2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数诱导公式化简求值即可.

【详解】解：.

故选：A.

2．某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ）

A．简单随机抽样 B．系统抽样

C．分层抽样 D．其他抽样

【答案】C

【分析】根据员工明显来自三个不同的部门可以选择适当的抽样方法．

【详解】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适．

故选：C．

3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（    ）

A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件

B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件

C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件

D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解.

【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；

“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；

“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；

“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.

故选：D.

4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】排除的情况，根据等比数列求和公式解得，再根据计算得到答案.

【详解】当时，，即，，不成立；

当时，，即，解得.

，.

故选：B.

5．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（    ）

A．6 B．10 C．14 D．18

【答案】B

【分析】模拟程序运行后可得结果.

【详解】程序运行时输入，∵，∴执行，判断，执行，判断，输出．

故选：B．

6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示若甲运动员的中位数为 ，乙运动员的众数为，则 的值是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：：∵甲运动员的中位数为a，∴，∵乙运动员的众数为b，∴b=11，

∴a-b=18-11=7

【解析】茎叶图与中位数众数

7．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案.

【详解】因为，，所以，，

所以

．

故选: C．

8．已知x，y满足不等式组则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】画出可行域，平移目标函数得解.

【详解】不等式组表示的平面区域如图，

平移直线，当经过点时，目标函数取得最小值，由得即，此时，所以目标函数的取值范围为．

故选：C．

9．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】所有的排列法共有种，用列举法求得满足条件的排列数只有2种，由此可求得满足条件的概率.

【详解】编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率.

故选：B.

10．如图，正六边形的边长为1，延长，交于，则（    ）

A． B． C．9 D．

【答案】D

【分析】由正六边形的性质易得，，，则在直角中可求得，在中，利用余弦定理可求得，从而可求出，进而利用数量积的定义可求得结果

【详解】由正六边形的性质易得，，，所以，

所以为直角三角形，且，，，

在中，，

所以，，

所以．

故选：D．

11．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合算法，当时，输出对应值即可.

【详解】∵，第一次循环，判断条件不满足，

，；第二次循环，判断条件不满足，

，；第三次循环，判断条件不满足，

，；第四次循环，判断条件不满足，

，；第五次循环，判断条件不满足，

，；第六次循环，判断条件不满足，

，；第七次循环，判断条件不满足，

，，判断条件满足，结束循环，输出的值为.

故选：C.

12．将的图像上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数，的图像，函数的图像如图所示，则（    ）

A．

B．的图像的对称轴方程为

C．不等式的解集为

D．在上单调递增

【答案】D

【分析】根据图像先求出函数的解析式，再根据平移求出的解析式，结合函数的性质对选项进行判断即可.

【详解】由图知，，函数的图像的最小正周期，

所以，所以，

因为点在的图像上，所以，

所以，因为，所以，

所以，故选项A错误；

所以

令，解得，

所以的图像的对称轴方程为，故选项错误；

由，得，所以，

即不等式的解集为，所以选项错误；

令得，

即的单调递增区间为，

因为，所以选项D正确．

故选：D．

二、填空题

13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为___________.

【答案】

【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案

【详解】解：因为，所以扇形的面积为，

所以，即，

故答案为：2

14．已知，是两个平面向量，，若，则______．

【答案】

【分析】由垂直关系的向量表示及向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以．

故答案为：.

15．如图所示，为圆的内接三角形，，为圆的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在外的概率是______

【答案】

【分析】首先求出的面积，再用圆的面积减去的面积，就能得到外的面积，然后根据概率计算公式即可求解.

【详解】连接，记“所投点落在外”为事件，则.

故答案为：

16．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.若，则面积的最大值为______

【答案】

【分析】化简得出，再根据基本不等式得出取值范围，最后利用三角形面积公式得出结果.

【详解】，所以，即，所以，因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以.

故答案为：

三、解答题

17．槟椰芋又名香芋，富含淀粉､蛋白质､脂肪和多种维生素，可加工成芋兰片，芋丝等副食品，深受广大消费者喜爱，某超市购进一批槟椰芋，并随机抽取了200个统计其质量，得到的结果如下表所示：

(1)估计每个槟椰芋的平均质量是多少；（同一组数据用该区间中点值作代表）

(2)若购进这批槟椰芋100千克，试估计这批槟椰芋的数量.（所得结果四舍五入保留整数）

【答案】(1)

(2)517个

【分析】（1）由表就算出平均质量.

（2）由（1）问中的平均质量即可算出这批槟椰芋的数量.

【详解】（1）由题意及表得，抽取200个槟椰芋

平均质量：

∴每个槟椰芋的平均质量是.

（2）由题意，（1）及表得，每个槟椰芋的平均质量是，

共有槟椰芋100千克

∴数量：

∴这批槟椰芋的数量为517个.

18．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先利用和的范围求，接着利用二倍角公式即可得到答案；

（2）先利用的值算出和的值，再通过第（1）问算出，最后利用即可得到答案

【详解】（1）因为，且所以，

又为锐角，所以，

因此；

（2）因为为锐角，所以，

又因为，

所以，

因此，

因为，

所以，

因此

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；

（2）由的面积，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.

【详解】（1）解：因为，所以.

由正弦定理得，可得，

所以，

因为，所以.

（2）解：由的面积，所以.

由余弦定理得，

所以，所以，

所以的周长为.

20．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者.某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）的数据统计如下：

通过对察散点图，发现日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）有线性相关关系.

(1)求线性回归直线方程；

(2)试预测日垃圾分拣量80千克，需要的垃圾分类志愿者人数.

参考公式：，.

【答案】(1)

(2)9人

【分析】（1）由题中数据与参考公式求解，

（2）代入回归方程求解，

【详解】（1），，

，

，

所以，

.

所以回归方程是；

（2）当时，，解得.

所以需要的垃圾分类志愿者人数是9人

21．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.

(1)求实数的值；

(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的中位数；（精确到0.01）

(3)现在要从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.

【答案】(1)

(2)中位数的估计值为万元

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；

（2）首先判断中位数位于内，设中位数为，再根据中位数计算规则得到方程，计算可得；

（3）根据分层抽样求出、中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：由题意知，，

解得.

（2）解：因为，则中位数在区间内，

设中位数为，则，

得，所以中位数的估计值为万元

（3）解：从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，

则补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，，，

补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，

则基本事件有，，，，，，，，

，，，，，，，共15种情况.

其中补贴金额的心理预期值都在间有，，，，，，共种情况，

所以抽到人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.

22．已知数列满足，.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若且，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可；

（2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以.

因为，所以，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由（1）可知，，所以.

因为，当时，，所以，

当时，也符合，所以，所以，

所以，①

，②

①-②，得，

所以.