甘肃省兰州市外国语高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考文科数学试题（解析版）

兰州外国语高级中学2023届高三第二次考试

文科数学

一､选择题（60分）

1. 已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线对称的点，得到复数，最后利用复数的乘法运算法则即可求得．

【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，

其关于直线对称的点为，所以，

所以，

故选：C．

2. 将函数图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．

【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为

．

故选A．

【点睛】解题中容易出现的错误是忽视在横方向上的平移只是对变量而言的这一结论，当的系数不是1时，在解题时需要提出系数、化为系数是1的形式后再求解．

3. 已知实数、满足不等式组，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

联立，解得，即点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点，直线在轴上的截距最大，

此时取最大值，即.

故选：C.

4. 设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数在切点处的导数，根据导数的几何意义即可求解.

【详解】.

当时，，

即切线斜率，

由切线与直线平行可得

所以.

故选：A

5. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可

【详解】因为，所以是偶函数，排除B，D，

因为，排除C，

故选：A.

6. 已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】，所以，函数的图象恒过定点，

由于点在直线上，则，则，

，则，

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：D.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了直线过定点的问题，考查计算能力，属于基础题.

7. （    ）

A. 1 B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用两角和的正弦公式将展开化简即可求解.

【详解】

，

故选：B

【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

8. 一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（    ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得圆锥的高，，设圆柱的高为，底面半径，则，从而可得，然后表示圆柱的侧面积，结合二次函数的性质可求．

【详解】解：由题意可得，，

故圆锥的高，，

设圆柱的高为，底面半径，则，

故，

所以，

圆柱侧面积，

当且仅当即时取得最大值．

故选：．

【点睛】本题主要考查圆柱的表面积的计算以及二次函数的性质的应用，属于中档题．

9. 已知数列满足，则等于（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.

【详解】∵，∴是等差数列．

由等差数列的性质可得，，

∴，，∴．

故选：B．

10. 设函数，则满足的的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】针对的范围进行分类讨论，然后求解不等式的解集.

【详解】由题意，，

所以，

①当时，，即，

解得，所以；

②当时，，即，

解得，所以；

综上是，时的取值范围为.

故选：B

【点睛】本题考查分段函数与不等式的结合问题，难度一般，解答时注意对自变量的范围进行分类讨论.

11. 若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件确定出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解.

【详解】显然函数的图象过原点，而双曲线的渐近线也过原点，

依题意，原点必为双曲线的某条渐近线与函数的图象相切的切点，

由求导得，即有，于是得，双曲线半焦距c，，

所以双曲线的离心率为.

故选：D

12. 已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可得函数的图象关于点对称，由可得函数的周期为2，且图象关于直线对称，从而画出函数的图像，结合图像可求出结果

【详解】∵函数是奇函数

∴函数的图象关于点对称

∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，即满足

又∵

∴，从而

∴，即

∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.

画出函数图象如图所示：

结合图象可得区间内有8个零点.

故选：A.

【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题

二､填空题（20分）

13. 在极坐标系中，点到直线的距离为_________________.

【答案】2

【解析】

【分析】先将点的极坐标化为直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离求解.

【详解】解：将极坐标化为直角坐标为，极坐标方程化为直角坐标方程为：，则点到直线的距离为.故点到直线的距离为.

故答案为：

【点睛】本题考查在极坐标系下求点到直线距离的问题，解题关键是将距离问题放在直角坐标系下研究，属于基础题.

14. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．

【答案】(0，2]

【解析】

【分析】由求得，由求得，而是的必要不充分条件，所以有，从而可求出的取值范围.

【详解】解：∵，∴，即；

∵，∴或，

∴，

∵是的必要不充分条件，

∴，解得，

∴所求实数的取值范围是(0，2]．

故答案为：(0，2]

【点睛】此题考查了绝对值不等式、一元二次不等式，必要不充分条件等知识，属于基础题.

15. 光线从点A(-2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为_____.

【答案】60°.

【解析】

【分析】根据光线反射的物理特征，找到A点关于x轴的对称点，根据两点的斜率公式即可求出答案.

【详解】点A(-2，)关于x轴的对称点为A'(-2，-)，由物理知识知kBC=kA'C=，所以所求倾斜角为60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.理解物理光线的反射特征，是解本题的基础.

16. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）

A.该函数解析式为；

B.函数的一个对称中心为

C.函数的定义域为

D.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则的最小值为.

【答案】ABC

【解析】

【分析】A.根据已知求出函数解析式为；B. 函数的对称中心为，即可判断；C.解不等式即可判断；D. 的最小值为，即可判断.

【详解】因为相邻对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，

所以所以.

因为图象经过点，所以,

所以

因为.所以. 所以A正确；

令，所以，

所以函数的对称中心为.

当时，对称中心所以B正确；

，令，

所以，

解之得函数的定义域为，

所以C正确；

将函数的图象向右平移个单位，得到是奇函数，

所以因为的最小值为.

所以D不正确.

故答案为：ABC

三､解答题（70分）

17. 已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】(1)设出公差，利用已知条件列方程解出公差即可.

(2)得到的通项公式，可由分组求和法求前项和.

【详解】（1）成等比数列，所以

即，即.

因为，所以，

所以.

（2）由题意得：，，

所以.

【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本问题，考查分组求和法.若且数列的前项和易求，则可以利用分组求和法求数列的前项和.

18. 某大学为调研学生在两家餐厅用餐的满意度，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：

B餐厅分数频数分布表

（1）在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；如果从两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.

（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；

（3）如果A餐厅把打分最低的和打分最高的人群称之为“口味独特”，反之为“正常口味”，请计算“正常口味”人群的打分范围.（近似到）

【答案】（1）详见解析；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图求解，然后根据评分低于30的人数作出判断；

（2）利用古典概型的概率求解；

（3）分别求得打分最低的的范围和打分最高的范围求解.

【小问1详解】

在抽样的100人中，对餐厅评分低于30的人数；

由B餐厅分数频数分布表知：对餐厅评分低于30的人数为10，

所以如果从两家餐厅中选择一家用餐，会选择B家；

【小问2详解】

从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人有 种，

2人中恰有1人评分在范围内的选法有种，

所以2人中恰有1人评分在范围内的概率；

【小问3详解】

设打分最低的的范围为，

由题意得，

解得，设打分最高的范围为，

由题意得，

解得，

所以“正常口味”人群的打分范围为.

19. 如图1，在矩形中，，E是的中点；如图2，将沿折起，使折后平面平面．

（1）若平面与平面的交线为l，求证：；

（2）求证：平面；

（3）求点C到平面的距离．

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）．

【解析】

【分析】（1）因为，则有平面，根据线面平行性质可证；

（2）根据勾股定理可证，由面面垂直性质定理即可证平面；

（3）先求解三棱锥的体积，再用等体积法求得点到面的距离．

【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面与平面的交线为l，且平面，所以；

（2）依题意得，，又

所以，则

因为平面平面，且平面平面，平面

所以平面；

（3）取中点，连接

因为，所以，由于平面平面，

且平面平面，平面，所以平面，且

所以

由（2）知平面，且平面，所以

设点C到平面的距离为，则

由于，故

所以点C到平面的距离为

【点睛】

方法点睛：求点到面的距离常用方法：

1、等体积法；

2、直接作出点到平面的垂线，则该垂线段的长度就是所求的距离；

3、向量法：用向量距离公式求解.

20. 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知，以及，从而求得椭圆方程；（Ⅱ）设，则，根据条件求直线的方程，并且表示出直线的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据即可求出面积比值.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为.

由题意得解得.

所以.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，则.

由题设知，且.

直线的斜率，故直线的斜率.

所以直线的方程为.

直线的方程为.

联立解得点的纵坐标.

由点在椭圆上，得.

所以.

又，

，

所以与的面积之比为.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.

21. 已知函数．

（）求函数的极值点．

（）设函数，其中，求函数在上的最小值．

【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在．（2）见解析

【解析】

【详解】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数，求导得，再根据零点 与区间 关系分类讨论 ，结合单调性确定函数最小值取法.                  

详解：解：（）函数的定义域为，，

∴令，得，令，得，

∴函数在单调递减，在单调递增，

∴是函数的极小值点，极大值点不存在．

（）由题意得，

∴，

令得．

①当时，即时，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

③当，即时，在区间上单调递减，

∴在上的最小值为，

综上所述，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为．

点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线的普通方程及直线的极坐标方程；

（2）直线与曲线和直线分别交于，（，均异于点）两点，求的取值范围．

【答案】（1）曲线，直线；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据消参法，将曲线C的方程化为普通方程，由直角坐标与极坐标关系，将直线普通方程化为极坐标方程即可.

（2）由（1）知：，，即可求的范围．

【详解】（1）由参数方程为（为参数），得，

∴曲线的普通方程为．

由普通方程为，而，

∴直线的极坐标方程为，即.

（2）∵曲线的极坐标方程为，

∴直线的极坐标方程为，即，

∴，，则的取值范围为．

23. 已知，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为3，求实数a的值.

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】

【分析】（1）代入，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质进行求解即可.

【详解】（1）当时，，

当时，，此时解得；

当时，，此时解得无解；

当时，，此时解得.

综上，不等式的解集为或

（2）

(当且仅当时等号成立)

(当且仅当时等号成立)

可以知道当时，有最小值，

由得或 .

【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.