2022-2023学年重庆市渝北区两江育才中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年重庆市渝北区两江育才中学八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市渝北区两江育才中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后对应的括号中．
1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a8÷a2＝a4
C．a2+a2＝2a2 D．（a+3）2＝a2+9
3．（4分）若△ABC≌△A′B′C′，且AB＝AC＝6，△ABC的周长为20cm，则B′C′的长为（　　）
A．12cm B．9cm C．6cm D．8cm
4．（4分）我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物，已知2.5微米＝0.0000025米，此数据用科学记数法表示为（　　）米．
A．2.5×106 B．0.25×10﹣5 C．25×10﹣7 D．2.5×10﹣6
5．（4分）已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
6．（4分）已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
7．（4分）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
8．（4分）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．315° B．270° C．180° D．135°
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）

A．30° B．60° C．45° D．90°
10．（4分）已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（　　）
A．8 B．18 C．19 D．25
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F，AH⊥BE，垂足为G，点H在BC上，连接DG，HE．现给出下列五个结论：①AD∥EH，②△AEF为等边三角形，③∠AFB＝135°，④AH平分EF，⑤AF＝DH．其中正确的结论有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题。（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请把下列各题的正确答案写在题中的横线上．
13．（4分）若分式的值为零，则x＝　 　．
14．（4分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝　 　．
15．（4分）在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为　 　．
16．（4分）今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为 　 　．
三、解答题。（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
17．（8分）计算：
（1）（﹣2）2÷[3﹣（﹣1）]+8×（1）﹣1；
（2）（π﹣3）0+（）﹣1+|1|．
18．（8分）如图，已知△ABC满足AB＜BC＜AC．
（1）用尺规作图在边AC上确定一点P，使得PB＝PC（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝AP，∠ABC﹣∠A＝37°，求∠C的大小．

四、解答题。（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包拈辅助线），
19．（10分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝64°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝32°，求∠DAE的度数．

20．（10分）计算：
（1）a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）+（a+b）2；
（2）．
21．（10分）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC．求证：AD＝BC．

22．（10分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC，过点D作DG∥AB，交AC于点G．
求证：
（1）∠BAD＝2∠DAC
（2）EF＝EG．

24．（10分）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那称这个数为“满月数”．例如：n1＝9456，∵9+4+5﹣6＝12，∴9456是“满月数”；n2＝2021，∵2+0+2﹣1＝3≠12，∴2021不是“满月数”．
（1）判断3764，2858是否为“满月数”？请说明理由．
（2）若“满月数”m＝1000a+100b+10c+202（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s与t的和能被7整除，求m的值．
25．（10分）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．


2022-2023学年重庆市渝北区两江育才中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后对应的括号中．
1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；由此解答即可．
【解答】解：是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a8÷a2＝a4
C．a2+a2＝2a2 D．（a+3）2＝a2+9
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、a8÷a2＝a6，故此选项错误；
C、a2+a2＝2a2，正确；
D、（a+3）2＝a2+6a+9，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）若△ABC≌△A′B′C′，且AB＝AC＝6，△ABC的周长为20cm，则B′C′的长为（　　）
A．12cm B．9cm C．6cm D．8cm
【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝B′C′，然后根据AB＝AC＝6，△ABC的周长为20cm算出BC长，进而得到B′C′的长．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴BC＝B′C′，
∵AB＝AC＝6，△ABC的周长为20cm，
∴BC＝20﹣6﹣6＝8（cm），
∴B′C′＝8cm，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
4．（4分）我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物，已知2.5微米＝0.0000025米，此数据用科学记数法表示为（　　）米．
A．2.5×106 B．0.25×10﹣5 C．25×10﹣7 D．2.5×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（4分）已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘的性质的逆用，计算后直接选取答案．
【解答】解：102x+3y＝102x•103y＝（10x）2•（10y）3＝m2n3．
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
6．（4分）已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】根据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，、
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
7．（4分）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】先求出∠O＝60°，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解．
【解答】解：∵平角∠AOB三等分，
∴∠O＝60°，
∵90°﹣60°＝30°，
∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形，
再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，
最后沿折痕AB展开得到等边三角形，
即正三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．
8．（4分）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．315° B．270° C．180° D．135°
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．
故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）

A．30° B．60° C．45° D．90°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠ABC＝∠ACB，再用三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
又∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴∠DBC＝2（90°﹣∠BDC）＝2×（90°﹣75°）＝30°，
又∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°，
故选：C．
【点评】此题是等腰三角形的性质，主要考查了三角形的内角和公式，三角形的外角的性质，解本题的关键是根据作图得到结论．
10．（4分）已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（　　）
A．8 B．18 C．19 D．25
【分析】先根据完全平方公式得出a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab，再求出答案即可．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝52﹣3×2
＝19．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：完全平方公式为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜6，
解不等式②，得：x≤a，
∵该不等式组的解集为x≤a，
∴a＜6，
分式方程去分母，得：y﹣a﹣（5﹣2y）＝y﹣2，
解得：y，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴满足条件的整数a可以取5；3；﹣1；，
共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的步骤和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F，AH⊥BE，垂足为G，点H在BC上，连接DG，HE．现给出下列五个结论：①AD∥EH，②△AEF为等边三角形，③∠AFB＝135°，④AH平分EF，⑤AF＝DH．其中正确的结论有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知条件证明，△FBD≌△HAD，△EBH≌△EBA，进而逐一进行判断即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠ABC＝∠CAD＝∠BAD＝45°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠DFB＝∠EFA＝∠AEF＝67.5°，
∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形，故②错误；
∵∠BAD＝45°，∠ABE＝22.5°，
∴∠AFB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故③错误；
∵AE＝AF，AH⊥BE，
∴AH平分EF，故④正确；
∵∠ABE＝∠CBE＝22.5°，AH⊥BE，
∴∠BAH＝∠BHA＝67.5°，
∴BA＝BH，
在△FBD和△HAD中，
，
∴△FBD≌△HAD（ASA），
∴FD＝HD，
∵AF≠FD，
∴AF≠DH，故⑤错误；
在△EBH和△EBA中，
，
∴△EBH≌△EBA（SAS），
∴∠BHE＝∠BAE＝90°，
∵∠BDA＝90°，
∴∠BHE＝∠BDA，
∴AD∥EH，故①正确．
综上所述：正确的结论有：①④，共2个，
故选：B．
【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定，角平分线性质，解决本题的关键是得到△FBD≌△HAD．
二、填空题。（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请把下列各题的正确答案写在题中的横线上．
13．（4分）若分式的值为零，则x＝　﹣3　．
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，在解答此类问题时要注意“分母不为零”这个条件不能少．
14．（4分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝　7　．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．（4分）在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为　58°或32°　．
【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，
∴∠A＝64°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣64°）÷2＝58°．

②∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝26°+90°＝116°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣116°）÷2＝32°．
故答案为：58°或32°．


【点评】此题主要考查等腰三角形，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
16．（4分）今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为 　　．
【分析】设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒1.5x个，第二次购进甲种盲盒0.9x个，第二次购进乙种盲盒1.8x个，再设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，利用总价＝单价×数量，结合第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后即可得出3m＝2n，进而可求出乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值．
【解答】解：设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒（1+50%）x＝1.5x个，第二次购进甲种盲盒（1﹣40%）×1.5x＝0.9x个，第二次购进乙种盲盒（1+8%）（x+1.5x）﹣0.9x＝1.8x个，
再设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，
依题意得：（1+20%）（1.5mx+nx）＝0.9mx+1.8nx，
∴3m＝2n，
∴，
即乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三、解答题。（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
17．（8分）计算：
（1）（﹣2）2÷[3﹣（﹣1）]+8×（1）﹣1；
（2）（π﹣3）0+（）﹣1+|1|．
【分析】（1）按照运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2）2÷[3﹣（﹣1）]+8×（1）﹣1
＝4÷4+8×（﹣2）
＝1﹣16
＝﹣15；
（2））（π﹣3）0+（）﹣1+|1|
＝2﹣1+31
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（8分）如图，已知△ABC满足AB＜BC＜AC．
（1）用尺规作图在边AC上确定一点P，使得PB＝PC（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝AP，∠ABC﹣∠A＝37°，求∠C的大小．

【分析】（1）作BC的垂直平分线交AC于P，则PB＝PC；
（2）设∠C＝α，由PB＝PC得到∠PBC＝∠C＝α，由AB＝AP得到∠ABP＝∠APB＝2α，则∠ABC＝3α，利用三角形内角和定理和∠ABC﹣∠A＝37°得到6α+α＝217°，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；

（2）设∠C＝α，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠C＝α，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2α，
∵AB＝AP，
∴∠ABP＝∠APB＝2α，
∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝3α，
∵∠ABC+∠A+∠C＝180°，
而∠ABC﹣∠A＝37°，
∴2∠ABC+∠C＝180°+37°，
即6α+α＝217°，解得α＝31°，
即∠C＝31°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
四、解答题。（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包拈辅助线），
19．（10分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝64°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝32°，求∠DAE的度数．

【分析】（1）利用三角形的内角和定理先求出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的定义求出∠BAE，最后利用角的和差关系求出∠DAE；
（2）利用三角形的内角和定理用含∠C的式子先表示出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的定义用含∠C的式子表示出∠BAE，最后利用角的和差关系求出∠DAE；
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝64°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，∠BAD＝26°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝34°．
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝8°；
（2）∵∠B﹣∠C＝32°，
∴∠B＝∠C+32°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝148°﹣2∠C，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝58°﹣∠C．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝74°﹣∠C．
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝74°﹣∠C﹣（58°﹣∠C）
＝16°，
答：∠DAE的度数为16°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、角平分线的定义及角的和差关系是解决本题的关键．
20．（10分）计算：
（1）a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）+（a+b）2；
（2）．
【分析】（1）先计算单项式乘多项式、利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2ab+2a2﹣2b2+a2+2ab+b2
＝4a2﹣b2；
（2）原式（）

•
．
【点评】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（10分）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC．求证：AD＝BC．

【分析】根据平行线求出∠A＝∠C，求出AF＝CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．
22．（10分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
4，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；

（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC，过点D作DG∥AB，交AC于点G．
求证：
（1）∠BAD＝2∠DAC
（2）EF＝EG．

【分析】（1）只要证明△BDF≌△ADC，推出BD＝AD，推出∠BAD＝∠ABD＝2∠CBE＝2∠DAC即可解决问题．
（2）延长BE、DG交于点K．想办法证明Rt△AEF≌Rt△KEG即可．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
∵AB＝BC，E为AC中点，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠BEC
即∠CBE＝∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC，
∴BD＝AD，
∴∠BAD＝∠ABD＝2∠CBE＝2∠DAC．

（2）延长BE、DG交于点K．
∵DG∥AB，
∴∠CGD＝∠CAB，∠K＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠C，
∴∠CGD＝∠C
∵∠K＝∠CBE＝∠CAD
∠AEF＝∠KEG＝90，°∠EAF＝∠EKG，
∴DG＝DC，DK＝BD，
∴DG＝DF，DK＝BD＝AD，
∴DK﹣DG＝AD﹣DF，即GK＝AF
在Rt△AEF和Rt△KEG中
，
∴Rt△AEF≌Rt△KEG （AAS），
∴EF＝EG．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那称这个数为“满月数”．例如：n1＝9456，∵9+4+5﹣6＝12，∴9456是“满月数”；n2＝2021，∵2+0+2﹣1＝3≠12，∴2021不是“满月数”．
（1）判断3764，2858是否为“满月数”？请说明理由．
（2）若“满月数”m＝1000a+100b+10c+202（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s与t的和能被7整除，求m的值．
【分析】（1）读懂“满月数”的意思，再根据定义代入3764和2858进行验证；
（2）m是一个四位数，s、t分别是两位数，都是可以用字母a、b、c表示，这样就可以用a、b、c表示s和t．再根据m是满月数，化简得到a+c＝12﹣b．最后s和t的和能被7整除，再代入求出值．
【解答】解：（1）∵3+7+6﹣4＝12，2+8+5﹣8＝7，
∴3764是满月数，2858不是满月数．
（2）当1≤b≤7时，
∵m＝1000a+100b+10c+202＝1000a+100（b+2）+10c+2，
∴s＝10a+b+2，t＝10c+2，
∴s+t＝10a+10c+b+2+2＝10（a+c）+b+4．
∵m为“满月数”，
∴a+（b+2）+c﹣2＝12，
∴a+c＝12﹣b，
∴10（a+c）+b+4＝124﹣9b．
∵124﹣9b能被7整除，且1≤b≤9，
∴b＝6，
∴a+c＝6．
∵4≤a≤8，1≤c≤5，
∴当a＝4时，c＝2，m＝4×1000+100×（2+6）+10×2+2＝4822；
当a＝5时，c＝1，m＝5×1000+100（2+6）+10×1+2＝5812．
②当8≤b≤9时，m＝1000（a+1）+100（b﹣8）+10c+2，
∴a+1+b﹣8+c﹣2＝12，
∴a+b+c＝21，
当b＝8时，a+c＝13，
∴，
∴m＝9052，而90+52＝142不能被7整除，不符合题意，
当b＝9时，则a+c＝12，
∴，，
∴m＝9142，而91+42＝133能被7整除，
m＝8152，而81+52＝133，能被7整除，
答：3764是满月数，2858不是满月数；m的值为4822，5812，9142，8152．
【点评】此题主要考查了学生的阅读理解能力，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系，用代入消元和整体法消元是解题的关键．
25．（10分）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．

【分析】（1）在EF上找到G点使得FG＝CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解题；
（2）在FP上找到H点，使得FH＝FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解题．
【解答】
（1）解：EF＝DF+CF；
在EF上找到G点使得FG＝CF，如图2，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，
∵FG＝CF，
∴△CFG是等边三角形，
∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，
∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，
在△ECG和△CDF中，
，
∴△ECG≌△CDF，（SAS）
∴DF＝EG，
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝DF+CF；
（2）证明：在FP上找到H点，使得FH＝FG，如图3，
∵PF平分∠DFG，∴∠PFG＝60°，
∵FG＝FH，
∴△FGH是等边三角形，
∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，
∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，
∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，
∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，
∴∠FGD＝∠QGH，
在△DFG和△QHG中，
，
∴△DFG≌△QHG，（ASA）
∴DF＝QH，
∵FQ＝FH+QH，
∴FQ＝FG+FD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．
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