2021-2022学年辽宁省沈阳市同泽高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市同泽高级中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（       ）．

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】先利用诱导公式把化成，就把原式化成了两角和的余弦公式，解之即可.

【详解】由可知

，

故选：B

2．已知，，且，则在上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.

【详解】因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.

故选：C

3．设， ，，则有（       ）

A． B．  C． D．

【答案】C

【分析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.

【详解】，

，，

因为函数在上是增函数，，

所以

由三角函数线知：，，因为，

所以，所以

故选：C.

4．在中，，，，若有两解，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角形有解的条件建立条件关系即可．

【详解】解：由三角形有两解的充要条件可知，即，

即，解得，即的取值范围是．

故选：D．

5．若，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】通过二倍角降幂公式化简，再利用和差化积公式以及将，化简为，根据余弦函数的性质得出答案.

【详解】

，

．

∵，

∴．

故选：.

【点睛】本题主要考查的是三角函数中的二倍角以及和差化积公式的应用，以及余弦函数图像和性质的应用，要求熟练掌握并灵活运用这些公式，是中档题.

6．定义：当时，等价于，如等价于．若角，且，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，，然后利用基本关系和正弦的两角和公式可得.

【详解】由题知，

所以，所以，

由，，所以

所以

故选：B

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理先将角化边，再运用余弦定理和基本不等式得到的范围进而得到最后的结果

【详解】因为

所以，进而可得

因为，当且仅当时等号成立

所以又因为

所以角A的最大值为

故选：A

8．已知O为△ABC所在平面内一点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，是的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.

【详解】设分别为的中点，

∵，

,

是边的中垂线，

∴，是的外心，

，

故选：B

二、多选题

9．有下面四个命题，真命题的是（       ）

A．

B．若，且，则

C．，则

D．两个虚数不能比较大小

【答案】AD

【分析】根据复数的定义和复数的乘方，直接计算和判断各个选项即可.

【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当，时，，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确.

故选：AD

10．下列命题为真命题的是（       ）

A．函数在定义域内是单调增函数

B．函数的表达式可以改写为

C．是最小正周期为的偶函数

D．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为

【答案】BD

【分析】利用正切函数的单调性可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，函数在定义域内不单调，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，设，

因为，，则，

所以，函数不是最小正周期为的函数，C错；

对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，

因此，该扇形的面积为，D对.

故选：BD.

11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（          ）

A．若，则△ABC为等腰三角形

B．若，， ，则△ABC有两解

C．若，则△ABC为钝角三角形

D．若，则

【答案】BCD

【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论.

【详解】对于A：，由正弦定理得，即，

由于A、B为三角形的内角，∴或，

即或，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B：∵，，，由正弦定理得，，即，

， ，

，

 若 ，B是锐角，则 ，

C是钝角，

若 ，B是钝角， ，C是锐角，

故B有两角，故B正确；

对于C：若，∵，

，

，

∴，，中必有一个值为负，

即A，B，C中必有一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故C正确；

对于D：，由正弦定理得：，

即，即，

∵，∴，即，∵，∴，故D正确；

故选：BCD．

12．已知函数与函数的对称中心相同，则下列结论正确的是（       ）

A．若方程在上有两个不同的实数根，则取值范围是

B．将函数的图象向右平移个单位，会与函数的图象重合

C．函数的所有零点的集合为

D．若函数在上单调递减，则，

【答案】BD

【分析】由题意可得，所以，对于A，当时，求得，结合正弦函数的图像和性质进行判断即可；对于B，由已知可得，而周期为，从而可得结论；对于C，由可求得函数的零点；对于D，由题意可得，由此可求出的值

【详解】易知

当时，，，，，

当时，单调递增，当时，单调递减，

若方程在上有两个不同的实数根，则，

，故A错误；

因为函数与函数有相同的对称中心，所以或，

即，周期为，故B正确；

由，，得，，故C错误；

若函数在上单调递减，又函数在上单调递增，所以，即，所以，，故D正确．

故选：BD

【点睛】关键点点睛：本小题以正余弦函数为载体，考查三角函数图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化与化归思想，考查数学运算、直观想象核心素养，体现基础性和综合性，解题的关键是由函数与函数有相同的对称中心，求出，然后依次判断即可，属于中档题．

三、填空题

13．设为锐角，若，则的值为____________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.

【详解】为锐角，， .

.

故答案为：

14．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为_______．

【答案】

【分析】先由与的夹角为锐角推出，由此解出的取值范围，再把上述取值范围内使得与同向的的值去掉即可

【详解】因为与的夹角为锐角

所以，解之得或

若与同向，则（）

即

综上，的取值范围为

故答案为：

15．一艘轮船从A地开往在北偏西30°方向上的B地执行任务，完成任务后开往在北偏东45°方向上的C地，轮船总共航行了1000km．若C地在A地的北偏东15°方向上，则A，B两地相距约为______km．（结果保留整数，参考数据：）

【答案】

【分析】由题意根据方位角得出三角形的三个内角，设，则，由正弦定理可求解.

【详解】解：由题意，作图如图所示.

，

所以

设，则

由正弦定理可得,所以

所以

故答案为：

16．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上没有零点，则的取值范围______．

【答案】

【分析】先根据图象的变换求出，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.

【详解】解：由题意，，

因为在上没有零点，所以半周期，即，

因为，所以，

所以， 或，

解得：或

所以，的取值范围是

故答案为：.

四、解答题

17．复数．

(1)当m为何值时，z是纯虚数．

(2)当m为何值时，z为实数？

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）（2）根据复数属于纯虚数、实数，列不等式组求m值即可.

【详解】(1)若z是纯虚数，则，即，可得或，

所以或时，z是纯虚数．

(2)若z为实数，则，可得，

所以时，z为实数.

18．已知△中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

(1)求；

(2)若，，求△的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用，结合正切的和角公式和已知条件，即可求得结果；

（2）根据余弦定理和已知条件求得，再利用面积公式即可求得结果.

【详解】(1)在△中，

即.

(2)由（1）可知：，又，故.

由余弦定理可得，即，

又，故可得；

则△的面积.

19．已知向量，设．

(1)求的单调递增区间；

(2)若关于x的不等式在恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】先把化为.

（1）利用复合函数单调性法则，列不等式直接求解；

（2）利用分离参数法得到，根据的单调性求出即可.

【详解】(1)因为向量，且，

所以

.

要求的单调递增区间，只需,

解得：，即的单调递增区间为.

(2)因为关于x的不等式在恒成立，所以.

由（1）可知，在上单调递增，所以在上单增，在上单减，

所以，所以.

故m的取值范围是.

20．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

(1)求角A；

(2)若为边的中点，且，求面积的最大值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理角化边得，化简利用余弦定理可求解；

（2）根据题意可知，两边平方化简可得，利用基本不等式可求的最大值，再根据面积公式求解即可.

【详解】(1)解：由，得，即，

又由余弦定理，

所以，，

又，；

(2)解：∵是边的中点，

∴，，

又，

∴

又，当且仅当时等号成立，

∴

∴，

∴，即面积的最大值为.

21．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答问题.

在中，内角、、的对边分别为、、，且 _________ .

(1)求角的大小；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）选①，由正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选②，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选③，利用正弦定理以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）求出角的取值范围，根据正弦定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果.

【详解】(1)解：选①，由及正弦定理可得，

、，则，所以，，故；

选②，由及正弦定理可得，

因为，则，所以，，故；

选③，由及正弦定理可得，

由余弦定理可得，因为，故.

(2)解：因为为锐角三角形，且，则，可得，，

由正弦定理，则，

所以，.

22．花博会期间，有一个边长8m的正方形展厅，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，6m为半径的扇形作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设．

(1)用表示矩形的面积，并求出当矩形为正方形时的面积；

(2)当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．

【答案】(1)矩形的面积为，；当矩形为正方形时的面积为

(2)当或时，矩形的面积最大，最大面积为（）

【分析】（1）作辅助线，求得PG=， ，进而可表示出矩形的面积，当矩形为正方形时，求得，求得答案;

（2）将矩形的面积表达式，利用三角恒等变换进行化简，采用换元法，结合二次函数的性质，求得答案.

【详解】(1)如图所示，过P作PX⊥OA于X，PY⊥OC与Y，

则，PG=， ，

，，-

当矩形PGBF为正方形时, ，

，，

此时S=;

(2)

，       

记t [，1]，则,

对称轴为，∵1－－，

，即或时，（）