2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点39 抛物线及其性质（A卷）

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专题十三 考点39 抛物线及其性质（A卷）1.抛物线的准线方程是(   )A. B. C. D.2.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(   )A. B. C.1 D.3.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(   )A.  B.C.或  D.或4.已知点A是抛物线上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，，则抛物线的准线方程是(   )A. B. C. D.5.已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段AB的中点到y轴的距离等于(   )A.2 B.3 C.4 D.66.矿川爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点F的距离为(   )A. B.2 C. D.7.过抛物线的焦点F，作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与抛物线E的准线交于点C，若，则(   )A.2 B. C.3 D.8.已知函数的图象上一点P，，则的最小值为(   )A.2 B. C.3 D.9.设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点D.若，且的面积为，则点F到准线l的距离是(   )A. B. C. D.10.若抛物线的准线方程为，则实数a的值为_________.11.已知A，B是抛物线上的动点，且满足，则AB中点M的横坐标的最小值为__________________.12.已知抛物线的准线为l，点P在抛物线上，于点Q，与抛物线的焦点不重合，且，，则______________.13.已知，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是___________.若F为轨迹C的焦点，P是直线上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且，则_____________.14.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.15.如图，已知为抛物线的焦点.过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧.记，的面积分别为，.（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标.
答案以及解析1.答案：A解析：抛物线可化为，开口向上，，准线方程为.故选A.2.答案：B解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.3.答案：C解析：当时，；当时，.因此抛物线的焦点可为，.①当焦点为时，设标准方程为，且，；②当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.4.答案：A解析：如图所示，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，由题意，得，所以，点A到准线的距离，解得，则拋物线的准线方程是，故选A.5.答案：B解析：设线段AB的中点为M，如图所示，l是抛物线的准线，过A点作于点，过M点作于点，交y轴于N点，过B点作于点，，，.由点M是线段AB的中点知，.，.因此，，故选B.6.答案：D解析：由题可得抛物线E的顶点坐标为，所以抛物线的顶点到焦点F的距离为，得，故抛物线E的方程为.令，得，即抛物线E与x轴的交点坐标为，故矿石落点的最远处到点F的距离为.7.答案：A解析：由得，.过B作垂直于准线，垂足为，则.由得，.因此直线l的斜率为，从而直线l的方程为.由得，解得，，，故选A.8.答案：C解析：如图，函数的图象即曲线的图象在x轴上和x轴上方的部分，点A为抛物线的焦点，抛物线的准线为.过点P作准线的垂线，垂足为点Q，过点B作准线的垂线，垂足为点C，则，，即的最小值为3，故选C.9.答案：D解析：如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，可得，又由且，所以，所以，解得，代入抛物线方程，可得，又由且，所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的中点， 所以的面积为，解得，即点F到准线l的距离是.故选：D.10.答案：解析：抛物线方程可化为，由于其准线方程为，所以，解得.11.答案：4解析：设抛物线的准线为l，焦点为F，则，过点A作于，过点B作于，连接FA，FB，则，得，解得，所以的最小值为4.12.答案：解析：如图，设抛物线的焦点为F，连接PF，由拖物线的定义知，又，所以，由及，得，于是为正三角形，，所以点P的坐标为，将其代入，得，即，即，所以.13.答案：；解析：设，，，，直线AM且BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，，整理，得点M的轨迹C的方程是.F为轨迹C的焦点，，如图，过点Q作轴于点M，设直线l与y轴交于点N，，，，，.14.答案：（I）（Ⅱ）或解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，联立，消y整理得.设，，则，则，解得，所以抛物线的标准方程为.（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，设直线n的方程为，联立消去y整理得.因为直线n与椭圆相切，所以，整理得.联立，消去y整理得.因为直线n与抛物线相切，所以，整理得，所以，解得或所以直线n的方程为或.15.答案：（1），（2）当时，取得最小值，此时解析：（1）由题意得，即.所以抛物线的准线方程为.（2）设，，，重心.令，，则.由于直线AB过F，故直线AB的方程为，代入，得，故，即，所以.又由于，及重心G在x轴上，故，得，.所以直线AC的方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而.令，则，.当时，取得最小值，此时.