2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年湖南省新高考实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有种选课模式．某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和地理”，则事件与事件(    )

A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件
C. 既不是对立事件，也不是互斥事件 D. 无法判断

3. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

4. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高(    )

A.
B.
C.
D.

7. 函数的零点所在的区间为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了名学生测量体重．经统计，这些学生的体重数据单位：千克全部介于至之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则(    )

A. 频率分布直方图中的值为
B. 这名学生中体重不低于千克的人数为
C. 这名学生体重的众数约为
D. 据此可以估计该校学生体重的分位数约为

10. 将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有(    )

A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于对称
C. 在上的值域为
D. 在上单调递减

11. 下列说法正确的是(    )

A. 若函数在存在零点，则一定成立
B. “，的否定是“，”
C. 设为平行四边形的对角线的交点，为平面内任意一点，则
D. 若，为所在平面一点，和分别表示和的面积，则：：

12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则(    )

A. 直线平面
B. 二面角的大小为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 异面直线与所成角的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 关于的方程有实根，则实数的值为______．
15. 为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了件产品，其质量单位：克如下：
    
    质量落在区间表示质量的平均值，为标准差内的产品件数为______．
16. 已知函数，若当方程有四个不等实根、、、，时，不等式恒成立，则______，实数的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，函数．
    求的最小正周期和最大值；
    求在上的单调区间．
18. 从，，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：
    已知三个内角，，的对边分别为，，，已知______．
    求角的大小；
    若为锐角三角形，，求的取值范围．
19. 在直三棱柱中，，分别是，的中点．
    Ⅰ求证：平面；
    Ⅱ若，，．
    (ⅰ)求二面角的正切值；
    (ⅱ)求直线到平面的距离．

20. 为打造精品赛事，某市举办“南粵古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育文化旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：

求，的值；
估计本次大赛所有选手的平均速度同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到；
通过分层抽样从成年组和专业组中抽取人，再从这人中随机抽取人接受采访，求接受采访的人都来自“成年组”的概率．

21. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
    求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；利润销售额成本
    当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22. 已知函数为奇函数．
    求实数的值；
    若对任意的，有成立，求实数的取值范围；
    设，且，问是否存在实数，使函数在上的最大值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．
先求，再利用求模的公式求出．
【解答】
解：．
故．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：事件“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和地理”，
则事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，
故事件与是互斥事件，但不是对立事件．
故选：．
根据已知条件，结合互斥事件和对立事件的定义，即可求解．
本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，由，，，得或与异面，故A错误；
对于，若，，则，又，则，故B正确；
对于，若，，，则，故C错误；
对于，若，，，则与的位置关系是平行、相交或异面，
相交与平行时，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题．
根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果．

【解答】

解：，，
，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

利用对数和指数的运算求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题．

【解答】

解：，，
，，
，，
，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
可得，
在中，，
所以塔高．
故选：．
由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点判定定理，注意函数零点判定定理的应用，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式可得，，由函数零点判定定理分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，，
则，，
则函数的零点所在的区间为，
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，四边形是关于直线对称的图形，
故点在四边形的四条边上运动时，
仅需考虑点在边，上的运动情况，
易知，所以，
当点在边上运动时，

设则，

，
当时，取得最小值．
当点在边上运动时，

设，则，
，
当时，取得最小值．
综上：的最小值是．
故选：．
根据平面图形的对称性，只需讨论点在边，上的运动情况，当点在边上运动时，利用共线向量和向量的加减运算，化简为，再求最小值，同理可得到当点在边上运动时，的最小值．
本题考查向量数量积的运算，本题以四边形为载体，将向量知识迁移到几何情景中考查，突出考查了直观想象和运算能力，本题的难点是转化向量，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，解得，故选项A正确；
体重不低于千克的频率为，
所以这名学生中体重不低于千克的人数为人，故选项B错误；
名学生体重的众数约为，故选项C正确；
因为体重不低于千克的频率为，而体重在的频率为，
所以计该校学生体重的分位数约为，故选项D正确．
故选：．
利用频率之和为可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由分位数的计算方法求解，即可判断选项D．
本题考查了频率分布直方图的应用，众数和分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

首先由图象的变换求出函数的解析式，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数图象的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

【解答】

解：将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，
由于函数为偶函数，
故，，
所以，，
由于，
所以当时，．
所以，
对于：当时，，故A正确；
对于：当时，故B正确；
当时，，所以，故C错误；
对于：，所以，根据函数的性质，函数在该区间上单调递减，故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：对于：若函数在存在零点，且函数具有单调性，则一定成立，故A错误；
对于：“，的否定是“，”故B正确；
对于：如图所示：

所以，，
所以，故C错误；
对于：，
如图所示：

整理得：，取的中点为，的中点为，
所以，
所以设，，
所以，
由于为的中位线，
所以，
故：：故D正确；
故选：．
直接利用零点定理，命题的否定，向量的线性运算，向量的加法和三角形的面积的求法，判断的结论．
本题考查的知识要点：零点定理，命题的否定，向量的线性运算，向量的加法和三角形的面积的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

在中，，，，
平面，，同理，，
，平面，故A正确；
在中，由正方体可知平面不垂直平面，故B错误；
在中，，平面，平面，平面，
点在线段上运动，到平面的距离为定值，
又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故C正确；
在中，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，
故异面直线与所成角的取值范围是，故D错误，
故选：．
直接证明直线平面判断；由正方体的结构特征判断；证明三棱锥的体积为定值判断；求出异面直线与所成角的最小值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直、多面体的体积及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，，

．
，
．
故答案为：．
利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换，化简得到，利用二倍角的余弦公式能求出结果．
本题考查平面向量垂直、三角恒等变换、二倍角的余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设为方程的实根，则，
整理得，
所以，
所以，即，解得．
故答案为：．
设为方程的实根，代入方程中并按照复数的结构进行整理，然后利用复数相等的条件可求出实数的值．
本题考查复数方程的根的问题，理解复数的定义，复数相等的条件是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：平均值，
方差，所以标准差，
所以区间为，质量落在该区间内的有，，，，，，，共件产品．
故答案为：．
先根据平均数和方差的计算方法求出和，从而得标准差，进而得区间为，再与已知数据对比即可．
本题考查平均数、方差、标准差的计算，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：当时，，
，如下图示：

、、、对应、、、的横坐标，
由，故，
因为，又，
得，，所有；
由对称性同理可得：，
又因为，
得：，，
分离参数得：，
设，
令，则，，则，
再令，
则，
当且仅当时取“”，
，即，
，即实数的最小值为．
故答案为：；．
根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对数函数的性质可得，利用对数的运算易得：，由对称性可得：，再应用参变分离有恒成立，构造，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值．
本题考查了对数的性质、数形结合思想及用分离常数法解决恒成立问题，作出图象是关键，综合性较强，属于难题．
 

17.【答案】解：，
的最小正周期为，
当时，取最大值为．
由得，，
当时，，
从而当，
即时，单调递增，
当，即时，单调递减．
综上可知，在上单调递增；在上单调递减． 

【解析】结合向量的数量积与三角函数的辅助角公式化简，得到，即可求解；
中，结合正弦函数单调性求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查正弦函数的周期、最值及单调性，是中档题．
 

18.【答案】解：若选：
，，
则，
，；
因为，为锐角三角形，
所以，，
又因为，代入解得，
在中，，
所以，
由可得，
所以，所以，
即的取值范围是．
若选：
，
，
，即，
，；
则；
因为，为锐角三角形，
所以，，
又因为，代入解得，
在中，，
所以，
由可得，
所以，所以，
即的取值范围是．
若选：
，
，即，
解得，
，；
因为，为锐角三角形，
所以，，
又因为，代入解得，
在中，，
所以，
由可得，
所以，所以，
即的取值范围是． 

【解析】选：整理条件，结合余弦定理可求得，从而得解；
选：利用正弦定理整理条件可得，从而得解；
选：结合诱导公式与同角三角函数的平方关系，可解，从而得解；
本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正弦定理、诱导公式和二倍角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：Ⅰ取中点并连接，
因为是的中点，所以，且．
因为是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面平面，
所以平面．

Ⅱ连接，因为，，是的中点，
所以，所以，所以同理可得，所以D.
因为，所以二面角的平面角为，又，所以面．
因为平面，所以，因为直三棱柱，所以面，
又平面，所以又，所以面，因为平面，
所以，易求，在中可求，．
(ⅱ)因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，所以，即，解得，
所以直线到平面的距离为． 

【解析】Ⅰ取中点并连接，根据已知条件可证出四边形为平行四边形，进而得出结论；
Ⅱ连接，由题意可知二面角的平面角为，在中即可求出所求的二面角的正切值；
(ⅱ)由平面可得：直线到平面的距离等于点到平面的距离，采用等体积法即可得出直线到平面的距离．
本题考查线面平行的判定定理、二面角的大小的求法、点到平面的距离，考查学生的空间想象能力和运算能力，属中档题．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
少年组人数为人，频率，
总人数人，
，
，．
平均速度为：
．
估计本次大赛的平均速度为千米小时．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，
设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，
则，
解得，，
由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，
设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，
从中抽取人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，共种，
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，共种，
接受采访的人都来自成年组的概率为． 

【解析】由频率分布直方图列方程，求出，利用少年组人数为人，频率为，能求出总人数，由此能求出．
由频率分布直方图能估计本次大赛的平均速度．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，利用分层抽样的性质列方程能求出由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，从中抽取人，利用列举法能求出接受采访的人都来自成年组的概率．
本题考查到频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．
 

21.【答案】解：当时，，
当时，，
；
当时，，
这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，
当时，，
，当且仅当即时，等号成立，
，
即当时，取到最大值，
，
当时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元． 

【解析】根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到利润万元关于年产量百辆的分段函数关系式；
当时利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后再比较即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
 

22.【答案】解：为定义在上的奇函数，
，即，解得，
经验证，符合题意．
由知，且，则由题意可得，对任意的，有成立，
显然在上单调递增，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
令，
所以，解得．
不存在，理由如下，
设，，
在上恒成立，
，
，
，
，
对于二次函数，开口向上，对称轴为，
，
对称轴一直位于的左侧，
二次函数在单调递增，
，
假设存在满足条件的实数，则当时，由复合函数的单调性法则可知，为减函数，，
，
，解得，故舍去；
同理可知，当时，，故舍去；
综上所述，不存在实数满足条件． 

【解析】由可求得，再验证即可；
依题意，对任意的，恒成立，构造函数，，根据函数性质建立关于的不等式组，解出即可；
设，，依题意可得，由二次函数的性质可得在单调递增，由此求出的最值，假设存在满足条件的实数，然后分及两种情况，均推出矛盾即可得出结论．
本题考查函数性质的综合运用，涉及了函数的奇偶性，单调性，函数的最值等知识点，考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．