，所以，

故；

（2）因为，

所以.

21．已知直线：，：，

(1)若，求实数m的值；

(2)若，求实数m的值及此时两平行直线间的距离．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1），则，由此即可得解；

（2），则，注意排除重合这一情况，再根据两平行直线的距离公式即可得解.

【详解】（1）解：因为，

所以，解得；

（2）解：因为，

所以，解得或，

当时，直线：，：，

此时两直线的距离为，

当时，直线：，：，

此时两直线的距离为.

22．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．

(1)当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；

(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．

【答案】(1)

(2)的面积最小值是4，此时的直线方程为

【分析】（1）由题得直线恒过的定点P，再由两点的距离公式可得所求最大值；

（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率，根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．

【详解】（1）直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0即为m(2y－x+3)+(2x+y+4)＝0，

由可得，

则已知直线恒过定点P(－1,－2)，

可得Q（3，4）到直线的最大距离为|QP|2.

（2）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2＝k(x+1)，

可得|OA|＝|1|，|OB|＝|k－2|，

则S△AOB•|OA|•|OB||(1)(k－2)|||．

由k＜0，可得－k＞0，

所以S△AOB[][4+()+(－k)]≥4．

当且仅当k，即k＝－2时取等号．

则△AOB的面积最小值是4，

直线的方程为y+2＝－2(x+1)，即2x+y+4＝0．