2021-2022学年湖南省岳阳市高一上学期期末考试数学试卷

高一数学

一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 若，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

3. 已知角为第三象限角，则点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

4. 已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

7. 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的一个对称中心是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 是第二象限角

B. 函数的最小正周期是

C. 若，则

D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

【答案】ABD

11. 若函数（且）在R上为单调递增函数，则a的值可以是（    ）

A  B. 2 C. 3 D. 4

【答案】BCD

12. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的零点所在区间为，则

B. 函数的图象恒过一定点，这个定点是

C. “”是“”的必要条件

D. “”是“关于x的方程有一正根和一负根”的充要条件

【答案】ABD

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若函数，则___________.

【答案】1

14. 计算____．

【答案】3.

15. 求值：___________.

【答案】.

16. 如果函数同时满足下列两个条件：①函数图象关于直线对称；②函数图象关于点对称，那么我们称它为“点轴对称型函数”.请写出一个这样的“点轴对称函数”___________.

【答案】或

四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，集合，

（1）若，求和；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

小问1】

解：时，，

所以，

所以

；

【小问2】

∵，

，

①若时，，解得，符合题意；

②若时，，解得.

综上可得.

18. 已知，为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【小问1】

;

【小问2】

因为为锐角，且，所以，，

所以.

【小问3】

由知，，

因，为锐角，，所以，

，

又，为锐角，∴，故.

19. 已知函数 ．

（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）； （2）不存在.

（1）由题意，函数且，设，

因为当时，函数恒有意义，即对任意时恒成立，

又由，可得函数在上为单调递减函数，

则满足，解得，

所以实数的取值范围是．

（2）不存在，理由如下：

假设存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为，

可得，即，即，解得，即，

又由当时，，此时函数为意义，

所以这样的实数不存在．

20. 设函数的最小正周期为，其中.

（1）求函数的递增区间；

（2）求函数在上的值域.

【答案】（1）   

（2）

【小问1】

由已知，解析式可化简为
 

∵的最小正周期为，且，∴，解得，

∴，设，

∵函数的递增区间是，

由，得.

∴函数的递增区间是；

【小问2】

当时，..

∴，故函数在上的值域是.

21. 经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求的函数关系式；

（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

解：（1），

所以；

（2）当时，，

所以当时，取最大值为元，

当时，，

而，

当且仅当即时取等号，

所以元，

综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

22. 设函数(且)是定义在上的奇函数.

（1）若，求使不等式对恒成立的实数的取值范围；

（2）设函数的图像过点，函数.若对于任意的，都有，求的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为.

解：（1）∵是定义在上的奇函数，

∴，∴，解得，

则，此时，满足题意，

而等价于，

若，则，结合且，解得，

则为增函数，

结合，可得，

根据题意，对恒成立，

则，解得；

（2）∵函数的图像过点，∴，

解得(不符，舍去)或，

∴，

在上单调递增，

在上单调递增，

∵对于任意的，都有，

且在区间上恒有，∴，

则，，

则，即的最小值为.