2022-2023学年河北省承德市高新区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022--2023学年上学期高一数学期中考试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由指数函数的性质解得集合，再根据交集的定义即可求解.

【详解】集合，

又，所以，

故选：B.

2. 已知函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数为偶函数排除选项D；利用时排除选项C；利用时排除选项A；进而仅有选项B正确.

【详解】函数定义域为，

由，

可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；

由当时，仅有，可知选项C图象错误；

由当时，，则

则选项A图象错误.仅有选项B正确.

故选：B

3. 设，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性即可得结果.

【详解】由，得：，因为，所以，取交集得：．

所以的取值范围是，

故选：C.

4. 已知命题p：若，则；命题q：，．那么下列命题为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断的真假，再根据复合命题的真值表进行判断即可．

【详解】因为，所以命题为假命题，则为真命题；

又当，则，所以，所以命题为真命题，则为假命题，

所以根据复合命题的真值表，可得为真命题，

故选：C．

5. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由二次函数的值域可得出，可得出，则有，利用基本不等式可求得结果.

【详解】若，则函数的值域为，不合乎题意，

因为二次函数的值域为，则，

且，所以，，可得，则，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：B.

6. 已知函数是定义在R上增函数，且函数的图象关于点对称.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由的图象可由的图象向左平移个单位得到，

则为奇函数，且是定义在上的增函数，

可得即为，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．

【详解】函数的图象关于点对称，

由的图象可由的图象向左平移个单位得到，

则的图象关于原点对称，即为奇函数，且是定义在上的增函数，

即为，

由为上的增函数，可得，

即有对任意恒成立，

又2x3，有23，即，

即，则，

所以实数的取值范围是

故选：B．

7. 函数（且）是上的增函数，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由于函数为是增函数，所以，解得.

考点：分段函数图象与性质.

【思路点晴】本题考查分段函数图象与性质.由于分段函数在上单调递增，所以首先在每一段上是增函数，一次函数斜率要大于零，对数函数底数要大于，即；还需要满足的是在区间的分段点的函数值，左边函数值要不大于右边函数值，即，由此解得的取值范围.区间端点函数值如果不连续递增，是不能说在上递增的.

8. 已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而根将自变量的取值化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.

【详解】因为为偶函数，所以，

又，所以，

所以，即是周期为4的函数，

则.

因为，

所以，，.

因为为偶函数，且当时，单调递增，

所以当时，单调递减，故.

故选：A.

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知,不等式恒成立,,不等式0,则下列说法正确的是(    )

A. p的否定是:,不等式

B. 的否定是:,不等式

C. 真命题时,

D. q为假命题时,

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题

【详解】的否定是:,不等式，A正确

的否定是:,不等式，B错误

若为真命题,则,即

解得，C正确

若为假命题,则恒成立

即恒成立

因为,当且仅当,即取等

所以，D正确

故选：ACD

10. 已知函数，则下面几个结论正确的有（    ）

A. 的图象关于原点对称

B. 的图象关于y轴对称

C. 值域为

D. ，且恒成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇函数的定义和性质可判断AB的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD的正误.

【详解】对于A，，则，

则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.

对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.

对于C，，，

故，易知：，故的值域为,故C正确.

对于D，，

因为在上为增函数，为上的减函数，

由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，

故，且，恒成立，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.

11. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A. 若函数是奇函数则必有

B. 函数(其中且)的图象过定点

C. 定义在上的奇函数在上是单调递增函数，则在区间也是单调增函数

D. 函数，则方程有6个不等实根

【答案】BD

【解析】

【分析】

对于选项A，根据函数在处是否有定义来判断正确与否；

对于选项B，将点代入函数表达式来判断函数是否经过此点；

对于选项C，通过举反例来验证此结论是否正确；

对于选项D，令，求出的取值范围，再求出与的不同取值范围的交点的个数即可.

【详解】A项，由于的定义域不知，所以不一定成立；

B项，令，得，，所以过定点，B项正确；

C项，在上是单调递增函数，在区间也不一定也是单调增函数，例如：；

D项，令，则，所以，

有一个交点，有三个交点，有两个交点，共6个交点；

所以有6个不等实根，D正确；

故选：BD.

【点睛】本题考查奇函数的定义域、单调性问题，对数函数是否过定点的问题和复合型函数的零点问题；考查理解辨析能力、运算求解能力，属于中等题型.

12. 记函数在区间上单调递减时实数的取值集合为，不等式恒成立时实数的取值集合为，则

A.  B.

C.  D. “”是“”的必要不充分条件

【答案】CD

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性求出，根据不等式恒成立求出集合，根据集合和集合可得答案.

【详解】因为函数在区间上单调递减，

所以，解得，即，A错误；

不等式恒成立等价于，

当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，即，C正确

因为，，所以，是的真子集，故B错误；

所以“"是""的必要不充分条件，D正确.

故选：CD.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知命题，，命题；若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出命题为真命题时对应的的范围集合，，由是的充分不必要条件可得，即可求解.

【详解】设命题，成立对应的的范围为集合，

若，，则，所以

而，当且仅当，即时等号成立，

所以，故，所以，

因为是的充分不必要条件，所以，所以，

即实数的取值范围为.

故选答案：

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．

14. 某地每年销售木材约20万，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

设按销售收入的征收木材税时，税金收入为y万元，求得每年的木材销售量万．每年的销售收入为万元，可得，令，由二次不等式的解法，可得所求范围．

【详解】解：设按销售收入的征收木材税时，税金收入为y万元，

则．

令，即，解得．

故答案为：.

【点睛】本题考查一元二次不等式在实际问题中的应用，考查化简运算能力，属于基础题．

15. 设，若函数在上的最大值是，则在上的最小值是______.

【答案】##0.75

【解析】

【分析】令，利用二次函数性质先求b，然后可解.

【详解】

令，则

因为，所以，

所以当时函数有最大值，故，解得，

当时，函数有最小值.

故答案为：

16. 设函数的定义域是实数集，则实数k的取值范围是______．

【答案】[0，）

【解析】

【分析】函数的定义域为实数集，即恒成立，分和讨论，当时，需二次三项式对应的二次方程的判别式小于0．

【详解】∵函数的定义域是实数集，

∴对恒不为零，

当时，成立；

当时，需，解得．

综上，使函数的定义域为R的实数的取值范围为．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，其中根据函数的解析式有意义，得到函数的解析式所满足的条件，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是基础题．.

四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知全集为R，设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B.

（1）求和；

（2）若集合，，求实数p的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出后可求和；

（2）根据可得满足的不等式，其解即为实数p的取值范围.

【详解】（1），

.

故，.

（2）因为，故即.

故实数p的取值范围为.

【点睛】本题考查函数的定义域、集合的运算（交和补）、一元二次不等式的解、绝对值不等式的解以及集合的包含关系，依据集合的包含关系求参数的取值范围时，注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于中档题.

18. 已知函数.

（1）若函数在上具有单调性，求实数的取值范围；

（2）若在区间上，函数的图象恒在图象上方，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数图象的对称轴，根据二次函数的单调性求出的范围即可；

（2）问题转化为对任意恒成立，设

，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可.

【详解】(1)的对称轴的方程为，若函数在上具有单调性，

所以或，所以实数的取值范围是或.

（2）若在区间上，函数的图象恒在图象上方，

则在上恒成立，即在上恒成立，

设，则，

当，即时，，此时无解，

当，即时，，

此时，

当，即时，，此时，

综上.

【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，需要对二次函数的性质比较熟悉，再者要注意单调包括单调增和单调减，另外图像落在直线的下方的等价转化，恒成立问题要向最值靠拢.

19. 命题成立；命题成立.

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；

（3）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）当为真命题时，，求解即可；

（2）当命题为假命题时，，求解即可；

（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解

【小问1详解】

若命题为真命题，

则，解得，

所以实数的取值范围是；

【小问2详解】

若命题为假命题，

则，解得，

所以实数的取值范围是；

【小问3详解】

由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则

或，

解得，

故命题与命题中至少有一个为真命题，

则或

所以实数的取值范围是.

20. 某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.

（1）若车流密度为50辆/千米，求此时的车流速度；

（2）若隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）

【答案】（1）56千米/小时   

（2） 隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时, 此时车流密度约为83 辆/千米.
 

【解析】

【分析】（1）将，代入函数第二段，得到，解出值，再代入，得到值；

（2）由题意写出，分范围讨论最值比较大小即可.

【小问1详解】

由题意知当(辆/千米)时,(千米/小时),

代入,得，解得,所以,

当时，

故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.

【小问2详解】

由题意得，当时,为增函数,

所以,当时等号成立;

当时，，

当且仅当,即时等号成立.

所以,隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时,此时车流密度约为83辆/千米.

21. 已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）求使成立的实数a的取值范围.

【答案】（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).

【解析】

【分析】

（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；

（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，

即，则，

所以，又因为，得，所以，.   

设且，则

，

，，在上增函数

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

，

即，解得.

故实数的取值范围是[0，1).

22. 已知是偶函数，是奇函数.

（1）求，的值；

（2）判断的单调性；（不需要证明）

（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）单调递增   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；

（2）根据指数函数的单调性即可判断的单调性；

（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．

【小问1详解】

解：因为是偶函数，

所以，即，

则，即，

所以，即，解得．

若是奇函数，

又定义域为，则，即，解得；

【小问2详解】

解：因为，所以，

因为函数单调递增，函数单调递减，所以单调递增；

【小问3详解】

解：由（2）知单调递增；

则不等式在上恒成立，

等价为在上恒成立，

即在上恒成立，

则，

设，则在上单调递增，

∴，

则，

所以实数的取值范围是