湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷

雅礼教育集团2021-2022学年高一上学期期末考试试卷

数  学

时量：120分钟    分值：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设U=R，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

3．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

4．已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（3，），将的终边逆时针旋转180°，这时终边所对应的角是β，则（       ）

A． B． C． D．

5．的值是（       ）

A． B． C． D．

6．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

7．在△ABC中，已知，则C的大小为（       ）

A．90° B．45° C．135° D．60°

8．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（       ）

A．m1=m2   B．m1＞m2

C．m2＞m1   D．m1，m2的大小无法确定

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．己知不等式的解集是，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知函数，则下列说法中正确的是（       ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递增

C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为

11．定义在实数集R上的奇函数满足，且当时，，下列正确的是（       ）

A．  B．函数的最小正周期为2

C．函数的值域为 D．方程有5个根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．幂函数的图象经过点（，4），则的值为        ．

14．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为        ．

15．的单调递增区间是        ．

16．（1）若，，则x的取值范围是        ．

（2）若，则x的取值范围是        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知函数，且为偶函数，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的解析式．

条件①：函数在区间上的最大值为5；

条件②：方程有两根，，且．

18．（本小题满分12分）己知函数（，）的部分图象如图所示：

（1）求的解析式；

（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求方程在的实数解．

19．（本小题满分12分）已知，均为锐角，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（本小题满分12分）已知函数的最小值为．

（1）求m的值；

（2），，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．

（1）请求出该小组同学①式的人口增长模型；

（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．

（i）求满足的正整数k的最小值．

（ii）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．

参考数据：，，，．

22．（本小题满分12分）已知函数（）．

（1）若在上的最大值为，求a的值；

（2）证明：函数有且只有一个零点，且．