北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题

这是一份北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023/2024学年度第一学期开学检测试卷高二数学班级________  姓名________  学号________  成绩________一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合，，，则A，B，C间的关系为（    ）A．        B．       C．         D．2．已知，，且，则的坐标为（    ）A．            B．           C．             D．3．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（    ）A．86                B．85.5               C．85                 D．84.54．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则的值等于（    ）A．1                 B．               C．3                   D．5．将函数的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（    ）A．     B．     C．      D．6．已知四面体ABCD中，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则（    ）A．    B．     C．     D．7．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（    ）A．平面                     B．平面C．平面                      D．平面8．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”的（    ）A．充分而不必要条件                       B．必要而不充分条件C．充分必要条件                           D．既不充分也不必要条件9．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为20℃，但当气温上升到31℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T（单位：℃）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时14时中，观的最时约为（    ）（参考数据：）A．6.7时~11.6时      B．6.7时~12.2时      C．8.7时~11.6时       D．8.7时~12.2时10．已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；                     ②在上有最大值；③若，则；     ④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为（    ）A．①②③            B．②③④            C．①③               D．①②③④二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．若复数z满足，则________．12．某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．13．已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为2，3，，则长方体的体对角线的长等于________；球的表面积等于________．14．在中，，，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是________．15．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体所得的截面图形是五边形；②直线到平面CMN的距离是；③存在点P，使得；④面积的最小值是．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（共6小题，共85分）16．（本题满分14分）已知函数，是的一个零点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）请把的解析式化简成的形式；（Ⅲ）当时，若曲线与直线有2个公共点，求m的取值范围．17．（本题满分14分）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：9.610.19.79.810.09.710.09.810.110.2经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．（Ⅰ）求这组样本平均数和方差；（Ⅱ）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的10件产品，估计这10件产品平均等级是否为一等品？说明理由．18．（本题满分13分）向量与的夹角为，，，，．（Ⅰ）请用，t的关系式表示；（Ⅱ）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，，点F在棱PA上．（Ⅰ）求证：平面CDE；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．20．（本题满分14分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：AB边上的高为．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．21．（本题满分15分）设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．（Ⅰ）若，，且，求，，及；（Ⅱ）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求n的最小值；（Ⅲ）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．参考答案一、选择题题号12345678910答案BDBCBCDBCA二、填空题11．5    12．30    13．4，（前3后2）    14．即可    15．①③④三、解答题16．解：（Ⅰ）由题设．所以．因为，所以．          2分所以．所以．          4分（Ⅱ）由（Ⅰ）．          8分（Ⅲ）因为，所以．于是，当且仅当，即时，取得最大值1；当且仅当，即时，取得最小值．又，即时，．          12分所以m的取值范围是．          14分17．解：（Ⅰ）样本平均值样本方差．          6分（Ⅱ）估计改进后该厂生产的产品评分的平均数，方差．          10分（Ⅲ）可以认为是一等品．因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为，所以可以认为这10件产品平均等级为一等品不一定是一等品．因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到10分及以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．          14分18．解：（Ⅰ）∵，∴，∴．          7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，且，故．          13分19．解：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，．因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．又因为平面PAB，平面PAB，．所以平面平面CDE．因为平面PAB，所以平面CDE．          5分（Ⅱ）因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，．又因为ABCD是矩形，，所以AD，AB，PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面PEC的一个法向量为，则，即．令，则，．于是．取平面PEA的法向量为．则．由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是．          10分（Ⅲ）令线段AF的长为t，则，．所以，因为点F到平面PCE的距离．所以，即．解得或（舍）．所以线段AF的长为．          15分20．解：（Ⅰ）由已知可得：，∴，而，∴．          5分（Ⅱ）选①②：∵，，∴；由正定理得，∴；故．          14分选①③：∵，，∴；设线段CD是AB边上的高的高，而，∴；∴；故．          14分选②③，第二问得0分．21．解：（Ⅰ），，，．          4分（Ⅱ）设使得，则，所以．所以至少有3个元素个数相同的非空子集．当时，，其非空子集只有自身，不符题意．当时，，其非空子集只有，，，不符题意．当时，，元素个数为1的非空子集有，，，元素个数为2的非空子集有，，．当时，，不符题意．当时，，不符题意．当时，，令，，，则，．所以n的最小值为4．          9分（Ⅲ）由题可知，，记为集合中的元素个数，则为数表第j列之和．因为是数表第i行之和，所以．因为，所以．所以．当，，，，，，时，，．所以的最小值为3．          15分