2022-2023学年河北省高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B．） C． D．【答案】A【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的补集运算即可求得结果.【详解】由得或，故或，所以.故选：A.2．下列函数是幂函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数概念即可得解.【详解】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，对于A，是二次函数；对于B，是一次函数；对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.故选D.3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抽象函数定义域的求法求解即可.【详解】由，得，所以的定义域为.故选：C.4．若与都是等腰三角形，则“”是“且”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由全等三角形的性质易证充分性，举反例排除必要性，由此得证.【详解】若，则且，故“”是“且”的充分条件；若且，则AB与AC可能都是等腰三角形的腰，从而推不出，故“”是“且”的不必要条件；综上：“”是“且”的充分不必要条件；故选：A.5．关于命题“至少有一个，使得为偶函数”，下列判断正确的是（    ）A．该命题是全称量词命题，且是真命题B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题D．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】先判断命题是存在量词命题，再找出一个满足条件的即可判断其为真.【详解】“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，因此该命题是存在量词命题；当时，，此时，的定义域为，又，所以为偶函数，因此该命题是真命题．故选：B.6．已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，，可得出，，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.【详解】由图可知，函数的图象与轴相切，对称轴为直线，且该函数的图象开口向下，所以，，且，则，，所以，不等式即为，即，解得.故不等式的解集为.故选：A.7．已知，则的最小值为（    ）A． B． C．20 D．4【答案】D【分析】利用基本不等式中“1”的妙用解之即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：D.8．已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高．现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（    ）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】利用注入的水的体积与杯中水的体积相等即可求解.【详解】假设注水后，杯中水的水面半径为xcm，则杯中水的高度，则由注入的水的体积与杯中水的体积相等得，解得，故杯中水的高度cm．故选：C. 二、多选题9．若函数满足），则的解析式可能为（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据奇偶性的定义判断即可.【详解】解：因为，，均为奇函数，所以，，均满足，故A、C、D正确；对于B：，则，即为偶函数，则，故B错误．故选：ACD10．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.【详解】由题意集合，，因为，所以当时，，即 ；当时，有 ，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC.11．下列命题是真命题的是（    ）A．若，则B．若，则的最大值为C．若，，则D．若，则的最小值为3【答案】ACD【分析】根据基本不等式、结合比较法逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，即，所以本选项是真命题；B：因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以本选项是假命题；C：因为，，所以，即，所以本选项是真命题；D：由，，当且仅当时，即时取等号，因此本选项是真命题，故选：ACD【点睛】关键点睛：运用比较法、基本不等式是解题的关键.12．已知是定义在R上的函数，，且存在满足条件Ω，则Ω可能为（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据函数的概念，利用赋值法结合条件逐项分析即得.【详解】若，则且，所以A正确；由，令，得，又，所以B错误；若，则且，所以C正确；由，令，得，又，所以，令，得，所以D错误．故选：AC. 三、填空题13．命题p：的否定为________．【答案】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得命题的否定.【详解】命题p：的否定为.故答案为：.14．若函数在上是增函数，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据分段函数在上的单调性，列式求解即可.【详解】解：函数在上是增函数，由题意可得解得．故答案为：.15．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.【详解】依题意可得，解得，则．所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以，解得．故答案为：7（答案不唯一）. 四、双空题16．如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；（2）方程的解的个数为______．【答案】     ；     【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；（2）令，，或，若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，所以方程的解的个数为，故答案为：； 五、解答题17．已知集合，．(1)若，求，；(2)若，且，求的值．【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；（2）首先表示出集合，由，可得，即可求出参数的值.【详解】（1）解：当时，又，所以，.（2）解：当时，因为，所以，所以或.18．已知函数．(1)求f（x）的解析式；(2)若f（x）在[－2，4]上单调递减，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用换元法令，得代入原函数中化简即可得f（x）的解析式（2）利用二次函数的性质，即可证明.【详解】（1）令，得由，得＝故f（x）的解析式为（2）证明：由（1）知f（x）的图像关于直线对称因为f（x）在[－2，4]上单调递减，所以解得故．19．已知f（x）是定义在[－3，3]上的偶函数．(1)设g（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，将下面两个图补充完整；(2)当时，讨论f（x）在[－3，m]上的值域．【答案】(1)作图见解析(2)当时，函数f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，当时，函数（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4]. 【分析】(1)根据偶函数图像关于轴对称，奇函数图象关于原点对称即可求解；(2)根据图象，设其解析式，再根据图象上点的坐标列出方程组，解之即可求出函数解析式，然后根据图象进行分类讨论即可.【详解】（1）补充完整的两个图如下图所示：（2）由图可知，f（x）在[－3，－1]上的图象为线段，设其对应的解析式为，由题意可知：则，解得，所以．当时，f（x）在[－3，m]上单调递减，所以f（x）在[－3，m]上的最大值为4，最小值为f（m）＝，则f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，当时，由图可知（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4]，综上可知：当时，函数f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，当时，函数（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4].20．小张同学在求解“若，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：（第一步）因为，所以a，b同号，所以均为正数，（第二步）所以，，（第三步）所以，故的最小值为请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改．【答案】答案见解析过程.【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断，再通过乘法运算法则，结合基本不等式进行求解即可.【详解】从第三步是错误的，理由如下：因为当且仅当时，即时，不等式才能取等号，当且仅当时，即时，不等式才能取等号，因为，所以两个不等式不能同时取等号，所以不等式，因此此法求不出最小值，正确的做法如下：因为，所以a，b同号，所以均为正数，由，当且仅当时，即当时取等号，因此的最小值为.21．近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．【答案】(1);(2)5400万元. 【分析】（1）根据利润=销售收入—固定成本一投入成本，即可得到年利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当时，利用二次函数的性质，求出的最大值，当 时利用导数求得的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.【详解】（1）由题意知，当时， ，当，, 综上， ;（2）当时， ，所以当 时，取得最大值2383，当，，，令，当时，递增，当时，递减，故当 时，取得最大值 ，因为 ，故当（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.22．已知函数．(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；(2)设函数，若，求a的取值范围．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)[－,－2] 【分析】（1）在上单调递减，根据单调性的定义设，作差判断符号，即可得单调性；（2）先确定函数在上的值域，再根据，确定与值域的关系，即可得a的取值范围．【详解】（1）解：在上单调递减，理由如下：证明：设，则．∵，∴∴∴，即，∴在上单调递减．（2）解：当时，同（1）可得为增函数．若，则，∵，∴，则在上的值域为.所以若，则，则．依题意可得．则,解得，故a的取值范围为[－,－2]．