浙江省衢州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含解析

衢州市2022年1月高一年级教学质量检测试卷

数学

考生须知：

1．全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.

2．试卷共4页，有4大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.

3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.

选择题部分（共60分）

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：B.

2. 若幂函数的图象经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得，即可求得的值.

【详解】由已知可得，解得.

故选：C.

3. 设R，则“＞1”是“＞1”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件

考点：充分条件与必要条件

4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A 向左平移 B. 向右平移

C. 向右平移 D. 向左平移

【答案】B

【解析】

【分析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.

【详解】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.

故选：B.

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】运用诱导公式即可化简求值得解．

【详解】∵，

∴.

故选：C．

6. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用平方关系求得，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，

所以，

所以.

故选：D.

7. 浙江省在先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，统计数据表明，2021年前三季度全省生产总值同比增长10.6%，两年平均增长6.4%，倘若以8%的年平均增长率来计算，经过多少年可实现全省生产总值翻一番（，）（    ）

A. 7年 B. 8年 C. 9年 D. 10年

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，可得，，两边取常用对数，根据参数数据即可求解.

【详解】解：设经过年可实现全省生产总值翻一番，全省生产总值原来为，

由题意可得，即，

两边取常用对数可得，

所以，

因为,所以，

所以经过10年可实现全省生产总值翻一番.

故选：D.

8. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性，，再根据函数的单调性即可得出函数的单调性，再根据函数的单调性结合奇偶性即可解不等式.

【详解】解：函数定义域为R，

因，

所以函数为奇函数，

由，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上都是增函数，

又且函数在R上连续，

所以函数在R上递增，

因为，所以，

所以，解得，

即不等式的解集为.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9. 已知函数，则（    ）

A. 是奇函数 B. 是偶函数

C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称

【答案】BD

【解析】

【分析】化简函数的解析式，利用余弦函数的奇偶性与对称性可得结果.

【详解】因为，故函数为偶函数，

因为函数的对称中心坐标为，

所以，函数的图象关于点成中心对称.

故选：BD.

10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（    ）

A. 点P第一次达到最高点，需要20秒

B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米

D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

【答案】ABD

【解析】

【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.

【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；

点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；

令，解得：，，当时，（s），B选项正确；

，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；

故答案为：ABD

11. 若a，，，则下列说法正确的有（    ）

A. 的最小值为4

B. 的最大值为

C. 的最小值为

D. 的最大值是

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式依次判断即得.

【详解】由a，，，可得，

对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误；

对于B，∵，当且仅当，即时取等号，

∴，即的最大值为，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确；

对于D，由题可得，，

∴，

而，当且仅当，即时取等号，

∴，即的最大值是，故D正确.

故选：BCD.

12. 已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据两集合相等可以确定，则B集合中不等式可转化为

，然后利用判别式法解不等式组即可求得答案.

【详解】由题意知： ，

由知：

即 ,

由可知： 且为

此时须满足 ，解得 ，

故实数a的取值范围是 ，因此a的取值可以是3,4,5，

故选：BCD.

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 设函数则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.

【详解】因为函数，

所以，

则，故答案为.

【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.

14. 函数在______单调递增（填写一个满足条件的区间）．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性的求法求解

【详解】由，得，解得或，

所以函数的定义域为，

令，则，

因为在上单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，

所以在上单调递增，

故答案为：（答案不唯一）

15. 若，则______．

【答案】##-0.2

【解析】

【分析】在所求代数式上除以，然后在所得分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】

.

故答案为：.

16. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】令，转化条件为方程有解，运算可得

【详解】令，则，

化简得，

所以，解得或（舍去），

当时，，符合题意，

所以得最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程成验算步骤．

17. 计算下列各式值．

（1）

（2）

【答案】（1）；   

（2）1.

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简计算即得；

（2）利用同角关系式、辅助角公式可得原式，再利用诱导公式及二倍角公式，化简计算即得.

【小问1详解】

原式；

【小问2详解】

原式

.

18. 已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x2-x<0}

（I）若a=1，求AB，；

（II）若AB=，求实数a的取值范围

【答案】（I）；（II）或

【解析】

【分析】（I）先解不等式得集合B，再根据并集、补集、交集定义求结果；

（II）根据与分类讨论，列对应条件，解得结果.

【详解】（I）

a=1，A={x|0<x<3}，

所以

；

（II）因为AB=，

所以当时，，满足题意；

当时，须或

综上，或

【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.

19. 己知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）求函教，的值域．

【答案】（1），单调递减区间为   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，从而可求出函数的周期，由可求出函数的减区间，

（2）由，得，然后利用正弦函数的性质可求出函数的值域

【小问1详解】

∴

令，，

解得，

函数的单调递减区间为

【小问2详解】

∵，∴

故有，则的值域为

20. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．

（1）写出利润（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；

（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？

【答案】（1）；   

（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.

【解析】

【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.

【小问1详解】

由题意可知，

当时，，

当时，，

故有；

【小问2详解】

当时，，

即时，，

当时，有，

当且仅当时，,

因为，所以时，，

答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.

21. 设函数（且，）．

（1）若是定义在R上的偶函数，求实数k的值；

（2）若，对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）由函数奇偶性列出等量关系，求出实数k的值；（2）对原式进行化简，得到对恒成立，分和两种情况分类讨论，求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

由可得，

即对恒成立，可解得:

【小问2详解】

当时，有

由，

即有，且

故有对恒成立，

①若，则显然成立

②若，则函数在上单调递增

故有，解得：；

综上：实数a的取值范围为

22. 已知函数，，．

（1）求函数的值域；

（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用基本函数的单调性即得；

（2）由题可得恒成立，再利用基本不等式即求；

（3）由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，利用二次函数的图像及性质可得，即求.

【小问1详解】

∵函数，，

所以函数在上单调递增，

∴函数的值域为；

【小问2详解】

∵对任意的，都有恒成立，

∴，即，

即有，

故有，

∵，，

∴，当且仅当，即取等号，

∴，即，

∴实数a的取值范围为；

【小问3详解】

∵函数的值域为，

由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，

又，则必有，

令，，

故有，

故有，可解得，

∴实数a的取值范围为.